Mathe (Komplexe Zahlen, und mehr...)

[beta3]

hi

kann mir einer mal erklaeren was komplexe zahlen sind was der unterschied zu den Reelen-zahlen sind
auch bitte wieso bei sqrt(-7) nur eine komplexe rauskommen kann und mein taschenrechner (ti83) das ned rechnen kann?

und nochwas bitte:
kommt bei einer division durch 0 (0 steht unter dem bruchstrich) 0 raus oder gibt es keine lösung?

danke


p.s.:
ich will das von mir aus wissen, brauch das ned in der schule

[Braincatcher]

Original geschrieben von beta3
hi

kann mir einer mal erklaeren was komplexe zahlen sind was der unterschied zu den Reelen-zahlen sind
auch bitte wieso bei sqrt(-7) nur eine komplexe rauskommen kann und mein taschenrechner (ti83) das ned rechnen kann?

und nochwas bitte:
kommt bei einer division durch 0 (0 steht unter dem bruchstrich) 0 raus oder gibt es keine lösung?

danke


p.s.:
ich will das von mir aus wissen, brauch das ned in der schule

wos? Quark. Nehmen wir 6^-7, das ist die 7. Wurzel aus 1/6.
Eine der komplexen Zahlen ist AFAIK i, die ()² -1 ergibt.

[huha]

Alle Zahlen durch Null sind nicht definiert AFAIK.

-huha

[Stone2001]

Original geschrieben von beta3
hi

kann mir einer mal erklaeren was komplexe zahlen sind was der unterschied zu den Reelen-zahlen sind
auch bitte wieso bei sqrt(-7) nur eine komplexe rauskommen kann und mein taschenrechner (ti83) das ned rechnen kann?


Ich versuchs mal so anschaulich wie möglichzu erklären, falls es zu theoretisch ist, einfach sagen.

Eine Komplexe Zahl Z besteht aus zwei Reellen Zahlen. Einmal haben wir den Realteil Re und zum anderen den Imaginärteil Im. Man spricht dann auch von der komplexen Zalhenebene. Z ist dann definiert als
Z := Re + (i * Im),
wobei für i gilt: i² = -1

R, die Menge der Reelen Zehlen, ist eine Teilmenge von C, also jede Reelle Zahl ist auch eine Komplexe Zahl. Die Addition ist Komponentenweise definiert, die Multiplikation ist etwas komplexer.

Bei der Wurzel aus -7 kann nur eine komplexe Zehl herauskommen, da die entsprechende Gleichung : x² = -7 in R keine Lösung hat. Im Körper der Komplexen Zahlen allerdings ist diese Gleichung lösbar.
Original geschrieben von beta3
und nochwas bitte:
kommt bei einer division durch 0 (0 steht unter dem bruchstrich) 0 raus oder gibt es keine lösung?

Es gibt keine Lösung! Eine Division durch 0 ist nicht definiert.

[Gast]

Original geschrieben von Stone2001
Es gibt keine Lösung! Eine Division durch 0 ist nicht definiert.
Nicht ganz.
Lim (x->0) 1/x = 00 (unendlich)

[Stone2001]

Original geschrieben von Gast
Nicht ganz.
Lim (x->0) 1/x = 00 (unendlich)
LOL, netter Versuch, aber leider daneben.
Das ist ein Grenzwert, x wird nur unendlich klein, aber NIE 0!

[Gast]

m / 0 = ?

m / 0 = n => m = 0 * n

d.h.: alle n möglich

[Stone2001]

Original geschrieben von Gast
m / 0 = ?

m / 0 = n => m = 0 * n

d.h.: alle n möglich
Interesant, so langsam verstehe ich meinen Mathedozenten... .
Wenn ich mal deine 'Raterei' interpretieren dürfte:
Du weist nicht, was das Ergebnis der Division ist, also gehst du davon aus, das das Ergebnis n ist (ich nehme mal an eine Reelle Zahl, oder). Dann multiplizierst diese Gleichung mit 0, dann folgt daraus, das m = 0 * n ist. Wie du jetzt allerdings daraus folgerst, das alle n herauskommen können, ist mir ein Rätsel. (Das einzigste, was man folgern könnte, wäre das m = 0 ist)

Division durch 0 ist und bleibt undefiniert!

[Gast]

Original geschrieben von Gast
m / 0 = ?

m / 0 = n => m = 0 * n

d.h.: alle n möglich

Ich warn andere Gast.
Das sollte nur die Definition festigen, dass division durch null nicht definiert.

[NeLKe]

ich versteh nur bahnhof :balla:

[aths]

Original geschrieben von Stone2001
Eine Komplexe Zahl Z besteht aus zwei Reellen Zahlen. Einmal haben wir den Realteil Re und zum anderen den Imaginärteil Im.Damit ist es keine reelle Zahl mehr :) Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Komponenten, dem Real- und dem Imaginärteil, wobei man, wie du schon gesagt hast, den Realteil auf Position auf der X- und den Imaginärteil als Position auf der Y-Ebene betrachten kann.

Der "Operator" (genauer gesagt, die Konstante) die eben dafür sorgt, dass der Imaginärteil imaginär ist, hat ja so einige Besonderheiten.

So ist i² = -1.

e^(-ix) ist i*sin(x)+cos(x).

[Stone2001]

Original geschrieben von aths
e^(-ix) ist i*sin(x)+cos(x).
hmm, e^z = e^x * (cos y + sin y) (z := x + iy € C und x, y € R), wenn ich mich recht errinnere wird so die komplexe e-Funktion definiert, oder?
Wenn jetzt aber die e-Funktion rein imaginär ist, komme ich auf: e^(iy) = cos y + i * sin y!
Warum steht dann bei dir dort e^(-ix)? Wo kommt das Minus-Zeichen her? Wer hat jetzt recht?

[Hansolo]

Wenn ich das hier so lese wunder ich mich immer mehr, wie ich mein Abi schaffen konnte.
Naja hatte auch andere Schwerpunkte. :)

[Fidel]

Division durch Null:

Wir haben in Mathe x^0 = 1 definiert für ALLE x also auch 0^0. Kann mir das jmd. erklären? (War leider nicht da, hab auf den Telekom-Techniker warten müssen .. der natürlich wieder nicht erschienen ist)

Kenne noch von der frühigen Schule

x^0 <=> x^(n-n) <=> (x^n)/(x^n) -> jede Zahl durch sich selbst ergibt also "1".

[Xmas]

0^0 ist unbestimmt.

[beta3]

irgendwie is alles viel komplizierter als ich es mir vorgestellt habe

ab wann lernt man eigentlich die komplexen zahlen in der schule?
und fuer was braucht man solche zahlen? (asser komplizierte theorien nachrechnen, falls man sie ueberhaupt dort braucht)


ad division:
wieso is die nicht definiert? definitionen kommen immer vom menschen, das bedeutet der mensch versteht es ned, aber das heisst ja ned, dass es unmoeglich ist


@stone:
kannst du mir ein beispiel geben,damit ich es einfacher verstehen kann


R, die Menge der Reelen Zehlen, ist eine Teilmenge von C
meinst du mit C die lichtgeschwindigkeit oder was anderes?

[Xmas]

Original geschrieben von beta3
und fuer was braucht man solche zahlen? (asser komplizierte theorien nachrechnen, falls man sie ueberhaupt dort braucht)
Zum Beispiel in der Elektrotechnik (Stichwort Impedanz), Fourier-Transformation, Fraktale, Quaternions (wobei diese noch imaginärer sind ;))


ad division:
wieso is die nicht definiert? definitionen kommen immer vom menschen, das bedeutet der mensch versteht es ned, aber das heisst ja ned, dass es unmoeglich ist
Nicht definiert, weil es schlicht keine sinnvolle Definition dafür gibt. Jede Definition die man nehmen könnte würde vielleicht in einem Fall passen, aber in tausend anderen nur Probleme bereiten.


meinst du mit C die lichtgeschwindigkeit oder was anderes?
C ist die Menge der Komplexen Zahlen.

[DasToem]

Original geschrieben von beta3
irgendwie is alles viel komplizierter als ich es mir vorgestellt habe

ab wann lernt man eigentlich die komplexen zahlen in der schule?


Bei mir auf der Schule (Gymnasium im schönen Vogtland) garnicht. Ich weis nicht, wie es in anderen Bundesländern ausschaut.


m / 0 = ?

m / 0 = n => m = 0 * n

d.h.: alle n möglich

Ein Produkt wird Null, wenn ein Faktor null ist -> n*0 ist immer null.

[Stone2001]

Original geschrieben von beta3
ab wann lernt man eigentlich die komplexen zahlen in der schule?
und fuer was braucht man solche zahlen? (asser komplizierte theorien nachrechnen, falls man sie ueberhaupt dort braucht)
Komplexe Zahlen sind, zumindest in BW, nur Zusatzstoff und nicht Abistoff. Ich hatte sie zum Beispiel nicht in der Schule.
Anwendungen: siehe Xmas's Post.
Original geschrieben von beta3
@stone:
kannst du mir ein beispiel geben,damit ich es einfacher verstehen kann

meinst du mit C die lichtgeschwindigkeit oder was anderes?
Für was willst du ein einfaches Beispiel? Für Komplexe Zahlen, oder was? Mit C meine ich die Menge der Komplexen Zahlen. ;)

@Xmas:
Bist du sicher, das 0^0 nicht definiert ist? Ich würde jetzt mal sagen, das 0^0 = 1 ist. Leider greift meine erste Beweisidee mit der allg. Potenz nicht, da diese für diesen Fall nicht definiert ist.

[beta3]

ja, irgendein beispiel


Fourier-Transformation, Fraktale, Quaternions

von diesn begriffen hab ich noch nie was gehoert


ist es vorteilshaft wenn ich mich mit den komplexen zahlen auskenne, obwohl ich das wahrscheinlich nie in der schule machen werde?



Nicht definiert, weil es schlicht keine sinnvolle Definition dafür gibt. Jede Definition die man nehmen könnte würde vielleicht in einem Fall passen, aber in tausend anderen nur Probleme bereiten.

oder man hat nur noch nicht die richtige gefunden
es gibt noch haufenweise dinge die wir nicht wissen

frueher war's auch so mit den dingen, die uns heute selbstverstaendlich erscheinen (flache erde, erde als zentrum des alls....)

[Xmas]

0^0 ist unbestimmt, nicht nicht definiert.

[Stone2001]

Original geschrieben von beta3
ja, irgendein beispiel
Willst du ne Beispielrechnung, oder nen Beispiel aus dem Bereich der Anwendungen?
Original geschrieben von beta3
von diesn begriffen hab ich noch nie was gehoert
Echt nicht?
Fast-Fouriertransform, ohne FFT würdest du keine MP3s hören. Auch würde es das Grafikformat Jpeg nicht geben.
Fraktale; wann hast du das letzte Mal in zeckensacks Sig geschaut? Dort hat er ein Programm geschreiben, das ein Mandelbrot-Fraktal berechnet.
Quaternions, der Quaternion-Körper ist ein extrem abstrackter Schiefkörper. Nachdem man die Komplexen Zehlen entdeckt hat, hat man versucht einen Körper im R³ zu finden. Was aber leider nicht gelang, das nächste, was man fand war der Quaternionen-Schiefkörper. Der Körper spielt aber weder in der Theorie, noch in der Praxis die Rolle wie man es erhofft hat.
Original geschrieben von beta3
ist es vorteilshaft wenn ich mich mit den komplexen zahlen auskenne, obwohl ich das wahrscheinlich nie in der schule machen werde?
In der Schule wirst du komplexe Zahlen nicht brauchen, im Studium werden sie dir aber recht häufig begegnen, so dass der Vorteil den du hättest, wenn du sie schon kennen würdest, nicht besonders groß wäre.
Original geschrieben von beta3
oder man hat nur noch nicht die richtige gefunden
es gibt noch haufenweise dinge die wir nicht wissen

frueher war's auch so mit den dingen, die uns heute selbstverstaendlich erscheinen (flache erde, erde als zentrum des alls....)
Es gibt noch viele ungelöste Probleme... . Ich weiß auch nicht, warum Division durch 0 nicht schon längst definiert wurde, oder warum man eine Matrix nicht durch eine Matrix teilen kann.

[Stone2001]

Original geschrieben von Xmas
0^0 ist unbestimmt, nicht nicht definiert. aha

[beta3]

was is ne matrix?
das frag ich mich schon lang, sogar mein tr kann das

beispielrechnung bitte


na dann ist ja die FFT richtig wichtig
werden auch zip dateien erst durch FFT komprimiert oder wie?
die sig von zeckensack kenn ich ned, guck eigentlich selten in die sigs

was meinst du mit R³?
radius hoch drei?

[Stone2001]

Original geschrieben von beta3
was is ne matrix?
das frag ich mich schon lang, sogar mein tr kann das

Eine m x n Matrix (über dem Körper K) ist ein rechteckiges Schema aus m Zeilen und n Spalten, deren Einträge Elemente aus K sind.
Bsp.: Eine 3 x 3 Matrix wäre also zum Beispiel: (die Einträge sind ganz normale Zahlen)

4 5 6
( 3 4 3 )
5 1 9

Original geschrieben von beta3
beispielrechnung bitte
Hier ein kleines Beispiel: Seinen a = 3 + i5, b = 6 +i9 zwei Komplexe Zahlen, dann ist c = a + b = 3 + i5 + 6 + i9 = 3 + 6 + i(5 + 9) = 9 + i14!
Ein Beispiel zur Multiplikation kann ich mir gerade nicht aus den Fingern saugen, denn die Multiplikation ist etwas 'abstrakt' definiert.
Original geschrieben von beta3
na dann ist ja die FFT richtig wichtig
werden auch zip dateien erst durch FFT komprimiert oder wie?
die sig von zeckensack kenn ich ned, guck eigentlich selten in die sigs

was meinst du mit R³?
radius hoch drei?
Nein, Zip-Komprimierung funktioniert nicht per FFT, sondern per Liv-Zempel-Welch Kodierung. Um durch FFT eine Kompression zu erreichen, muß man Nicht benötigte Informationen über Board schmeissen. Sie ist im allg. Verlustbehaftet.
Mit R³ meine ich einen 3-Dimensionalen Körper, wobei R die Menge der Reelen Zahlen ist. (Radius wird im allg. mit klein r abgekürzt)

[beta3]

Original geschrieben von Stone2001
Hier ein kleines Beispiel: Seinen a = 3 + i5, b = 6 +i9 zwei Komplexe Zahlen, dann ist c = a + b = 3 + i5 + 6 + i9 = 3 + 6 + i(5 + 9) = 9 + i14!

irgendwie schaut das einfach aus

aber seit wann is c=a+b?
wenn du den pyhtagoras meinst, der is mit hoch2


ad deiner sig
stimmt das wirklich, dass soviele fehler in nem code sind?
ich schreib auch selber welche, aber ich glaub ned, dass ich soviele hab

[Stone2001]

Original geschrieben von beta3
irgendwie schaut das einfach aus

aber seit wann is c=a+b?
wenn du den pyhtagoras meinst, der is mit hoch2
Das ist nur die Addition zwei komplexen Zahlen, mit Pythagoras hat das absolut nichts zu tun. ;)
Original geschrieben von beta3
ad deiner sig
stimmt das wirklich, dass soviele fehler in nem code sind?
ich schreib auch selber welche, aber ich glaub ned, dass ich soviele hab
Heute nicht mehr, die Softwaretechnik hat sich seitdem echt weit entwickelt. Hier mal ein paar Zahlen:
Auf 1000 Codezeilen kamen:
1977 : durchschnittlich 7 - 20 Defekte
1994 : durchschnittlich 0.2 - 0.05 Defekte

Wenn man bedenkt, das z.b der Linux-Kernel in der 2.6er Version ca. 10^8 Codezeilen hat, dann kannste dir mal ausrechnen, wieviele Fehler im Kernel stecken. (Win NT 5.0 hat, glaub ich, auch 30 mio Codezeilen)

[beta3]

naja, bei win glaub ich sofort dass es ein haufen fehler gibt;D

ich find diese komplexen zahlen irgendwie interessant und einfach und brauchen werde ich die wahrscheinlich eh erst, wenn ich studiere, aber bis dahin sinds ja noch ein paar jaehrchen

[Dr.Doom]

Original geschrieben von Gast
m / 0 = ?

m / 0 = n => m = 0 * n

d.h.: alle n möglich
Das ist keine Äquivalenzumformung, daher Schmonsens.
Um von m=0*n auf m/0=n ist der Schritt 'teile durch Null' nötig, welcher aber nicht erlaubt ist.

"Aus etwas Falschem, kann man alles folgern."

[Gast]

Original geschrieben von Stone2001
Seinen a = 3 + i5, b = 6 +i9 zwei Komplexe Zahlen, dann ist c = a + b = 3 + i5 + 6 + i9 = 3 + 6 + i(5 + 9) = 9 + i14!


Schreibt man komplexe Zahlen nicht auch so:
a = (3;5), b = (6;9)
c = a + b = (3;5) + (6;9) = (3+6;5+9) = (9;14)

[BadFred]

Original geschrieben von beta3
irgendwie is alles viel komplizierter als ich es mir vorgestellt habe

ab wann lernt man eigentlich die komplexen zahlen in der schule?
und fuer was braucht man solche zahlen? (asser komplizierte theorien nachrechnen, falls man sie ueberhaupt dort braucht)

Komplexe Zahlen sind Erstsemesterstoff in mathematisch-naturwissenschaftlichen Studiengängen. Freundin von mir hat's allerdings schon in der 13ten Klasse gehabt (Bayern).

Wo man das braucht? In der komplexen Wechselstromrechnung beispielsweise, allgemein zum Beschreiben von Schwingungen und in diversen theoretischen Gebieten der Physik.

Komplexe Zahlen sind keine grosse Sache, prinzipiell eine Erweiterung des reellen Zahlenkörpers. Der Rest wurde ja hier, größtenteils richtig, aufgeführt. :)

[Braincatcher]

Klingt interessant. Mein alter Mathelehrer hatte mir allerdings schon in der 8. Klasse gesagt, dass man die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht in der Schule wird ziehen können (NRW).

[aths]

Original geschrieben von Gast
Schreibt man komplexe Zahlen nicht auch so:
a = (3;5), b = (6;9)
c = a + b = (3;5) + (6;9) = (3+6;5+9) = (9;14) Nein, so ähnlich schreibt man Vektoren, aber keine komplexen Zahlen.

[Stone2001]

Ich hab diese Schreibweise auch noch nirgends gesehen, kann mir aber durchaus vorstellen, das sie irgendein Mathedozent mal eingeführt hat.

[BadFred]

Die obige - unübliche - Schreibweise wurde uns zusätzlich zur gängigen a+i*b bzw. e^(i*Phi) dargelegt. :)

[BavariaBlade]

Original geschrieben von aths
Damit ist es keine reelle Zahl mehr :) Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Komponenten, dem Real- und dem Imaginärteil, wobei man, wie du schon gesagt hast, den Realteil auf Position auf der X- und den Imaginärteil als Position auf der Y-Ebene betrachten kann.

Der "Operator" (genauer gesagt, die Konstante) die eben dafür sorgt, dass der Imaginärteil imaginär ist, hat ja so einige Besonderheiten.

So ist i² = -1.

e^(-ix) ist i*sin(x)+cos(x).

Du hast doch sicherlich "y-Achse" gemeint, oder ?

@Beta 3

Hattet ihr schon "Vektoren" , in welcher Klasse ist Du gerade ?

servus

[Legolas]

Original geschrieben von aths
Nein, so ähnlich schreibt man Vektoren, aber keine komplexen Zahlen.

Alles reine Definitionssache :). Ich hab die obige Schreibweise auch schon gesehen.

[beta3]

Original geschrieben von BavariaBlade
@Beta 3

Hattet ihr schon "Vektoren" , in welcher Klasse ist Du gerade ?

servus

ne
bin jetzt 5.kl oberstufe gymnasium, österreich

vektoren sind ja ne bestimmte art von strichen

[BavariaBlade]

Naja.. besser beschreiben kann man sie mit "Pfeilen". Ich wollte das nur wissen weil man die Komplexen zahlen dann leichter beschreiben kann.

hier mal ne kleine übersicht über Zahlen-mengen:

Natürliche Zahlen N : 1,2,3,4....

Ganze Zahlen Z: ...-2,-1,0,1,2,3....

Gebrochene Zahlen Q: ...-1/2, -1/4, 3/5, ...

Reelle Zahlen R: Pi, eulersche Zahl, Wurzel aus 2, ...

Komplexe zahlen C: j entsricht Wurzel aus -1


Also von oben nach unten kommt immer was hinzu d.h. das zum Beispiel die Gebrochenen Zahlen alle Ganzen und alle Normalen Zahlen enthalten.
Rechnet ihr schon mit negativen Zahlen oder Brüchen ??
Noch Fragen ??

servus

[ethrandil]

Original geschrieben von beta3 vektoren sind ja ne bestimmte art von strichen
naja, schon

"Strecken mit einer Richtung"

Man kann komplexe zahlen als Vektoren betrachten! Der realteil (ohne i) stellt den x-wert dar, der imaginärteil den y-wert.
bei multiplikationen verhalten sich kompz. uznd vektoren identisch.

Wir (Hamburg, PISAlooser) hatten das im Mathe EK 11. Klasse.

[BadFred]

Original geschrieben von BavariaBlade j entsricht Wurzel aus -1

Wenn ich "i = (-1)^0,5" sagen würde, wäre ich durch die Matheprüfunge gefallen. ;)

Korrekt: i² = -1.

:D

[beta3]

Reelle Zahlen R: Pi, eulersche Zahl, Wurzel aus 2, ...

Komplexe zahlen C: j entsricht Wurzel aus -1


Also von oben nach unten kommt immer was hinzu d.h. das zum Beispiel die Gebrochenen Zahlen alle Ganzen und alle Normalen Zahlen enthalten.
Rechnet ihr schon mit negativen Zahlen oder Brüchen ??
Noch Fragen ??

servus

was sind eulersche zahlen??????
wir rechnen schon seit drei jahren mit reellen zahlen, mit brüchen seit 4jahren (is ja nur ne andere art ne division hinzuschreiben)


Wir (Hamburg, PISAlooser) hatten das im Mathe EK 11. Klasse.
und welche klasse ist das im österr. format?

[ethrandil]

Original geschrieben von beta3 und welche klasse ist das [11.] im österr. format?
keine ahnung...
bin 16 (eine übersprungen)
noch 2 jahre bis zum höchsten (schulischen) abschluss, abitur

[BavariaBlade]

Original geschrieben von BadFred
Wenn ich "i = (-1)^0,5" sagen würde, wäre ich durch die Matheprüfunge gefallen. ;)

Korrekt: i² = -1.

:D

Ist ja auch falsch! Deswegen hab ich ja auch "entspricht" hingeschrieben (leider ohnep *g*).

[BavariaBlade]

Original geschrieben von beta3
was sind eulersche zahlen??????
wir rechnen schon seit drei jahren mit reellen zahlen, mit brüchen seit 4jahren (is ja nur ne andere art ne division hinzuschreiben)



und welche klasse ist das im österr. format?

Die Eulersche zahl e ist irgendwas mit 2,7... Kannst ja mal den Taschenrechner nehmen und e^1 eingeben.

mit ihr kann man eine Kompexe Zahl in der Polarform darstellen. Aus der Polarform kannst Du direkt den Betrag und den winkel zur X-Achse ablesen.

Damit Du dir das besser vorstellen kannst versuche dir eine UHR vorzustellen. Die länge des Zeigers ist der Betrag und die Uhrzeit ist der Winkel.

SO !ungefähr!

Und das Ziffernblatt wäre dann die Gaussche Zahlen-Ebene (was nichts Weiter als ein XY Koordinatensystem ist und der besseren Veranschaulichung dient.)

servus

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von aths
Damit ist es keine reelle Zahl mehr :) Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Komponenten, dem Real- und dem Imaginärteil, wobei man, wie du schon gesagt hast, den Realteil auf Position auf der X- und den Imaginärteil als Position auf der Y-Ebene betrachten kann.
Das ändert nichts daran, dass sowohl der Real- als auch der Imaginärteil (nämlich ohne i) aus den reellen Zahlen stammen.

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von BadFred
Wenn ich "i = (-1)^0,5" sagen würde, wäre ich durch die Matheprüfunge gefallen. ;)

Korrekt: i² = -1.

:D
Dann definier doch einfach mal i ... :D

[Stone2001]

Original geschrieben von BavariaBlade
Komplexe zahlen C: j entsricht Wurzel aus -1

hmm, bist du Elektrotechniker? Denn nur die Elektrotechniker bezeichnen i mit j. Das Symbol i wurde 1777 von Euler eingeführt. (der z.B. auch folgende Beziehung aufgestellt e^(pi * i) + 1 = 0, in dieser Beziehung kommen alle 'Fundamentalzahlen' vor)

[Stone2001]

Original geschrieben von BavariaBlade
Die Eulersche zahl e ist irgendwas mit 2,7... Kannst ja mal den Taschenrechner nehmen und e^1 eingeben.

e kann man ganz leicht selber ausrechnen! Einfach den Grenzwert von n gegen unendlich von (1 + 1/n)^n bilden, und schon hat man die 'Eulersche Zahl' e!

Original geschrieben von BavariaBlade mit ihr kann man eine Kompexe Zahl in der Polarform darstellen. Aus der Polarform kannst Du direkt den Betrag und den winkel zur X-Achse ablesen.

Erklär mir mal, was jetzt die Eulersche Zahl genau mit Polarkoordinaten zu tun hat?
Die 'Länge des Vektors' r bekomme ich ganz einfach über den Betrag der Komplexen Zahl x = y +iz und den Winkel z.B. durch folgende Gleichung: x / r = cos phi! Wo bitte ist e drin, oder reden wir gerade aneinander vorbei?

[BadFred]

Original geschrieben von Stone2001
e kann man ganz leicht selber ausrechnen! Einfach den Grenzwert von n gegen unendlich von (1 + 1/n)^n bilden, und schon hat man die 'Eulersche Zahl' e!

Oder von 0 bis +unendlich über (k!)^(-1) aufsummieren, was bei kleinen n "genauer" als deine Folge ist. :)

@harkpabst: i ist die Zahl, deren Quadrat -1 ergibt. :D

[Stone2001]

Original geschrieben von BavariaBlade mit ihr kann man eine Kompexe Zahl in der Polarform darstellen. Aus der Polarform kannst Du direkt den Betrag und den winkel zur X-Achse ablesen.

Erklär mir mal, was jetzt die Eulersche Zahl genau mit Polarkoordinaten zu tun hat?
Die 'Länge des Vektors' r bekomme ich ganz einfach über den Betrag der Komplexen Zahl x = y +iz und den Winkel z.B. durch folgende Gleichung: x / r = cos phi! Wo bitte ist e drin, oder reden wir gerade aneinander vorbei?

@BadFred: Wobei ich eine Folge habe und du ne Reihe ;)

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von BadFred
@harkpabst: i ist die Zahl, deren Quadrat -1 ergibt. :D
Und was ist -i? =)

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Stone2001
Die 'Länge des Vektors' r bekomme ich ganz einfach über den Betrag der Komplexen Zahl x = y +iz und den Winkel z.B. durch folgende Gleichung: x / r = cos phi! Wo bitte ist e drin, oder reden wir gerade aneinander vorbei?
Es ist einfach nur eine andere Schreibweise. Eine, bei der Betrag und Winkel eben sofort und ohne umrechnung ersichtlich sind.

Und in der e-Schreibweise ist dann auch die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ganz einfach.

[BadFred]

Original geschrieben von Stone2001
@BadFred: Wobei ich eine Folge habe und du ne Reihe ;)

Ja klar, sonst würde ich ja nicht summieren. ;)

@Harkpabst: -i = i^3 =)

So, genügend Haare gespaltet, ich geh' schlafen.

[BavariaBlade]

Original geschrieben von Stone2001
hmm, bist du Elektrotechniker? Denn nur die Elektrotechniker bezeichnen i mit j. Das Symbol i wurde 1777 von Euler eingeführt. (der z.B. auch folgende Beziehung aufgestellt e^(pi * i) + 1 = 0, in dieser Beziehung kommen alle 'Fundamentalzahlen' vor)

Mist erwischt ;) !
Ja bin ETech-Student, genauer Elekro- und Informationstechnik. Wir benutzen j anstelle von i um die Verwechslung mit dem Strom (auch I bzw i) zu vermeiden.

servus

[Haarmann]

Also mal wieder nen Nebenkriegsschauplatz...
Es gibt durchaus auch Mathematiker, die x:0 definieren wollten. Deren Definition wäre alles dividiert durch 0 gibt ne null nach der Logik des Kuchens. Nimm nen Kuchen und schneide den in 0 Teile und esse dann einen Teil davon - was hast gegessen? - gar nichts - es gälte dann also x:0=0. Das Problem mit der Definition wäre, dass sie den Mathematikern Probleme andersweitig bereitet hätte und somit wurde/wird drauf verzichtet es zu definieren, denn es spart den Mathematikern viel Zeit. Diese Geschichte hörte ich sowohl vom Angewannte Mathematik Lehrer, als auch vom späteren Mathe Lehrer und daher denke ich, dass es Hand und Fuss hat.

Komplexe Zahlen kannte ich allerdings schon (das heisst ned, dass ichs in der Schule gehabt hätte) ab der 5-en Klasse - witzigerweise kriegte ich immer nen Falsch zurück, wenn ich se anwenden wollte ;).

[BavariaBlade]

Original geschrieben von Stone2001
Erklär mir mal, was jetzt die Eulersche Zahl genau mit Polarkoordinaten zu tun hat?
Die 'Länge des Vektors' r bekomme ich ganz einfach über den Betrag der Komplexen Zahl x = y +iz und den Winkel z.B. durch folgende Gleichung: x / r = cos phi! Wo bitte ist e drin, oder reden wir gerade aneinander vorbei?

@BadFred: Wobei ich eine Folge habe und du ne Reihe ;)

Wie harkpabst_meliantrop ist esnur eine andere Form der Darstellung ,die die Rechnung erleichtert.

r*e^(j*phi) = r*cos(phi) + j*r*sin(phi)

^^^^^^----^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Polarform-----Karthesische Form

Multipizieren und Dividieren ghet mit der Polarform einfacher.
Addieren und Subtrahieren funzt mit der karthesischen form besser.

Bin mir nichtmehr so ganz sicher > "sinus cosinus und die Exp Funktionen sind über Reihen definierbar und haben dort viele gemeinsamkeiten, desshalb funktioniert diese art der Umformung".

[Stone2001]

Original geschrieben von BavariaBlade
Bin mir nichtmehr so ganz sicher > "sinus cosinus und die Exp Funktionen sind über Reihen definierbar und haben dort viele gemeinsamkeiten, desshalb funktioniert diese art der Umformung".
Sie sind nicht nur definierbar, sie sind es sogar! ;)
Die Art der Umformung geht, weil es die komplexe e-Funktion ist und jede Seite einfach jeweils mit r erweitert wird.

[aths]

Original geschrieben von BavariaBlade Multipizieren und Dividieren ghet mit der Polarform einfacher.
Addieren und Subtrahieren funzt mit der karthesischen form besser.Ja, wenn man's von Hand macht :) Habe kürzlich (mit Xmas' Hilfe) eine Klasse für komplexe Zahlen geschrieben, die auch multiplizieren und dividieren kann, alles in der "üblichen" Schreibweise mit "a+bi" http://www.aths.net/files/smilies/smile.gif

[Amarok]

Wunderbar..;)
Ich kann mich noch sehr gut an unser Maturabeispiel erinnern. Die Fragestellung war:


Der Punkt A hat die Koordinaten 2/3. Man nehme seinen Ortsvektor, drehe diesen 60° gegen den Uhrzeigersinn und verkürze ihn um 1/3. Man erhält den Punkt B. Nun nehme man diesen Ortsvekrot, drehe ihn 120° im Uhrzeigersinn und verlänger ihn auf das 5-fache.Man erhält den Punkt C. Punkte A.B.C ergeben ein Dreieick. Berechen die Fläche dieses Dreieicks.


Wir waren damals 12 Leute in unserer Leistungsgruppe, 6 schafften dieses Beispiel, wobei von den 12 ganz 10 mithelfe der Vektorrechnung dieses Beispiel angingen, 2 mit..na ratet mal :D:D

[aths]

Hm, ich hätte das jetzt auch mit Vektor-Rechnung gemacht http://www.aths.net/files/smilies/bescheuert.gif

[patermatrix]

Kann mir jemand kurz rechnerisch erklären, wie das mit der Drehung gemacht wird?
Vektor-Rechnungen haben wir momentan in der Schule, doch zu sowas wie Vektoren drehen sind wir noch nicht gekommen.

[Amarok]

Um es mit Vektoren zu rechenen brauchst du mehr als 5 Seiten, aber mit der anderen Methode kannst du es auf einer halben unterbringen....


Der Clou dabei war: Es hätte das Vektorenbeispiel sein sollen, unser Lehrer dachte nicht daran, dass man es auch anders lösen könnte :D


Zur Lösung DER Hinweis: Nehmt einfach die Koordinaten des Punktes als komplexe Zahl:

A: 2+3i

[beta3]

mal ne frage

vektoren sind ja linien
und jede linie hat ja im normal fall 4 koordinaten, beginn und ende
beginn und ende haben jeweils wieder zwei koordinaten, x und y

aber wieso haben vektoren insgesamt nur 2????


amorak, hast du auch komplexe zahlen in der schule gelernt?
in welcher schule warst du? (BG?)

[Stone2001]

Original geschrieben von beta3
mal ne frage

vektoren sind ja linien
und jede linie hat ja im normal fall 4 koordinaten, beginn und ende
beginn und ende haben jeweils wieder zwei koordinaten, x und y

aber wieso haben vektoren insgesamt nur 2????

Weil, das zweite Koordinatenpaar meistens im Ursprung liegt und deshalb nicht unbedingt angegeben werden muß. (Das sind dann sogenannte Ortsvektoren)

[BavariaBlade]

Original geschrieben von Amarok
Wunderbar..;)
Ich kann mich noch sehr gut an unser Maturabeispiel erinnern. Die Fragestellung war:


Der Punkt A hat die Koordinaten 2/3. Man nehme seinen Ortsvektor, drehe diesen 60° gegen den Uhrzeigersinn und verkürze ihn um 1/3. Man erhält den Punkt B. Nun nehme man diesen Ortsvekrot, drehe ihn 120° im Uhrzeigersinn und verlänger ihn auf das 5-fache.Man erhält den Punkt C. Punkte A.B.C ergeben ein Dreieick. Berechen die Fläche dieses Dreieicks.


Wir waren damals 12 Leute in unserer Leistungsgruppe, 6 schafften dieses Beispiel, wobei von den 12 ganz 10 mithelfe der Vektorrechnung dieses Beispiel angingen, 2 mit..na ratet mal :D:D

B: (2+3i)*1/3*e^(i*60°)
c: B*5*e^(i*-120°)

stimmt doch oder ??

[aths]

Original geschrieben von beta3
mal ne frage

vektoren sind ja linienNein. Vektoren sind gerichtete Größen. Keine Linien.

[BavariaBlade]

Original geschrieben von Stone2001
Sie sind nicht nur definierbar, sie sind es sogar! ;)
Die Art der Umformung geht, weil es die komplexe e-Funktion ist und jede Seite einfach jeweils mit r erweitert wird.

Was fragst Du mich denn, wenn Du es doch selbst weißt ;)

Spass beisetie.
Die komplexe Exp- Funktion haben wir gerade erst angeschnitten, genauer gesagt machen wir in Mathe gerade "ORTSKURVEN" durch (ähm glaub ich ;) )

servus

[beta3]

Original geschrieben von aths
Nein. Vektoren sind gerichtete Größen. Keine Linien.

kannst du mir das bitte erklären wie du das meinst?

[BadFred]

Original geschrieben von beta3
kannst du mir das bitte erklären wie du das meinst?

Vektoren haben als gerichtete Größen einen Betrag und eine Richtung.

[beta3]

so z.b.
groesse is 10, das bedeutet sie ist 10 lang
richtung is 3, das bedeutet sie schaut in richtung 3


richtig?

[BavariaBlade]

Original geschrieben von beta3
so z.b.
groesse is 10, das bedeutet sie ist 10 lang
richtung is 3, das bedeutet sie schaut in richtung 3


richtig?

fast (siehe ethrandil :) )


mal ein Beispiel

Der Ortsvektor(1/1) fängt bei (0/0) an und zeigt in die Richtung (1/1).

Am besten Du malst mal ein x-y Koordinatensytem hin und zeichnest die 2 Punkte ein, nun verbindest du diese und malst bei (1/1) eine Pfeilspitze ein.

um den Betrag zu erhalten kannst Du den Satz des Pythagoras anwenden.
also: Sqrt(1²+1²)

Nun hast Du einen Vektor mit dem Betrag(länge) von 1,4... der in die Richtung (1/1) zeigt.

Alle Klarheiten beseitigt ?!

servus

[ethrandil]

Original geschrieben von beta3
so z.b.
groesse is 10, das bedeutet sie ist 10 lang
richtung is 3, das bedeutet sie schaut in richtung 3


richtig?
richtig. richtung 3 könnte 3° sein.
Aber du kannst das auch als x / y schreiben, dann wärs

x = 10 * cos 3
y = 10 * sin 3

Der ursprungspunkt ist wie gesagt immer (0/0)

[beta3]

ah danke, jetzt kenn ich mich aus

edit:
kann mir auch noch wer das mit sin und cos erklaeren, ich hab in der schule nur tan^-1 gelernt

[Amarok]

Ich ging in ein BRG, war damals so eine Versuchsschule mit Leistungsgruppen sowie Schularbeiten in Biologie und Physik. War toll, in Physik waren wir nur 6 :D

[Amarok]

Original geschrieben von beta3
ah danke, jetzt kenn ich mich aus

edit:
kann mir auch noch wer das mit sin und cos erklaeren, ich hab in der schule nur tan^-1 gelernt
Hier (http://www.physicsnet.org/html/content-25-2.html) ist eine gute Site, da kannst du dich austoben.

[Amarok]

Original geschrieben von BavariaBlade
B: (2+3i)*1/3*e^(i*60°)
c: B*5*e^(i*-120°)

stimmt doch oder ??
Hm, nein.

Zuerst den Ortsvektor von A in Polarform umschreiben, dann kannst du mit den Winkeln arbeiten.

[BavariaBlade]

Original geschrieben von Amarok
Hm, nein.

Zuerst den Ortsvektor von A in Polarform umschreiben, dann kannst du mit den Winkeln arbeiten.

Das macht doch mein Taschenrechner ;)

Aber vom Ansatz her stimmts doch ?

servus

[Amarok]

Original geschrieben von BavariaBlade
Das macht doch mein Taschenrechner ;)

Aber vom Ansatz her stimmts doch ?

servus

Der schreibt dir die komplexe Zahl in Polarform um?

[BadFred]

Original geschrieben von Amarok
Der schreibt dir die komplexe Zahl in Polarform um?

Hab's gerade getestet: Mein Ti83 schreibt a+ib = r*e^(i*Phi) um, wenn man das möchte. :)

[Frank]

Original geschrieben von aths
Ja, wenn man's von Hand macht :) Habe kürzlich (mit Xmas' Hilfe) eine Klasse für komplexe Zahlen geschrieben, die auch multiplizieren und dividieren kann, alles in der "üblichen" Schreibweise mit "a+bi" http://www.aths.net/files/smilies/smile.gif In'ner richtigen Programmiersprache hättest du dir die Arbeit sparen können. :D

Original geschrieben von Xmas
0^0 ist unbestimmt. ist 1. Die Erklärung ist glaube ich min eine Seite Mengentheorie. Kann ich ja ma rauskramen falls Interesse.

[Amarok]

Original geschrieben von BadFred
Hab's gerade getestet: Mein Ti83 schreibt a+ib = r*e^(i*Phi) um, wenn man das möchte. :)
[lästermode]
ich hoffe du benutzt nicht den Taschenrechner für z.B. 12+24 :D ;)
[/lästermode]

[aths]

Original geschrieben von Frank
ist 1. Die Erklärung ist glaube ich min eine Seite Mengentheorie. Kann ich ja ma rauskramen falls Interesse. Läl, sogar Matlab behauptet, dass 0^0=1 sei?? Seltsam, seltsam...

[Braincatcher]

Original geschrieben von aths
Läl, sogar Matlab behauptet, dass 0^0=1 sei?? Seltsam, seltsam...

Ich hatte irgendwann mal meinen ehemaligen Mathelehrer und einen Refrendar gefragt, die sagten mir auch, 0^0 sei 1.
@Frank: Jaaaa.*lechz*

edit: Mich interessiert mal was (quasi bei diesem Thema bei Adam und Eva :D): Wie zeichnet man ein Koordinatensystem mit 3 Achsen?

[Frank]

Original geschrieben von aths
Läl, sogar Matlab behauptet, dass 0^0=1 sei?? Seltsam, seltsam... nicht nur MatLab auch Maple. Mathematika spuckt dagegen einen kleinen Fehler aus.

Da ich vom Grunde her faul bin, hier ein Teil des Vorlesungsskrips: http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~fh468638/temp/ANA_1_06.ps (Seite 4)

edit PDF: http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~fh468638/temp/ANA_1_06.pdf

[Stone2001]

Ich habs doch gleich gsagt, dass 0^0 = 1 ist. Aber ich zieh jetzt trotzdem mal den Beweis rein! :D

[harkpabst_meliantrop]

Ich wüsste auch nicht, an welcher Stelle man sich mit der Definition 0 hoch 0 gleich 1 ein Problem einhandeln würde. Solange alle Rechenregeln gültig bleiben, gibt es doch gar keinen Grund für eine Ausnahme.

Allerdings sind sich die Mathematiker ja noch nichtmal untereinander einig, ob man die 0 nun zu den natürlichen Zahlen zählen soll oder nicht. Jeder Prof. macht's nach seinem persönlichen Geschmack. Allerdings scheinen die Null-Ausschließer wohl in der Mehrheit zu sein.

[Xmas]

Original geschrieben von harkpabst_meliantrop
Ich wüsste auch nicht, an welcher Stelle man sich mit der Definition 0 hoch 0 gleich 1 ein Problem einhandeln würde. Solange alle Rechenregeln gültig bleiben, gibt es doch gar keinen Grund für eine Ausnahme.

lim(x->0): x^0 ist 1
lim(x->0): 0^x ist 0

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Xmas
lim(x->0): x^0 ist 1
lim(x->0): 0^x ist 0
Stimmt schon, aber ein echtes Problem sehe ich trotzdem noch nicht. Die Ausdrücke sind eben nicht äquvalent. Und beim Grenzübergang könenn eben immer unerwartete Dinge passieren.

Ein populäres Beispiel: Man nähert die Diagonale durch ein Rechteck mit den Kanten a und b an, indem man man die Hälfte der Kantenlänge in x-Richtung, dann in y-Richtung und dann wieder in x-Richung geht. Dann verdoppelt man die Anzahl der Schritte. Für alle endlichen Anzahlen an Schritten ist die Länge, die man auf den "Stufen" zurücklegen kann gleich a + b. Beim Grenzübergang gegen unendlich ist die Länge dann plötzlich nur noch Wurzel(a² + b²).

[Tesseract]

wenn ein mathematikprogramm 1 ausspückt, heißt das nich lange nichts

kann genausogut sein das x^0 immer abgefangen, und 1 ausgegeben wird um rechenzeit zu sparen

ich selbst komme einfach auf keinen grünen zweig
es gibt einige beispiele wo es ungereimtheiten gibt
(aufspalten von 0^0 in (0^1)*(0^-1) oder 0^x=1 per logarithmus ausrechnen)

andererseits wüde ich gefühlsmäßig auf 1 tippen

ARGH *hirnkrebsbekomm* :D

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Tesseract
wenn ein mathematikprogramm 1 ausspückt, heißt das nich lange nichts

kann genausogut sein das x^0 immer abgefangen, und 1 ausgegeben wird um rechenzeit zu sparen

ich selbst komme einfach auf keinen grünen zweig
es gibt einige beispiele wo es ungereimtheiten gibt
(aufspalten von 0^0 in (0^1)*(0^-1) oder 0^x=1 per logarithmus ausrechnen)

andererseits wüde ich gefühlsmäßig auf 1 tippen

ARGH *hirnkrebsbekomm* :D
Da 0^-1 - wie oben bereits des mehrfach betont - nicht definiert ist, kannst du zumindest den Fall streichen. :)

[Tesseract]

Original geschrieben von harkpabst_meliantrop
Da 0^-1 - wie oben bereits des mehrfach betont - nicht definiert ist, kannst du zumindest den Fall streichen. :)

eben, so beginnt nämlich der beweis für x^0=1 (wenn x != 0)

die frage is dann wie man überhaupt auf die annahme kommt das 0^0=1 ist wenn es sich (zumindest auf diesem weg) nicht von den axiomen herleiten lässt

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Tesseract
eben, so beginnt nämlich der beweis für x^0=1 (wenn x != 0)
Beweis? Das ist IMHO simples Ausrechnen. Und das man beim Rechnen alle Rechenregeln beachten muss, ist ja nicht verblüffend.

Einen Beleg für die Aussage 0^0 = 1, der über die Mächtigkeit von Mengen funktioniert, hatte Frank doch schon verlinkt.

[Tesseract]

Original geschrieben von harkpabst_meliantrop
Beweis? Das ist IMHO simples Ausrechnen.

nicht ausrechnen sondern umformen

stimmt, es is relativ trivial, aber dennoch ein eindeutiger beweis das x^0, wenn x != 0 immer 1 ist


Original geschrieben von harkpabst_meliantrop
Einen Beleg für die Aussage 0^0 = 1, der über die Mächtigkeit von Mengen funktioniert, hatte Frank doch schon verlinkt.

ich hab gemeint das ich bei meinen überlegungen (die schon lange vor dem thread hier stattgefunden haben) nicht darauf gekommen bin wieso 0^0=1 sein sollte
nicht jedoch das es einen solchen beweis nicht gibt

vielleicht habe ich mich undeutlich ausgedrückt

[Gast]

Original geschrieben von harkpabst_meliantrop
Ein populäres Beispiel: Man nähert die Diagonale durch ein Rechteck mit den Kanten a und b an, indem man man die Hälfte der Kantenlänge in x-Richtung, dann in y-Richtung und dann wieder in x-Richung geht. Dann verdoppelt man die Anzahl der Schritte. Für alle endlichen Anzahlen an Schritten ist die Länge, die man auf den "Stufen" zurücklegen kann gleich a + b. Beim Grenzübergang gegen unendlich ist die Länge dann plötzlich nur noch Wurzel(a² + b²). Falsch!

[BavariaBlade]

Original geschrieben von Amarok
Der schreibt dir die komplexe Zahl in Polarform um?

Nicht nur das !! Ich kann es wild durcheinander eingeben (so wie ich es geschriebn habe z.B.) und er spukt mir dann das Ergebniss in der gewünschten Schreibweise aus.

Und programmiebar ist er auch nicht und somit in jeder Schule erlaubt.

http://www.sharp-in-der-schule.de/deutsch/geraete/el-546.htm

In Mathe dürfen wir sowiso keinen TR benutzen, aber in E-Tech immerhin einen nichtprogammierbaren (und da kann die ständige Umrechnung schon mal ziemlich nervig werden).

von Casio gibts sogar einen bei dem man die Werte schon direkt in milli oder µ eingeben kann.

[beta3]

Original geschrieben von BadFred
Hab's gerade getestet: Mein Ti83 schreibt a+ib = r*e^(i*Phi) um, wenn man das möchte. :)

wie gibst du das ein??????
ich hab auch einen, hab aber keinen blassen schimmer wie man sowas eingibt
kann der tr eigentlich auch algebraische formeln und gleichungen mit variablen rechnen?

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Gast
Falsch!
Typisch Gast. ;)

[Xmas]

Original geschrieben von Frank
edit PDF: http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~fh468638/temp/ANA_1_06.pdf
Sorry, aber ganz nachvollziehen kann ich das nicht.

3. Die suggestive Notation AB soll am Beispiel
3
2
= f0; 1; 2gf0;1g erläutert werden. Die Menge
f0; 1; 2gf0;1g besteht aus 9 Funktionen, die hier gelistet
werden:
x f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9
0 0 1 0 2 1 2 0 1 2
1 1 0 2 0 2 1 0 1 2
Also haben wir
#3
2
= #9:
4
Wir erkennen die Übereinstimmung mit der Arithmetik
! Allgemein kann man zeigen
#AB
= #mn
falls #A = #m und #B = #n für m; n 2 N :
Dies motiviert die allgemeine Notation.
Etwas unformatiert, aber egal... ich kann diesen Schritt nicht nachvollziehen. Es wird gesagt "wir erkennen die Übereinstimmung mit der Arithmetik", aber diese Übereinstimmung ist doch nicht zwangsläufig. Wenn ich zwei fremde Leute von verschiedenen Orten kennenlerne, und diese in einer Unterhaltung sämtliche gebrauchten Wörter mit demselben Sinn verwenden, kann ich doch daraus immer noch nicht schließen, dass die nicht verwendeten Wörter auch denselben Sinn haben, also die beiden Sprachen identisch sind.
Zwei Funktionen können sich ebenso in genau einem einzigen Punkt unterscheiden. Dann kann ich sie doch nicht gleichsetzen.

[Gast]

Original geschrieben von harkpabst_meliantrop Ein populäres Beispiel: Man nähert die Diagonale durch ein Rechteck mit den Kanten a und b an, indem man man die Hälfte der Kantenlänge in x-Richtung, dann in y-Richtung und dann wieder in x-Richung geht.Das ist keine Annäherung an die Hypotenuse. Deshalb ist der Grenzwert auch immer noch a+b und nicht Wurzel(a² + b²). :p

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Gast
Das ist keine Annäherung an die Hypotenuse. Deshalb ist der Grenzwert auch immer noch a+b und nicht Wurzel(a² + b²). :p
Falsch!

[Gast]

Original geschrieben von harkpabst_meliantrop
Falsch! Falsch!

Beweise deine Behauptung!

[Amarok]

Original geschrieben von Gast
Falsch!

Beweise deine Behauptung!
*interessiertwartend*

[Gast]

Original geschrieben von Amarok
*interessiertwartend* Ich erkläre mal meine:

Bei n Unterteilungen ist die Länge der "angenäherten" Strecke gleich n*(a/n) + n*(b/n). Warum soll für n -> unendlich da Wurzel(a²+b²) rauskommen? Das ist a+b und keine Annäherung an die Hypotenus.

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Gast
Falsch!

Beweise deine Behauptung! Ha, seh ich ja gar nicht ein.

Aber ich biete dir der Einfachheit halber einen heuristischen Beweis an. Lege eine Gerade durch die oberen "Zacken" und eine durch die unteren "Zacken" der Treppenannäherung. Diese Geraden sind - da wird mir wohl noch jeder Zustimmen - parallel. Nun betrachten wir den Abstand der Parallelen, wenn wir die Anzahl der Treppen gegen unendlich gehen lassen.

Der Abstand geht offensichtlich gegen null, sein Grenzwert ist Null. Dann liegen die Geraden offensichtlich übereinander, sie überdecken sich in jedem einzelnen Punkt. Die Strecke, die durch die Schnittpunkte dieser Geraden mit den Ecken des Rechtecks gebildet wird, ist offensichtlich die Diagonale der Länge Wurzel (a² + b²). Die urzsprüngliche "Treppe" liegt aufgrund unserer Definition der Geraden zwischen beiden, bei Abstand null also auf Ihnen. Es handelt sich folglich um die Gerade selber.

Nicht alles, was sich durch Grenzwertbildung ausrechnen lässt, muss zwangsläufig über vollständige Induktion beweisbar sein.


Aber wer lieber noch ein anderes Beispiel haben möchte, der kann gleich bei den parallelen Geraden bleiben. Wie lautet die aktuell gebräuchliche Definition paralleler Geraden?

[harkpabst_meliantrop]

Antwort: Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie sich im Unendlichen schneiden.

Ich finde diese Definition auch etwas schlecht begreifbar, aber sie verdeutlicht ebenfalls, dass für den Grenzübergang nicht immer der Schritt von n nach n + 1 ausreicht.

[Gast]

Ha, seh ich ja gar nicht ein.Dann widerlege meine Behauptung.

Nicht alles, was sich durch Grenzwertbildung ausrechnen lässt, muss zwangsläufig über vollständige Induktion beweisbar sein.Wo ist bei mir Induktion?

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Gast
Dann widerlege meine Behauptung.Der Beweis, der deine Behauptung widerlegt, steht bereits oben. Kannst du doch wohl lesen?

Wo ist bei mir Induktion? Deine Argumentation gilt immer nur für endliche n, wobei n immer um 1 (oder von mir aus auch zwei) erhöht wird. Da ist bei dir Induktion.

Bevor du jetzt weiter rumfaselst wie eine beleidigte Leberwurst, widerlege erstmal meinen Beweis.

[Gast]

Original geschrieben von harkpabst_meliantrop Deine Argumentation gilt immer nur für endliche n, wobei n immer um 1 (oder von mir aus auch zwei) erhöht wird. Da ist bei dir Induktion.Blödsinn. n ist immer eine endliche natürliche Zahl.
Original geschrieben von harkpabst_meliantrop Bevor du jetzt weiter rumfaselst wie eine beleidigte Leberwurst, widerlege erstmal meinen Beweis. Der Grenzwert lim(n->unendlich)n*(a/n) + n*(b/n) = a+b ist nach deiner Behauptung die Länge der Hypotenuse:
(I) c = a + b
Weil aber der Satz des Pythagoras richtig ist:
(II) c² = a² + b²
folgt:
(I*) c² = (a + b)²
c² = a² + 2ab + b²
also
c² = a²+b² = a² + 2ab + b²
0 = 2ab
Widerspruch. Also ist deine Behauptung falsch.

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Gast
Blödsinn. n ist immer eine endliche natürliche Zahl.

Du musst noch lernen, dass Unendlich keine Zahl ist.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
n ist immer eine endliche natürliche Zahl.

wenn du n so definierst fällt n=unendlich aber sowieso aus deinem definitionsbereich raus und dadurch kannst du es weder wiederlegen noch beweisen

[Gast]

Original geschrieben von harkpabst_meliantrop
Du musst noch lernen, dass Unendlich keine Zahl ist. Original geschrieben von Tesseract
wenn du n so definierst fällt n=unendlich aber sowieso aus deinem definitionsbereich raus und dadurch kannst du es weder wiederlegen noch beweisenHallo? Wisst ihr was ein Grenzwert ist? Da steht n->unendlich und nicht n=unendlich. n wird nie undendlich.

lim(n->0)1/n = unendlich heißt ja auch nicht dass 1/0=unendlich.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
Hallo? Wisst ihr was ein Grenzwert ist? Da steht n->unendlich und nicht n=unendlich. n wird nie undendlich.


lern lesen

es geht um den fall n=unendlich und nicht n->unendlich



Original geschrieben von harkpabst_meliantrop
Ein populäres Beispiel: Man nähert die Diagonale durch ein Rechteck mit den Kanten a und b an, indem man man die Hälfte der Kantenlänge in x-Richtung, dann in y-Richtung und dann wieder in x-Richung geht. Dann verdoppelt man die Anzahl der Schritte. Für alle endlichen Anzahlen an Schritten ist die Länge, die man auf den "Stufen" zurücklegen kann gleich a + b. Beim Grenzübergang gegen unendlich ist die Länge dann plötzlich nur noch Wurzel(a² + b²).

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
lern lesen

es geht um den fall n=unendlich und nicht n->unendlich Lern verstehen. Beim Grenzübergang gegen unendlich ist die Länge dann plötzlich nur noch Wurzel(a² + b²).Schau dir jetzt mal die Definition von einem Grenzwert an und was ich über lim(n->0)1/n gesagt habe.

[Gast]

im Übrigen ist lim(n->unendlich)[n*(a/n) + n*(b/n)] = lim(n->unendlich)[a + b] = a+b

[Tesseract]

schon mal daran gedacht das sich die aussagen garnicht widersprechen weil in dem fall a+b=sqr(a²+b²)=0 ist?

a+b is genauso richtig wie sqr(a²+b²)


für alle endlichen n ist nur a+b richtig, aber n=unendlich ist eine ausnahme

daher kannst du auch nicht sagen sqr(a²+b²) ist falsch weil es a+b ist

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
schon mal daran gedacht das sich die aussagen garnicht widersprechen weil in dem fall a+b=sqr(a²+b²)=0 ist?seit wann sind a und b = 0?

[Tesseract]

seit du a und b gegen null gehen hast lassen bis sie null sind

genau darum geht es bei dem beispiel oder?

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
seit du a und b gegen null gehen hast lassen bis sie null sind

genau darum geht es bei dem beispiel oder? Nö, a und b ist konstant, > 0 und reelle Zahlen. n geht gegen unendlich.

[Tesseract]

kann mal jemand eine skizze anfertigen?

ich blick irgendwie nicht durch das da genau gemeint ist

so wie ich es verstanden habe* würde alles zusammen passen aber scheinbar ist was anderes gemeint

*) man halbiert a und b immer und immer wieder
bei der unendlichsten halbierung sind beide null wodurch die relation zwischen a unf b verloren geht und alles null wird
ergo kann man die stecke a+b auch als c eines rechtwinklickgien dreiecks auffassen wodurch sqr(a²+b²) ebenso zutrifft wie a+b

[Gast]

_
c _| |
_| | b
_| |
|_______|
a
hier ist n=4

[Tesseract]

wenn das so is sieht man ja auf den ersten blick das hier sqr(a²+b²) rauskommt bei stückelung in unendlich teile weil das eine gerade ergibt

und übrigenz
Original geschrieben von Gast
lim(n->unendlich)[n*(a/n) + n*(b/n)] = lim(n->unendlich)[a + b] = a+b

nehmen wir mal n*(a/n) her:
in der klammer ergibt der limes 0, wodurch a wegfällt
somit bleibt unendlich mal 0 ohne a
eindeutig nichtmehr lösbar
wenn wir die klammer anders setzen (was natürlich auch geht, also (a*n)/n) kommen wir auf a*unendlich=unendlich, also fällt a wieder weg

somit kommen wir nicht zu a+b sondern nicht lösbar + nicht lösbar, also nix

in jedem fall fallen a und b komplett weg

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
und übrigenz


nehmen wir mal n*(a/n) her:
in der klammer ergibt der limes 0, wodurch a wegfällt
somit bleibt unendlich mal 0 ohne a
eindeutig nichtmehr lösbar
wenn wir die klammer anders setzen (was natürlich auch geht, also (a*n)/n) kommen wir auf a*unendlich=unendlich, also fällt a wieder weg

somit kommen wir nicht zu a+b sondern nicht lösbar + nicht lösbar, also nix

in jedem fall fallen a und b komplett weg
nö, ich vereinfache erst n*(a/n) + n*(b/n) zu a+b und rechne dann den Limes. das darf ich, weil n nicht 0 ist.

[harkpabst_meliantrop]

Original geschrieben von Gast
Hallo? Wisst ihr was ein Grenzwert ist? Da steht n->unendlich und nicht n=unendlich. n wird nie undendlich.

lim(n->0)1/n = unendlich heißt ja auch nicht dass 1/0=unendlich.

Stopp. Genau an der Stelle liegt dein Fehler. Du verstehtst offenbar den Grenzwertbegriff falsch. Für alle endlichen n hast du vollkommen Recht: Die Gesamtlänge ist immer a + b. Überhaupt keine Frage.

Einen Grenzübergang zu machen, bedeutet aber gerade eben nicht, dass n immer endlich bleibt, sondern dass man ermittelt, was bei einem unendlichen Wert für n herauskäme, obwohl man dies nicht ausrechnen kann. Die Notation n = undendlich ist natürlich falsch (schon da - wie oben bereits erwähnt - unendlich eben keine Zahl ist und somit auch die Rechenregeln für Zahlen nicht gelten).

Mein Beispiel ist einfach nur einer der Fälle, in denen ein Grenzwert eben nicht dadurch ermittelt werden kann, dass man n immer weiter inkrementiert und schaut, welchem Wert sich das Ergebnis annähert.

Versuch doch wenigstens einmal, dich auf die Erklärung mit den Geraden durch die Ecken der Treppenfunktion einzulassen. Für diese beiden Geraden könnte man sogar problemlos Geradengleichungen angeben und den Abstand nummerisch bestimmen (wozu ich aber im Moment noch zu faul bin). Wenn man darin n erhöht, führt das genau auf das Problem der Grenzwertbestimmung:

Für jedes endliche n ist der Abstand der Geraden > 0. Trotzdem ist der Grenzwert des Abstands für n -> undendlich eben = 0.

[Gast]

Moment. Jetzt mal ganz ausführlich.

Du behauptest lim(n->unendlich)[n*(a/n) + n*(b/n)] = Wurzel(a²+b²) != a+b. Richtig?

Die Definition des Grenzwertes (Forster): Die Folge a_n ? R, n ? N konvergiert gegen a, falls gilt:
Zu jedem epsilon > 0 existiert ein N ? N, so dass
|a_n - a| < epsilon für alle n >= N.
Konvergiert a_n gegen a, so nennt man a den Grenzwert der Folge: lim(n->unendlich)a_n = a.

Unsere Folge ist c_n = n*(a/n) + n*(b/n).
Beweis, dass sie gegen c = a+b konvergiert.
epsilon > 0 vorgegeben.
|c_n - c| = |n*(a/n)+n*(b/n) - (a+b)| = |n*(a/n + b/n) - a-b| = |n*(a+b)/n -a-b| = |(a+b)*n/n -a-b| = |a+b-a-b| = |0| = 0 < epsilon für alle n >= N.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
nö, ich vereinfache erst n*(a/n) + n*(b/n) zu a+b und rechne dann den Limes. das darf ich, weil n nicht 0 ist.

nein das darfst du nicht weil unendlich keine zahl ist und daher nicht gekürzt werden darf in dem sinne

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
nein das darfst du nicht weil unendlich keine zahl ist und daher nicht gekürzt werden darf in dem sinne n != unendlich, n € N. Also darf ich es.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
n != unendlich, n € N. Also darf ich es.

wenn n != unendlich is gilt auch a+b, wo wir uns alle einig sind

[Tesseract]

und nochmal zur definition des grenzwertes:

der grenzwert ist der wert, an den sich eine unendliche folge annähert, aber diesen nie erreicht (oder anders gesagt im unendlichen erreicht)

ergo ist der grenzwert also das unendlichste element der folge

daher ist auch bei dem grenzwert selbst das n = unendlich

wenn n nicht das unendlichste element ist, dann ist es eine natürliche zahl und somit gilt ganz normal a+b

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
wenn n != unendlich is gilt auch a+b, wo wir uns alle einig sind Aha. Und n*(a/n) + n*(b/n) ist für n=unendlich gleich Wurzel(a²+b²)? Das ist undefiniert, wie schon richtig gesagt wurde, weil unendlich /€ N.


Widerlege mal meinen Beweis oben mit der Genzwertdedinition.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
Widerlege mal meinen Beweis oben mit der Genzwertdedinition.

wenn du ihn so aufschreibst das er lesbar ist gerne ;)

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
und nochmal zur definition des grenzwertes:

der grenzwert ist der wert, an den sich eine unendliche folge annähert, aber diesen nie erreicht (oder anders gesagt im unendlichen erreicht)Die Definition steht oben.

Original geschrieben von Tesseract ergo ist der grenzwert also das unendlichste element der folge

daher ist auch bei dem grenzwert selbst das n = unendlich Es ist n € N, und unendlich /€ N. a_unendlich ist undefiniert.

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
wenn du ihn so aufschreibst das er lesbar ist gerne ;) Was ist daran nicht lesbar?

Sag mal noch was zu: Das Ding ist für n=unendlich undefiniert, n=unendlich kann schon gar nicht sein.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
Es ist n € N

korrektur:

N ist eine menge aus unendlich vielen zahlen weil zu jedem n ein n+1 existiert (grunddefinition des zahlenstrangs durch die axiome)

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
wenn das so ist haben wir eine endliche folge und damit auch keinen grenzwert Doch! Lies mal die Definition:

Definition des grenzwertes. Aus O. Forster, Analysis I
Die Folge a_n € R, n € N konvergiert gegen a, falls gilt:
Zu jedem epsilon > 0 existiert ein N € N, so dass
|a_n - a| < epsilon für alle n >= N.
Konvergiert a_n gegen a, so nennt man a den Grenzwert der Folge: lim(n->unendlich)a_n = a.
€ = ist element von
a_n = a Index n

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
korrektur:

N ist eine menge aus unendlich vielen zahlen weil zu jedem n ein n+1 existiert (grunddefinition des zahlenstrangs durch die axiome) richtig. widerlegt das meinen beweis?

[Tesseract]

dein beweis gilt nur für alle n != unendlich

die behauptung is hingegen das bei n = unendlich sqr(a²+b²) gilt

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
dein beweis gilt nur für alle n != unendlichRichtig.
Und n=unendlich ist 1. nicht möglich (n € N) und 2. ist
unendlich*(a/unendlich) + unendlich*(b/unendlich) nicht definiert.

Sag jetzt: Ist lim(n->unendlich)[n*(a/n) + n*(b/n)] = a+b oder nicht?

[Tesseract]

nein weil du bei lim(n->unendlich)[n*(a/n) + n*(b/n)] auf kein ergebnis kommst

du hast einfach den begriff unendlich nicht richtig verstanden

du kannst als n eine beliebig große zahl nehmen und es gilt immer a+b

für das unendlichste element selbst gilt allerdings sqr(a²+b²)

hier ein analoges beispiel dazu um es verständlich zu machen:
man nehme 2 parallele geraden
du kannst auf diesen geraden beliebig viele einheiten in jede richtung gehen und trotzdem werden sie sich nie schneiden, egal wie groß die zahl ist
im unendlichen selbst jedoch schneiden sich die beiden parallelen geraden trotzdem

[Gast]

du hast einfach den begriff unendlich nicht richtig verstanden
Original geschrieben von Tesseract
für das unendlichste element selbst gilt allerdings sqr(a²+b²) Es gibt kein unendlichstes Element. Falls n = unendlich wäre, wäre n+1>n, Widerspruch.

Original geschrieben von Tesseract
nein weil du bei lim(n->unendlich)[n*(a/n) + n*(b/n)] auf kein ergebnis kommstOben steht es + Beweis. Widerlege!

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
Falls n = unendlich wäre, wäre n+1>n, Widerspruch.

unendlich ist keine zahl zum hundertsten mal!

unendlich+x ist auch unendlich, genauso wie unendlich² oder unendlich*1000, das ist nunmal so

nach deiner aussage gäbe es in N auch kein unendlich, denn hier würde n+1>n auch nicht gelten (das es nicht gilt is auch logisch, denn unendlich ist das "ende des zahlenstranges")

tatsächlich gibt es unendlich als wert des zahlenstranges nicht, aber es hat auch nicht die aufgabe eines wertes sondern erfüllt gewisse bedingungen die kein anderes element jemals erfüllen kann, sei es nich so groß

denk dir das "unendlichste element" halt unter anführungszeichen

[Tesseract]

und noch ein bischen theoretisches zum limes:

gegeben sei lim(n->∞) 1/n
ist die lösung null?
eigendlich nicht, sie nähert sich null nur an je "näher" n an unendlich kommt

null ist sie erst dann wenn n=unendlich ist, nicht vorher (vorrausgesetzt man rundet nicht)

wenn es also, wie du behauptest, n=∞ nicht gibt, dann ist 1/n auch nie null sondern "nur fast" und damit macht die limesberechnung absolut keinen sinn mehr

der limes(ich mein damit das "n gegen ∞ gehen lassen") berechnet einfach nicht den grenzwert, sondern nähert sich diesem grenzwert nur beliebig genau an

und jetzt zum denkfehler in deiner limesberechnung:
wenn du n wegkürzt kannst du keinen limes mehr bilden weil es kein n mehr gibt
bei n/2n mag das gehen weil ein n übrig bleibt (achtung: dennoch ist lim(n->∞) n/2n etwas anderes als lim(n->∞) 1/n, auch wenn das selbe ergebnis rauskommt - das sind dann genaugenommen 2 verschiedene folgen mit dem selben grenzwert)
aber wenn alle n wegfallen können wir einfach nichts gegen ∞ gehen lassen

wir können den limes von n*(a/n) + n*(b/n) durch annäherung an ∞ also nicht berechnen sondern uns nur an ihn annähern - und diese annäherung is in dem sonderfall eben so "ungenau" das annäherung und echte lösung nicht viel miteinander zu tun haben
auf den grenzwert selbst kommt man nur indem man n = unendlich setzt
dadurch ist n aber keine zahl mehr und darf nicht als solche behandelt werden (sprich n/n ist nichtmehr 1 sondern undefiniert) und siehe da, plötzlich ist es nicht mehr lösbar ;)

[Gast]

Original geschrieben von Tesseract
unendlich ist keine zahl zum hundertsten mal!Habe ich auch gesagt.
Daher kannst du auch nicht unendlich*(a/unendlich) + unendlich*(b/unendlich) rechnen.

Das Zeichen ? wird bei mir nicht richtig dargestellt. Ich nehme mal an es ist "unendlich".
Original geschrieben von Tesseract
gegeben sei lim(n->?) 1/n
ist die lösung null?
eigendlich nicht, Doch! Beweis: Einfach die Definition angewandt:
epsilon>0 vorgegeben.
|1/n - 0| = 1/n < epsilon für alle n >= N. Denn nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein N ? N mit N > 1/epsilon.

Original geschrieben von Tesseract
null ist sie erst dann wenn n=unendlich ist,Du hast selbst gesagt "unendlich ist keine zahl zum hundertsten mal!".

Original geschrieben von Tesseract
und jetzt zum denkfehler in deiner limesberechnung:
wenn du n wegkürzt kannst du keinen limes mehr bilden weil es kein n mehr gibtDoch! Oder steht in der Definition etwas davon? Der Limes einer Konstanten ist die Konstante.
anderes Beispiel: Die Ableitung von f(x) = x² + c (c konstant) [ich nehme D für "Delta"]

f'(x) = dy/dx = lim(Dx -> 0)[ (f(x+Dx)-f(x))/Dx ]
= lim(Dx -> 0)[ (x²+2*x*Dx + (Dx)² + c - x² - c)/Dx ]
= lim(Dx -> 0)[ (2*x*Dx + (Dx)²)/Dx ]
= lim(Dx -> 0)[ Dx(2x + Dx)/Dx ] (1)
= lim(Dx -> 0)[ 2x + Dx ]
= lim(Dx -> 0)[ 2x ] + lim(Dx -> 0)[ Dx ] (2)
= 2x + 0
= 2x

Beachte, dass ich bei (1) das Dx kürzen kann, weil es != 0 ist.
Beachte, dass bei (2) lim(Dx -> 0)[ 2x ] = 2x ist. Darin taucht aber kein Dx auf, d.h. nach deiner Aussage wäre das falsch.
Aber die Berechnung hier ist richtig. (x²+c)' = 2x. Oder willst du dem auch widersprechen?

Original geschrieben von Tesseract bei n/2n mag das gehen weil ein n übrig bleibt (achtung: dennoch ist lim(n->?) n/2n etwas anderes als lim(n->?) 1/n, auch wenn das selbe ergebnis rauskommt - das sind dann genaugenommen 2 verschiedene folgen mit dem selben grenzwert)Falsch! Egal ob n/2n jetzt n/(2n) oder (n/2)*n heißen soll.
lim(n->unendlich) n/(2n) =
lim(n->unendlich) 1/2 =
1/2 != 0
und lim(n->unendlich) (n/2)*n divergiert.
[B]Original geschrieben von Tesseract aber wenn alle n wegfallen können wir einfach nichts gegen ? gehen lassenDoch!
noch ein anderes Beispiel: f(x) = c. In dem Term taucht kein x auf. Aber f(0) ist nicht undefiniert, sondern einfach = c. f(x) ist = c für alle x ? R.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
Daher kannst du auch nicht unendlich*(a/unendlich) + unendlich*(b/unendlich) rechnen.

doch kann man und wird auch gemacht sofern nicht bestimmte fälle wie unendlich/unendlich vorkommen
a+unendlich geht
a*unendlich ebenso
usw.

Original geschrieben von Gast
Das Zeichen ? wird bei mir nicht richtig dargestellt. Ich nehme mal an es ist "unendlich".

ja, das ist wohl der selbe grund wieso ich deine definition nicht lesen konnte - kamen auch einige ? vor

Original geschrieben von Gast
Doch!

nix doch, es gibt keine natürliche, endliche zahl für die gilt:
1/n=0

-unendlich < x < +unendlich
wenn also x nicht +-unendlich ist muss es im endlichen bereich liegen

daher kann auch der grenzwert nicht exakt bestimmt werden wenn wir ohne unendlich rechnen, sondern nur angenähert


Original geschrieben von Gast
Der Limes einer Konstanten ist die Konstante.

im endlichen bereich ja
so wie sich im endlichen bereich auch 2 parallele geraden nie schneiden können
wenn du ein koordinatensystem hernimmst wo eine gerade zB f(x)=2 ist, hat sie keinen anstieg, oder auch anders ausgedrückt immer parallel zur x-achse
die x-achse und der graf schneiden sich aber, obwohl die parallel sind, im unendlichen wie auch 2 allgemeine parellele geraden

[Frank]

Original geschrieben von Tesseract
die x-achse und der graf schneiden sich aber, obwohl die parallel sind, im unendlichen wie auch 2 allgemeine parellele geraden "2 allgemeine parallele Geraden" schneiden sich schon mal allgemein überhaupt nicht.
Original geschrieben von Tesseract
so wie sich im endlichen bereich auch 2 parallele geraden nie schneiden können
analytisch kann ich man das schon im "endlichen" festhalten.

:D

[Tesseract]

Original geschrieben von Frank
analytisch kann ich man das schon im "endlichen" festhalten.

:D

ich versteh beim besten willen nicht was der satz bedeuten soll :D

[Frank]

Original geschrieben von Tesseract
ich versteh beim besten willen nicht was der satz bedeuten soll :D zb. projektive Ebene: Schnittpunkt zweier par.Geraden mit endliche Zahlen beschreibbar. Homogene Koordinaten usw.

[Gast]

@Frank: Sag du mal was zu dem ganzen. Ich fange mich schon an zu wiederholen und auf meinen Beweis mit der Definition wird auch nicht richtig eingegangen!

[Frank]

Original geschrieben von Gast
@Frank: Sag du mal was zu dem ganzen. Ich fange mich schon an zu wiederholen und auf meinen Beweis mit der Definition wird auch nicht richtig eingegangen! wenn nochmal jemand bitte bereit ist, das Problem mit wenigen Sätzen zusammenzufassen.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
Sag du mal was zu dem ganzen.

würde mich auch interessieren

bei solchen langen diskussionen kommt meist raus das beide unrecht haben :D

ich finde in meinem logischen gerüst (das sehr elementar aufgebaut ist) aber keinen fehler...

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast

_
c _| |
_| | b
_| |
|_______|
a
hier ist n=4
also die anzahl der "treppen"


wenn man n erhöht entstehen mehr treppen und das ganze nähert sich einer hypothenuse an (wenn man abc als dreieck sieht) weil jede einzelne treppe kleiner wird

in dem fall ist es eindeutig das die "länge der treppe" a+b ist (4*a/4 + 4*b/4)

die frage ist jetzt ob das ganze auch so bleibt wenn n in einen grenzbereich kommt wo es nicht mehr so eindeutig ist
also gegen unendlich geht bzw. unendlich wird wo dann der pythagoras greifen müsste (was auch mit einem mir schlüssig klingendem beweis logisch bewiesen wurde)

[Gast]

Ok, jetzt noch meine Meinung:

Ich sage, das ist falsch. Denn der Grenzwert lim(n->unendlich)[n*(a/n) + n*(b/n)] ist a+b und nicht Wurzel(a²+b²). Das habe ich auch mit der Definition von Limes ausm Forster ausführlich hergeleitet (ist ja eigentlich trivial), aber dann heißt es wieder "das gilt nur für endliche n." und unendlich*(a/unendlich) + unendlich*(b/unendlich) = Wurzel(a²+b²).
Es ist ja auch klar: Wenn das richtig wäre, wäre der Satz des Pythagoras widerlegt.
Der Knackpunkt ist, dass dies keine Annäherung an die Diagonale (Hypotenuse) ist. Wenn man einen Kreis durch regelmäßige n-Ecke (n->unendlich) annähert, dann "verschwinden" nämlich die Ecken. Bei dieser "Annäherung" hier bleiben die Ecken immer gleich.
Das Problem ist, dass IMHO die Definition des Grenzwertes falsch verstanden bzw. ignoriert wird.

Definition:
Die Folge a_n ? R, n ? N konvergiert gegen a, falls gilt:
Zu jedem epsilon > 0 existiert ein N ? N, so dass
|a_n - a| < epsilon für alle n >= N.
Konvergiert a_n gegen a, so nennt man a den Grenzwert der Folge: lim(n->unendlich)a_n = a.|n*(a/n) + n*(b/n) - (a+b)| = |a+b - (a+b)| = 0 < epsilon für alle epsilon > 0.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
Bei dieser "Annäherung" hier bleiben die Ecken immer gleich.

und ich denke mir das das keine rolle spielen sollte

denn auch wenn die relation der punkte der treppe zueinander gleich bleibt konvergiert jeder punkt der treppe gegen die diagonale (die schon oben liegenden mal ausgenommen)

durch den sprung auf das unendlichste element geht diese relation verloren und damit hätten wie die diagonale bzw. hypothenuse

eine definition des limes ist folgende: (ist deiner recht ähnlich)
a ist ein grenzwert der folge, wenn ausserhalb jeder umgebung von a nur endlich viele elemente der folge liegen (oder eben unendlich viele innerhalb)

d.h. egal wie nahe du dich an den grenzwert näherst, es sind immer noch unendlich viele elemente vor dir bevor du den limes erreichst
d.h aber auch das du den grenzwert erst nach unendlich elementen erreichst - sprich: er ist das unendlichste element

wenn du also n nur an unendlich annäherst, es aber nie unendlich werden lässt wird 1/n zwar immer kleiner aber auch nie ganz null
da man aber 1/n zu null macht impliziert das, dass n unendlich ist

das der limes also das unendlichste element ist steht ausser frage (deine definition widerlegt das auch nicht)

die frage ist dann nur noch ob diese relation wirklich verloren geht (schließlich geht sie bei 2 parallelen geraden auch verloren weil unendlich eben jenseits der endlichkeit liegt)

wenn jemand meinen fehler erkennt (falls es einer ist) bitte mich zu korrigieren

PS:
Original geschrieben von Gast
Original geschrieben von Tesseract
gegeben sei lim(n->?) 1/n
ist die lösung null?
eigendlich nicht,

Doch! Beweis: Einfach die Definition angewandt:
epsilon>0 vorgegeben.
|1/n - 0| = 1/n < epsilon für alle n >= N. Denn nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein N ? N mit N > 1/epsilon.


da hast du doch recht,lim(n->unendlich) 1/n ist 0
weil n an unendlich nämlich nicht um endlich, sondern um unendlich viele elemente angenähert wird
dadurch wird n zu unendlich
es ist nur dann nicht null wenn wir nur um endlich elemente annähern

heureka, das ist es

gerade wenn n bei der annäherung unendlich wird die annäherung vollständig und nicht nur auf eine endliche menge an elementen beschränkt weil wir dann eine "echte" annäherung an die unendliche folge haben

du hast gesagt n bleibt endlich, die annäherung ist aber an eine unendliche folge gültig
ich hab gesagt der grenzwert ist bei n=unendlich und daher stimmt die "endliche annäherung" nicht
und eigendlich ist gerade weil n unendlich wird die annäherung für unendliche folgen gültig =)

ich glaube so sollte es jetzt stimmen

[Frank]

Das Beispiel ist ... gut :)
Rechnet man den Grenzwert aus (ohne jetzt mal den dahinterstehenden Inhalt im Kopf zu haben) kommt wohl a+b raus - egal wie man dreht und wendet (l'Hospital...). Ob das nun direkt etwas mit unstetigen Grenzübergängen zu tun hat... weiß ich jetzt auch nicht aus Affekt am Fr. Abend. Evtl kann harkpabst_meliantrop dazu was sagen. Das Problem scheint mir hier eher ein Anderes - und man kann es auch zuspitzen: zB. eine Ebene mit einer Gerade zu pflastern. Die Frage ist doch ob das "Ding" (c) da überhaupt eine Gerade ist bei n€N gegen Unendlich. Ich wüsst jetzt genau, in welcher Steller ich bei welcher Vorlesung nachschauen muss. Da ich aber nicht @home bin ... bitte 1..3 Tage Geduld :(

[harkpabst_meliantrop]

Hehe, da habe ich ja was Schönes angerichtet. Wo fang ich mal an?

Erstens:
Gast, tut mir leid, wenn ich ruppig war. Aber ein simples "Falsch!" provoziert einfach. Von unregistrierten noch mehr. Also bitte nicht pesönlich nehmen.

Zweitens:
Offen gestanden kenne ich die Lösung des Problems nicht wirklich. Ich habe das - ehrlich gesagt - einfach so in den Raum geworfen, um die Reaktionen abzuwarten. Das Beispiel ist auch nicht auf meinem eingenen Mist gewachsen, sondern war eine "Denkarnerung" eines alten Mathe-Lehrers, noch zu Schulzeiten. Da er damals schon alt war, bin ich mir nicht mal sicher, ob er überhaupt noch lebt.

Drittens:
Es ist in der Tat unmöglich, anhand der Aufsummierung der Teile der Treppenfunktion zu zeigen, dass ein anderer Grenzwert als a + b existieren sollte. Aber damit es interessant bleibt (und damit das Problem deutlich wird), muss ich doch zu meinem Beispiel mit den Geraden durch die Eckpunkte zurückkommen.

Wir nehmen eine Treppenfunktion an, die immer zuerst einen "Schritt" in Richtung der x-Achse und dann einen in Richtung der y-Achse verläuft. Es sei a die Breite, b die Höhe des Rechtecks. Eine Gerade g1 verlaufe durch die untere linke Ecke (die wir als Ursprung annehmen) und die obere rechte Ecke des Rechtecks. Geraden g2, g3, g4, ... gn verlaufen durch die unteren Eckpunkte der Treppenfunktion. Für die Punkte auf der Geraden g1 gelte also:

y = b/a * x

für alle andern Geraden

y = b/a * x - b/n

Für den Abstand der Geraden gn (n > 1) zur Geraden g1 findet man recht einfach

d = a * b / (n * sqr(a² + b²))

Sowohl unmittelbar geometrisch also auch analytisch ersichtlich ist, dass der Abstand d der Geraden für n -> unendlich gegen null geht, der Limes ist also gleich null. Genau dann, wenn der Abstand der Geraden null ist, kann dazwischen kein geometrisches Gebilde mehr liegen, das normal zu den Geraden eine endliche Ausdehnung besäße. Die einzig mögliche Verbindung zwischen den Eckpunkten des Rechtecks wäre eine Gerade.


Das ist natürlich etwas anderes, als z.B. die Annäherung eines Kreises durch ein einbeschriebenes n-Eck. In diese Fall ist ganz offensichtlich, wie sie die Summe der Kantenlängen immer mehr dem Kreisumfang annähert. Aber die Vorgehensweise lässt sich auf den Kreis übertragen. Wenn man eben kein n-Eck wählt, sondern wieder versucht, den Kreisumfang durch eine Treppenfunktion "anzunähern", könnte man - bei geeigneter, symmetrischer Wahl der Treppenfunktion - wiederum einen inneren Kreis durch die Eckpunkte dieser Treppe lege. Auch in diesem Fall würde der Radius des inneren Kreises für n -> unendlich gegen den Radius des anzunähernden Kreises gehen.

Im Beispiel mit dem Kreis würden vermutlich mehr unbefangene Menschen behautten, dass tatsächlich eine Annäherung an den Kreisumfang stattfindet. Addierte man aber wieder für jedes endliche n die Teilstücke auf, so käme man immer nur auf den Umfang des den Kreis umschreibenden Quadrats.


Kurzum: Ich kenne die Auflösung nicht. Rein gefülsmäßig könnte ich mir vorstellen, dass irgendwie irgend etwas irgendwo schnell gegen null geht als irgend etwas anderes. Aber eine geschlossene Lösung kann ich nicht angeben.

[Gast]

Also, hier ist ja was los.

Das von Tesseract gebrachte Beispiel widerlegt nicht den Grenzwert-Begriff, sondern unsere Vorstellung von Anschauung. Natürlich ist die Länge der Stufen immer a+b, auch, wenn die Anzahl der Stufen gegen unendlich geht. Die entstehende Linie nähert aber die Diagonale nur anschaulich an, mathematisch tut sie das nicht!

Es lassen sich z.B. Linien konstruieren, die graphisch auch auf der Diagonalen landen, aber jede beliebige Länge haben können - sogar unendlich. (ein Beispiel zu zeichnen kriege ich hier allerdings nicht hin). Die Längen dieser Linien kann man als Grenzwert berechnen. Hier "springt nicht der Grenzwert um", sondern - obwohl anschaulich die Treppe gegen die Diagonale wandert, tut sie es nicht mit allen ihren Eigenschaften (z.B. ihrer Länge).

Das ist so ähnlich, wie die Konstuktion eines Körpers mit unendlichem Rand, obwohl der Flächeninhalt endlich ist: Beispiel: zeichne ein gleichseitiges Dreieck. Teile jede Seite in drei gleich lange Stücke. Zeichne jeweils auf dem mittleren Stück wieder ein gleichseitiges Dreieck mit diesem Stück als eine Seite. Wenn man die Aussenseiten aller dieser Dreiecke wieder in drei Teile teilt und Dreiecke darüber malt, und dies immer weiter fortsetzt, so kann man zeigen, dass die erhaltene Fläche endlich bleibt, während die Länge des Randes der Fläche gegen unendlich strebt.

Erfahrungsgemäß leben wir in einem Raum, dessen Diagonalen die Längen sqrt(a^2+b^2) haben. Dies ist aber nur eine von unendlich vielen Möglichkeiten. Wäre unser Raum auf atomarer Ebene so etwas wie ein (gigantisches) 3D-Gitter, auf dem nur Bewegungen von einem Punkt zum nächsten anderen zugelassen wären, so wäre die Länge einer Diagonalen a+b.

Gruß

Aetna (hier nur als Gast)

[Gast]

Original geschrieben von harkpabst_meliantrop Erstens:
Gast, tut mir leid, wenn ich ruppig war. Aber ein simples "Falsch!" provoziert einfach. Von unregistrierten noch mehr. Also bitte nicht pesönlich nehmen.macht nix. hab halt gedacht, der fehler würde gleich auffallen und hab nix erklärt.

Original geschrieben von Gast[...]
Aetna (hier nur als Gast)Danke. :)

[Gast]

Ein einfaches Beispiel ist mir doch eingefallen:

Setzt man (ähnlich wie im obigen Beispiel) auf das mittlere Drittel jeder Treppenstufe ein Quadrat dieser Länge, so nähert sich diese (holprige) Treppe graphisch auch der Diagonalen an, aber die Länge ist 5/3*a + b.

[Tesseract]

Original geschrieben von Gast
Setzt man (ähnlich wie im obigen Beispiel) auf das mittlere Drittel jeder Treppenstufe ein Quadrat dieser Länge, so nähert sich diese (holprige) Treppe graphisch auch der Diagonalen an, aber die Länge ist 5/3*a + b.

mein problem ist ein anderes:

eine definition von 2 parallelen geraden ist ja folgende: sie schneiden sich im unendlichen

es geht also offensichtlich im unendlchen bereich die geometrische relation verloren (oder wenn man zB ein 3-eck unendlich klein macht wird es zu einem punkt, der eigendlich kein 3-eck mehr ist)

und genau hier setzt meine überlegung an

laut alltagsverstand klingt es logisch das die länge immer a+b bleibt
wenn aber zB 2 punkte zu einer geraden konvergieren, einer doppelt so "schnell" wie der andere
würde man meinen das einer "früher ankommt" als der andere
klingt auch logisch
aber im endlichen kommt eben keiner der beiden punkte jemals an, erst im unendlichen
und durch diesen sprung müsste doch der vorsprung des einen verloren gehen

um das ganze zu veranschaulichen:

B E
| |
| |
| |
______________| _____|
A C D F


stellt euch das als 2 dreiecke vor
wenn wir jetzt den winkel bei A und D vergrößern - was passiert?

B und E wandern "nach oben"
B liegt eindeutig vor E wenn wir für A/D immer die selben winkel nehmen weil AC länger ist als DF
bis hier hin sollten mir noch alle zustimmen

und jetzt nehmen wir als winkel (A, D) mal 90°
was passiert? beide punkte (B, E) wandern ins unendliche

und die frage ist jetzt: wie zum teufel kann AC, DF jetzt noch darauf einfluss nehmen ob B oder E vorne liegt?
beeinflusst der abstand von 2 parallelen geraden wann sie sich im unendlichen treffen?
treffen sich 2 parallele geraden im unendlichen früher wenn die enger zusammen liegen? imho nicht
oder liegt der punkt B jetzt überhaupt noch über C oder über A, oder gar dazwsichen oder kann man es nicht mehr bestimmen? (mathematisch gesehen liegt er über beiden) - das meine ich mit verlust der relation

schauts euch das beispiel genau an - bin auf eure meinungen gespannt

[Frank]

Original geschrieben von Tesseract
mein problem ist ein anderes:

eine definition von 2 parallelen geraden ist ja folgende: sie schneiden sich im unendlichen
...in der projektiven Ebene (zb). Deine Verallgemeinerung ist sonst schlicht falsch.
Original geschrieben von Tesseract
es geht also offensichtlich im unendlchen bereich die geometrische relation verloren Das eben nicht. Den Spass mit der prjektiven Geometrie hat sich unser lieber Herr Klein ja nicht umsonst ausgedacht.

Original geschrieben von Tesseract
treffen sich 2 parallele geraden im unendlichen früher wenn die enger zusammen liegen?
Nein.
Original geschrieben von Tesseract
liegt der punkt B jetzt überhaupt noch über C oder über A, oder gar dazwsichen oder kann man es nicht mehr bestimmen? (in der skizze)Da CB und FE parallel sind, fallen B und E im unendlichen zu einen Punkt zusammen: Dem Fernpunkt der durch die Richtung bestimmt ist.

[Tesseract]

Original geschrieben von Frank
...in der projektiven Ebene (zb). Deine Verallgemeinerung ist sonst schlicht falsch.


ich mein natürlich in unseren beispielen auf einer zweidimensionalen ebene - warum sollte es hier nicht gelten?



Original geschrieben von Frank
Da CB und FE parallel sind, fallen B und E im unendlichen zu einen Punkt zusammen: Dem Fernpunkt der durch die Richtung bestimmt ist.

genau, und warum sollte das bei den treppen und der geraden nicht auch so sein?

[Frank]

Original geschrieben von Tesseract
ich mein natürlich in unseren beispielen auf einer zweidimensionalen ebene - warum sollte es hier nicht gelten?Weil sich parallele Geraden in der euklidischen Ebene nun mal nicht schneiden. (das Ding was jeder Schüler kennen lernt: also x und y Koordinate) In der projektiven Ebene ist das etwas anderes.

Für das Treppenbeispiel wirds aber nicht gebraucht - deine letzte Skizze dagegen kann man so und so sehen. Um deine Aufgabe da genauer zu formulieren, musst du eh vorher erzählen, in welchen Raum wir uns aufhalten. 1+1 ist ja nun schliesslich auch nicht immer 2. Da muss man vorher auch sagen, wo man bitte rechnen soll.

[Tesseract]

Original geschrieben von Frank
Weil sich parallele Geraden in der euklidischen Ebene nun mal nicht schneiden.

dann hat mein mathelehrer mir einen gewaltigen schwachsinn erzählt - oder ich hab es damals nur falsch verstanden

wenn dem nicht so ist, weiß ich eh schon wo der fehler liegt :)

[Frank]

Original geschrieben von Tesseract
dann hat mein mathelehrer mir einen gewaltigen schwachsinn erzählt - oder ich hab es damals nur falsch verstanden

wenn dem nicht so ist, weiß ich eh schon wo der fehler liegt :) Kommt drauf an.

Lieblingsbeispiel: Eine gerade Straße oder Zuglinie: Die parallelen Geraden (Straßenbegrenzung, Schiene) laufen in der Ferne zusammen. Oder: Da reicht es auch schon gedanklich die obere und untere Kante der Zimmerwand zu verlängern, um zu sehen, dass paralleles zusammenläuft.

Aber da sind wir ja auch nicht im euklidischen Raum. Egal ob Auge, Fotokamera ... alles Zentralprojektion. :) Und dafür passt das Modell des Projektiven Raumes dann besser.

[Tesseract]

man kann aber auch das treppenbeispiel so drehen das man eine zentralprojektion hat

wenn man zB die gerade als "horizont" nimmt und die treppen sich auf diesen zubewegen

[Frank]

Original geschrieben von Tesseract
man kann aber auch das treppenbeispiel so drehen das man eine zentralprojektion hat

wenn man zB die gerade als "horizont" nimmt und die treppen sich auf diesen zubewegen ???

und was ist dann mit a und b?

Den Horizont gibt es im math.-geom. Sinne. Aber der liegt ja schon auf einen Level, der die Sache im Bsp. nur noch unnötig komplizierter macht.

[Tesseract]

Original geschrieben von Frank
und was ist dann mit a und b?


ich würde sagen das sind dann 2 strahlen die als fernpunkte ebenfalls 2 punkte am horizont haben

dazu müsste man das ganze aber etwas umbauen, damit die treppen in richtung von a und b schauen und nicht auf der anderen seite



c _|
_| | b
_| |
_|_____|
a



so in der art :D

[Frank]

Also die Strecken a und b werden durch je ein Fernpunkt berandet? Dann wär Strecke c auf der Ferngerade. Soviel dazu. Was die Treppen dann machen... - Wofür ist das jetzt dienlich?

[Gast]

Ich denke, das Problem besteht in folgendem:
Der Beweis dafür, dass die Länge a+b beträgt benutzt einen folgenden Term:
n* a/n + n* b/n
Korrekter wäre es aber zu schreiben a/n + b/n + a/n + b/n +...
Dann fällt nämlich auf, dass es sich um eine unendliche Summe handelt, die man nicht ohne weiteres in unserer gewohnten, "endlichen" Art zusammenfassen kann.

Hoffe irgendwer kann damit was anfangen.

Mfg

[Gast]

Original geschrieben von Gast Korrekter wäre es aber zu schreiben a/n + b/n + a/n + b/n +...
Dann fällt nämlich auf, dass es sich um eine unendliche Summe handelt, die man nicht ohne weiteres in unserer gewohnten, "endlichen" Art zusammenfassen kann.Absolut konvergente Reihen darf man umordnen.