Diskussion zu: Das Floating-Point-Format im Detail

[Leonidas]

Link (http://www.3dcenter.org/artikel/fp_format/)

Teil 2 folgt am nächsten Wochenende, der finale Teil 3 am übernächsten Wochenende.


Thx aths für diese großartige Arbeit.




/edit 8.3.2004:
Teil 2 ist fertig, auf Seite 6 (http://www.3dcenter.org/artikel/fp_format/index6.php) geht es los.



/edit 15.3.2004:
Teil 3 ist fertig, auf Seite 10 (http://www.3dcenter.org/artikel/fp_format/index10.php) geht es los.

[betasilie]

Wow, ziemlich ausführlich und umfangreich. :) ... Konnte das jetzt zwar erstmal nur überfliegen, weil ich zu müde bin, aber ich freue mch schon morgen den Artikel ausführlich zu lesen.

[Endorphine]

Ein ganz elementarer aber auch manchmal von Informatikern gemachter Übersetzungsfehler hat sich in den Artikel eingeschlichen (und das bei :kicher: :D): es heisst Gleitkomma, nicht Fließkomma.

to float (engl.) (http://dict.leo.org/?search=float&searchLoc=0&relink=on&spellToler=standard&sectHdr=on&tableBorder=1&cmpType=relaxed&lang=en) meint übersetzt "gleiten", "schweben", "schwimmen". "fließen" wird zwar auch genannt, ist jedoch in dem Sinne nicht gemeint, es wäre die korrekte Bezeichnung für zwei übereinander fließende Flüssigkeiten, den englischen Begriff bildet es in diesem Zusammenhang nicht ab. Wenn das deutsche "fließen" (http://dict.leo.org/?search=flie%DFen&searchLoc=0&relink=on&spellToler=standard&sectHdr=on&tableBorder=1&cmpType=relaxed&lang=en) gemeint wäre hieße es "Flowing-Point".

Edit: Sonst scheint der Artikel sehr gut und informativ zu sein. :up: Werde ihn demnächst mal ganz durchlesen.

Edit #2: Noch eine schöne Erklärung (http://www.galileocomputing.de/openbook/javainsel2/java_050000.htm):Der Begriff »Gleitkommazahl« kommt daher, dass die Zahl durch das Gleiten (Verschieben) des Dezimalpunkts als Produkt aus einer Zahl und einer Potenz der Zahl 10 dargestellt wird (also 1,23 = 123 * 10-2 ). :)

[aths]

Die Bemerkung baue ich noch ein. Meines Wissen ist "Fließkomma" trotz allem gebräuchlicher, aber ein Hinweis auf den eigentlich richtigen Begriff ist sicher nicht verkehrt.

"Personal Computer" (wobei "Personal" deutsch ausgesprochen wird) ist auch so ein Fall. Oder "DDR-RAM". Verstehen tuts jeder. In den nächsten Teilen kann ich ja einige "Fließ"-Bausteine durch die Zeichenkette "Gleit" ersetzen.

Der Artikel ist vom Aufbau her etwas umständlich, weil ich versuche, Verständlichkeit zu ermöglichen, ohne Wissen vorauszusetzen. Als Elektrotechniker würde ich für Elektrotechniker anders schreiben.

[darksun]

Ein kleiner Fehler im 2 Absatz von: 9 - Grundlage der Register Combiner

Leider sind 0,5 oder -0,5 sind nicht exakt speicherbar....

Das zweite sind ist zuviel des guten :)

Oder einfach:
0,5 oder -0,5 sind leider nicht exakt speicherbar....

Und nochmal: FX12 - Ein echtes Festkomma-Format

3er Absatz erster Satz

Wie rechnet man einen Dezimalkomma-Stellen in die binäre Darstellung um?

Entweder: (eine Dezimalkomma-Stelle) oder (Wie rechnet man Dezimalkomma-Stellen..)

Bei: Es geht um's Geld - Fixpoints auf der CPU

4er Absatz erster Satz

Alle interessanten Fixpoint-Typen haben jetzt wir besprochen.
Besser: haben wir jetzt besprochen

[kmf]

Original geschrieben von Endorphine
Ein ganz elementarer aber auch manchmal von Informatikern gemachter Übersetzungsfehler hat sich in den Artikel eingeschlichen (und das bei :kicher: es heisst Gleitkomma, nicht Fließkomma.

to float (engl.) (http://dict.leo.org/?search=float&searchLoc=0&relink=on&spellToler=standard&sectHdr=on&tableBorder=1&cmpType=relaxed&lang=en) meint übersetzt "gleiten", "schweben", "schwimmen". "fließen" wird zwar auch genannt, ist jedoch in dem Sinne nicht gemeint, es wäre die korrekte Bezeichnung für zwei übereinander fließende Flüssigkeiten, den englischen Begriff bildet es in diesem Zusammenhang nicht ab. Wenn das deutsche "fließen" (http://dict.leo.org/?search=flie%DFen&searchLoc=0&relink=on&spellToler=standard&sectHdr=on&tableBorder=1&cmpType=relaxed&lang=en) gemeint wäre hieße es "Flowing-Point".

Edit: Sonst scheint der Artikel sehr gut und informativ zu sein. :up: Werde ihn demnächst mal ganz durchlesen.

Edit #2: Noch eine schöne Erklärung (http://www.galileocomputing.de/openbook/javainsel2/java_050000.htm): :)

Ich hab etliche ältere Bücher über Programmieren in Pascal, ASM etc.

Meist lese ich dort, wenn es eingedeutscht ist, von Fließkomma-Berechnungen. Vielleicht war das nur zu Anfangszeiten so oder ganz einfach ein simpler Übersetzungsfehler, der sich eingeschlichen hat und jeder Buchschreiber hat es von anderen falsch abgekäst? :lol:

@aths

Top Arbeit!

Einiges, was man übers Binärformat vergessen hat, wird wieder aufgefrischt.
Ich finde den Artikel überhaupt nicht umständlich aufgebaut. Er soll ja Wissen und Hintergründe, auch für Nichtfachleute, vermitteln. Es ist immer schwierig den Spagat zu schaffen, daß ein Artikel für die Spezis nicht zu langweilig und für Laien nicht zu kompliziert wird. Und da hast du meines Erachtens eine gute Schreibe, das rüberzubringen.

Bin schon gespannt auf die Fortsetzungen. :)

[DrumDub]

ähmm... bei der beschreibung zum artikel steht folgendes auf der homepage:

so Fix Point 12 (FP12),

es muss FX12 heissen. ;)

[tatarus]

Man hätte vielleicht noch schreiben können, warum man den Exponenten bei IEEE 754, also Floating Point, nicht als K2 Zahl darstellt, sondern sich erst die Mühe macht max(x)/2 - 1 abzuziehen, um auf den wahren Exponenten zu kommen. Das liegt ganz einfach daran, dass ein Größenvergleich mit einer K2 Zahl viel schwerer ist, als mit einer rein positiven Binärzahl.

Irgendwie erinnert mich das alles so an Rechnersysteme I in der Uni. Fehlt nur noch ein Artikel über Pipelining und Cacheverwaltung.

[Tesseract]

ich finde die aussage das "quantensprung als kleinster sprung" ist etwas fehrinterpretiert

afaik ist mit quantensprung der sprung eines teilchens durch eine barriere (wahrscheinlichkeitsaufenthalt auf der anderen seite) wie die es auf konventionelle weise nicht möglich gewesen wäre

ergo ist ein quantensprung einer, der auf konventionelle weise nicht (oder nur kaum) möglich ist

[aths]

Original geschrieben von Tesseract
ich finde die aussage das "quantensprung als kleinster sprung" ist etwas fehrinterpretiert

afaik ist mit quantensprung der sprung eines teilchens durch eine barriere (wahrscheinlichkeitsaufenthalt auf der anderen seite) wie die es auf konventionelle weise nicht möglich gewesen wäreDas wäre dann der Tunnel-Effekt.

[aths]

Die erste Charge an Schreibfehlern dürfte über Nacht gefixt werden.

Original geschrieben von tatarus
Man hätte vielleicht noch schreiben können, warum man den Exponenten bei IEEE 754, also Floating Point, nicht als K2 Zahl darstellt, sondern sich erst die Mühe macht max(x)/2 - 1 abzuziehen, um auf den wahren Exponenten zu kommen. Das liegt ganz einfach daran, dass ein Größenvergleich mit einer K2 Zahl viel schwerer ist, als mit einer rein positiven Binärzahl. Das ist nicht die einzige Vereinfachung, die ich mir genehmigte. In den kommenden Teilen wirst du noch mehr finden, wo ich die Begründung spare und Dinge auslasse. Obwohl ich an vielen Stellen ins Detail gehe, wollte ich den Leser nicht mit Details überschütten, sondern versuchen ein Gesamtbild zu geben. Dass die konkrete Schaltungstechnik kaum eine Rolle spielen würde, wird einleitend auch gesagt. Wer was in der Richtung studiert, bekommt vielleicht ein oder zwei neue Details mit, groß was lernen dürfte er nicht mehr.

Das soll aber niemanden davon abhalten, hier im Kommentar-Thread Ergänzungen hinzuzufügen :)

[derJay]

Interessantes Thema, werde ich mir heute abend in Ruhe mal von zu Hause aus durchlesen :)

[strickjackenscheitel]

ja aber was bringt denn fp24 gegenueber fp 32 jetzt genau? mal fuer einen dumm dahergelaufenen wie mich bitte!

[mofhou]

Wäre es nicht sinnvoller in die Überschrift Teil 1 oder ähnliches einzusetzen, so weiß der Leser beim Überfliegen der Startseite, dass es sich um einen teil handelt..

[aths]

Original geschrieben von strickjackenscheitel
ja aber was bringt denn fp24 gegenueber fp 32 jetzt genau? mal fuer einen dumm dahergelaufenen wie mich bitte! Das erfährst du … nächste Woche.

[Leonidas]

Original geschrieben von DrumDub
ähmm... bei der beschreibung zum artikel steht folgendes auf der homepage:



es muss FX12 heissen. ;)



Gefixt.

[huha]

Wirklich guter Artikel, war auch für mich halbwegs verständlich =)

-huha

[pancho]

Noch was: Seite 3 / Eine Frage der Quantisierung

Eine Elektron hat die Ladung e = 1 C(oulomb) = 1 A(mpere)s.
1eV ist eine Energieangabe.

Ansonsten aber sehr interessanter Artikel! Erinnert mich irgendwie an C++ im 1. Semester hihi.

[Kilbert]

Guter Artikel, wie üblich, Gratulation! Ein paar Kommentare meinerseits:

Bei den FX-Formaten hast du Beispiele gebracht, z.B. bei der GeForce. Es wäre nett, diese auch für FP16 zu erwähnen. Eine Verwendung außerhalb der Grafikhardware ist beispielsweise das in der Filmindustrie gebräuchliche EXR-Dateiformat (http://www.openexr.com/).
Das Beispiel mit den Geldstückelungen finde ich nicht so passend. Ich erkläre Gleitkommazahlen immer lieber mit einem Maßstab (Lineal) unterschiedlicher Länge. Der Exponent gibt dabei die Länge des Maßstabs an, aber die Anzahl der Unterteilungen bleibt gleich, das ist nämlich die Mantisse. Kann man auch sehr schön grafisch veranschaulichen, und es it klar ersichtlich, dass ich mit einem kleineren Maßstab genauer messen kann, dafür mit einem größeren einen weiteren Breich abdecke.
Der Gegensatz zum logischen Exponenten ist der physische Exponent. Nicht der physikalische, so etwas gibt es nicht.
Und in Bezug auf den Begriff "Gleitkomma" muss ich meinem Vorredner Recht geben: es wäre besser, nicht dieses leider recht häufig anzutreffende Unwort von den (zer-?)fließenden Kommata weiter zu verbreiten ;)

[aths]

Original geschrieben von pancho
Noch was: Seite 3 / Eine Frage der Quantisierung

Eine Elektron hat die Ladung e = 1 C(oulomb) = 1 A(mpere)s.
1eV ist eine Energieangabe.Um diese Problematik kümmere ich mich mal.
Original geschrieben von pancho
Ansonsten aber sehr interessanter Artikel! Erinnert mich irgendwie an C++ im 1. Semester hihi. Hier und dort nehme ich die C-Notation, ja.

[aths]

Original geschrieben von Kilbert
Guter Artikel, wie üblich, Gratulation! Ein paar Kommentare meinerseits:

Bei den FX-Formaten hast du Beispiele gebracht, z.B. bei der GeForce. Es wäre nett, diese auch für FP16 zu erwähnen. Eine Verwendung außerhalb der Grafikhardware ist beispielsweise das in der Filmindustrie gebräuchliche EXR-Dateiformat (http://www.openexr.com/).Die Erklärungen zu FP16 sind im ersten Teil noch nicht abgeschlossen, damit gehts in Teil 2 gleich weiter.

Bei FP16 bleibe ich eng an der Graka-HW, später (Teil 3) geht es mit Single, Double, Extended usw. auch in den CPU-Bereich. Am Ende von Teil 3 spielt dann auch FP16 wieder eine Rolle. In *diesem* Artikel geht es bei FP16 vor allem darum, FP an sich zu erklären.
Original geschrieben von Kilbert
Das Beispiel mit den Geldstückelungen finde ich nicht so passend. Ich erkläre Gleitkommazahlen immer lieber mit einem Maßstab (Lineal) unterschiedlicher Länge. Der Exponent gibt dabei die Länge des Maßstabs an, aber die Anzahl der Unterteilungen bleibt gleich, das ist nämlich die Mantisse. Kann man auch sehr schön grafisch veranschaulichen, und es it klar ersichtlich, dass ich mit einem kleineren Maßstab genauer messen kann, dafür mit einem größeren einen weiteren Breich abdecke. Eine Art "Lineal" kommt bei der Erklärung der Denorms zum Einsatz, in Teil 2.

Original geschrieben von Kilbert
Der Gegensatz zum logischen Exponenten ist der physische Exponent. Nicht der physikalische, so etwas gibt es nicht. Öhm, hast wohl Recht.

Original geschrieben von Kilbert
Und in Bezug auf den Begriff "Gleitkomma" muss ich meinem Vorredner Recht geben: es wäre besser, nicht dieses leider recht häufig anzutreffende Unwort von den (zer-?)fließenden Kommata weiter zu verbreiten ;)Es wird in Teil 2 auf die Anregungen hin einen Kommentar dazu geben.

[Gast]

@pancho/aths
1 eV = 1,6022*10^-19 J (Joule), also Energie.
1 eV entspricht der Energie, die ein Elektron bei einer Spannung von 1 Volt aufnehmen würde/könnte/wieauchimmer. Die Elementarladung e ist 1,6022*10^-19 C (Couloumb) und es ist 1V=1J/C.
@aths
Super Artikel! Wobei mir als Mathestudenten der theoretische Unterbau etwas zu kurz kommt. ;-)
Noch ein Link zu IEEE 754: http://www.h-schmidt.net/FloatApplet/IEEE754de.html

[aths]

Original geschrieben von Gast
@pancho/aths
1 eV = 1,6022*10^-19 J (Joule), also Energie.
1 eV entspricht der Energie, die ein Elektron bei einer Spannung von 1 Volt aufnehmen würde/könnte/wieauchimmer. Die Elementarladung e ist 1,6022*10^-19 C (Couloumb) und es ist 1V=1J/C.Ok, das die Elementarladung e und nicht eV ist, kommt auch in die nächste Korrektur-Charge.
Original geschrieben von Gast
@aths
Super Artikel! Wobei mir als Mathestudenten der theoretische Unterbau etwas zu kurz kommt. ;-)
Noch ein Link zu IEEE 754: http://www.h-schmidt.net/FloatApplet/IEEE754de.html Im nächsten Teil wird ein superkleines FP-Format komplett durchgerechnet. Ansonsten habe ich auf Formeln verzichtet, wo es nur geht. "Wie rechne ich eine Binärfolge in den dezimalen Zahlenwert um?" wäre ja nicht sooo schwer zu beschreiben zu gewesen. Aber wie viele Leser würde das wirklich interessieren?

[Gast]

Schade das FX16 (=R8500, R9000, R9200, NV4x ) fehlt. Ich hätte doch gerne gewusst was das ganze im Vergleich zu FX12 bringt, so von der mathematischen Seite her. Bei den Demos von ATi ist der Vorteil imho auch nicht so recht rüber gekommen.

Auch wegen des NV40, der ja ebenfalls FX16 (für OpenGL2.0 ?) beherrschen soll hätte ich dann auch noch gerne einen Vergleich zu FP16 gesehen. Welches Format wo welche Vor- und Nachteile hat.

[aths]

Original geschrieben von Gast
Schade das FX16 (=R8500, R9000, R9200, NV4x ) fehlt. Dass NV40 auch FX16 hat, ist Spekulation.
Original geschrieben von Gast
Ich hätte doch gerne gewusst was das ganze im Vergleich zu FX12 bringt, so von der mathematischen Seite her. Bei den Demos von ATi ist der Vorteil imho auch nicht so recht rüber gekommen.FX16 bringt die Möglichkeit zu 8x Overbright Lighting und löst den "Nachkomma-Anteil" vier mal genauer auf, als FX12.
Original geschrieben von Gast
Auch wegen des NV40, der ja ebenfalls FX16 (für OpenGL2.0 ?) beherrschen soll Wenn schon, für Pixelshader 1.4.
Original geschrieben von Gast
hätte ich dann auch noch gerne einen Vergleich zu FP16 gesehen. Welches Format wo welche Vor- und Nachteile hat. In Teil 2 wird FP16 mit FX12 verglichen.

[Gast]

Original geschrieben von aths
Dass NV40 auch FX16 hat, ist Spekulation.
FX16 bringt die Möglichkeit zu 8x Overbright Lighting und löst den "Nachkomma-Anteil" vier mal genauer auf, als FX12.
Wenn schon, für Pixelshader 1.4.
In Teil 2 wird FP16 mit FX12 verglichen.

NV4x = FX16 ist natürlich Spekulation gewesen. Es wird aber von vielen (MuFu, Uttar etc..) spekuliert, bzw. Gerüchte verbreitet, das die NV4x FX16 enthalten.

OpenGL2.0 soll angeblich, und damit im Gegensatz zu DX9 FX16 unterstützen.

Ahh, Gut, wenn FX12 mit FP16 verglichen wird. Da aber beide Formate, soweit ich das aus deinem Artikel heraus begriffen habe, den selben Nachkommaanteil haben (10bit) sollte FP16 doch eigentlich immer gleichwertig bzw. besser sein.
Ein Vergleich zu FX16 würde die Vor- und Nachteile von Fixed-Point und Floating-Point besser darstellen, da hier dann bei FX der Nachkommaanteil wesentlich größer wäre als bei FP (14bit <-> 10bit) und damit die Nachteile bei kleineren Zahlen nicht so stark zur Geltung kommen sollten, und man damit imho besser sehen würde für welche Operationen FX oder FP jeweils besser geeignet sind.

[Demirug]

Die OpenGL Shadersprache unterstützt 16 Bit Integer. Das ist aber etwas anderes als FX16. 16 Bit Integer lassen sich nun im Prinzip auch mit einer FPU emulieren solange das Format mindestens eine 16 Bit Mantisse benutzt.

[aths]

Original geschrieben von Gast
NV4x = FX16 ist natürlich Spekulation gewesen. Es wird aber von vielen (MuFu, Uttar etc..) spekuliert, bzw. Gerüchte verbreitet, das die NV4x FX16 enthalten.

OpenGL2.0 soll angeblich, und damit im Gegensatz zu DX9 FX16 unterstützen.

Ahh, Gut, wenn FX12 mit FP16 verglichen wird. Da aber beide Formate, soweit ich das aus deinem Artikel heraus begriffen habe, den selben Nachkommaanteil haben (10bit) sollte FP16 doch eigentlich immer gleichwertig bzw. besser sein. So ist es auch. Obwohl FP16 11 signifikante Bits hat :) (Aber halt 10 "Nachkomma-Bits", wobei das Komma ja gleiten kann.) Wird im Artikel dann detailliert drauf eingangen.
Original geschrieben von Gast
Ein Vergleich zu FX16 würde die Vor- und Nachteile von Fixed-Point und Floating-Point besser darstellen, da hier dann bei FX der Nachkommaanteil wesentlich größer wäre als bei FP (14bit <-> 10bit) und damit die Nachteile bei kleineren Zahlen nicht so stark zur Geltung kommen sollten, und man damit imho besser sehen würde für welche Operationen FX oder FP jeweils besser geeignet sind.In Teil 3 wird FP16 noch mal mit einem fiktiven FX-Format verglichen.

[aths]

Original geschrieben von Demirug
Die OpenGL Shadersprache unterstützt 16 Bit Integer. Das ist aber etwas anderes als FX16. 16 Bit Integer lassen sich nun im Prinzip auch mit einer FPU emulieren solange das Format mindestens eine 16 Bit Mantisse benutzt. FP24 :) Zufall?

[zeckensack]

Original geschrieben von aths
FP24 :) Zufall? Sicher nicht. Die ATI-Leute haben scheinbar peinlich genau darauf geachtet, dass R(V)3xx im Integer-Bereich exakt genauso (un)genau arbeitet wie R(V)2xx.

Dh insbesondere dass es eigentlich kein FP-Format mehr sein kann. Für Werte <0.5 müsste die Präzision höher sein (also der relative Fehler konstant bleiben, und somit "besser" werden als auf dem "Original"). Das ist AFAICS nicht der Fall.
Evtl wird hier die automatische Renormalisierung "deaktiviert" oä, oder die beliebten Mini-ALUs haben einen speziellen "mach mich ungenau"-Modus :|

[aths]

Das mit FP24 und FX16 werde ich wohl noch "auf den letzten Drücker" einbauen. Danke für diese Anregungen!

edit: Ist das mit FX16 in R200 sicher? (Mein aktueller Stand ist "mindestens FX14".)

[zeckensack]

Original geschrieben von aths
Das mit FP24 und FX16 werde ich wohl noch "auf den letzten Drücker" einbauen. Danke für diese Anregungen!

edit: Ist das mit FX16 in R200 sicher? (Mein aktueller Stand ist "mindestens FX14".) Es ist sehr schwer das definitiv festzunageln, weil R200 nur in 8 Bit (pro Kanal)-Rendertargets ausgeben kann. Es ist auf jeden Fall mehr als FX12 (Vorzeichen plus 3 "Vorkommabits" plus die 8 direkt messbaren "Nachkommabits"). Ab da wird es schwierig.
*schulterzuck*

[aths]

Original geschrieben von zeckensack
Es ist sehr schwer das definitiv festzunageln, weil R200 nur in 8 Bit (pro Kanal)-Rendertargets ausgeben kann. Es ist auf jeden Fall mehr als FX12 (Vorzeichen plus 3 "Vorkommabits" plus die 8 direkt messbaren "Nachkommabits"). Ab da wird es schwierig.
*schulterzuck* Ich denke, 2 weitere Nachkommabits sollten genügen.

Hast du ne Ahnung, ob R200 ein echtes FX-Format hat mit echtem Vor- und Nachkomma-Anteil, oder ist das eher sowas wie FX9, nur mit mehr Bits?

[aths]

Original geschrieben von aths
Hast du ne Ahnung, ob R200 ein echtes FX-Format hat mit echtem Vor- und Nachkomma-Anteil, oder ist das eher sowas wie FX9, nur mit mehr Bits? Huh?

[zeckensack]

Öhm,
Original geschrieben von aths
Hast du ne Ahnung, ob R200 ein echtes FX-Format hat mit echtem Vor- und Nachkomma-Anteil, oder ist das eher sowas wie FX9, nur mit mehr Bits? Mir ist nicht ganz klar was du meinst. Zwischen den beiden Optionen gäbe es nur einen möglichen Unterschied.
FX9 ist so eine Art Zweierkomplement.
Die andere Möglichkeit wäre ein Einerkomplement (inklusive doppelter Null, etc).

Da ich's nicht genau weiss, aber das Einerkomplement für generell unpraktisch halte, würde ich mal auf "sowas wie FX9 ..." tippen.

[zeckensack]

Seite 8, letzter Absatz:
"Es kann sein, dass dies auch bei einer CPU unterwünscht ist. Dann bietet es sich an, mit Quite NaNs arbeiten. Diese NaNs sind "still", und führen nicht zu einer Exception."

=>"unerwünscht" ohne t
=>"Quiet"

Seite 9, inhaltlicher Fehler
"AMDs erste 3DNow-Version unterstützte überhaupt nur FP32 - gegenüber Intels MMX, welches nur Int16 verstand, war das natürlich ein gewaltiger Fortschritt."
MMX kann Vektoren aus 8*8 Bit-, 4*16 Bit-, und 2*32 Bit-Integern verarbeiten.

[aths]

Original geschrieben von zeckensack
Öhm,
Mir ist nicht ganz klar was du meinst. Zwischen den beiden Optionen gäbe es nur einen möglichen Unterschied.
FX9 ist so eine Art Zweierkomplement.
Die andere Möglichkeit wäre ein Einerkomplement (inklusive doppelter Null, etc).

Da ich's nicht genau weiss, aber das Einerkomplement für generell unpraktisch halte, würde ich mal auf "sowas wie FX9 ..." tippen. Genau das meinte ich :)

[Leonidas]

Original geschrieben von zeckensack
Seite 8, letzter Absatz:
"Es kann sein, dass dies auch bei einer CPU unterwünscht ist. Dann bietet es sich an, mit Quite NaNs arbeiten. Diese NaNs sind "still", und führen nicht zu einer Exception."

=>"unerwünscht" ohne t
=>"Quiet"

Seite 9, inhaltlicher Fehler
"AMDs erste 3DNow-Version unterstützte überhaupt nur FP32 - gegenüber Intels MMX, welches nur Int16 verstand, war das natürlich ein gewaltiger Fortschritt."
MMX kann Vektoren aus 8*8 Bit-, 4*16 Bit-, und 2*32 Bit-Integern verarbeiten.


Schreib-Fehler gefixt. Zu den Inhalts-Fehlern kann nur aths was sagen.

[aths]

Original geschrieben von zeckensack
MMX kann Vektoren aus 8*8 Bit-, 4*16 Bit-, und 2*32 Bit-Integern verarbeiten. Ups.

Leo, du hast 'ne Korrektur-Mail.


Danke, zecki, dass du den 2. Teil gelesen hast. Ansonsten gibt es ja bislang keine Rückmeldung – das deprimiert durchaus.

[mrdigital]

Original geschrieben von pancho
Noch was: Seite 3 / Eine Frage der Quantisierung

Eine Elektron hat die Ladung e = 1 C(oulomb) = 1 A(mpere)s.
1eV ist eine Energieangabe.
...


*räusper*
ein Elektron hat die Ladung 1 e oder eben 1,60218 × 10^-19 Coulomb.
1 Ampere ist 1 Coulomb / 1 Sekunde (der Strom ist die Ableitung der Ladung nach der Zeit).
1 eV ist die Energie, die in einem Elektron steckt, wenn man es in einem elektrischen Feld mit 1 Volt Potentialdifferenz beschleunigt, es ist also eine kinetische Energie (das Elektron hat eine Masse und eine Geschwindigkeit)

Edit : Holla das hatte ja ein Gast bereits angemerkt ;)

[zeckensack]

*räusper*
Original geschrieben von mrdigital
1 Ampere ist 1 Coulomb / 1 Sekunde (der Strom ist die Ableitung der Ladung nach der Zeit).Ist nicht vielmehr 1 Watt=1 Coulomb/s ?(
(unter der möglicherweise irren Annahme dass Coulomb nur eine andere Geschmacksrichtung von Joule ist)

[Legolas]

Original geschrieben von zeckensack
*räusper*
Ist nicht vielmehr 1 Watt=1 Coulomb/s ?(
(unter der möglicherweise irren Annahme dass Coulomb nur eine andere Geschmacksrichtung von Joule ist)
1C = 1As
1W = 1VA = 1J/s
1J = 1VAs = 1Ws

Deine Annahme stimmt also nicht. :)

[aths]

… Ist das alles an Response? Nicht mal ein "Boah Leute, das ist zu komplex für mich, schreibt bitte verständlicher?"

[x-dragon]

Das könnte ich wohl schreiben, aber das Thema an sich ist halt einfach sehr komplex und umfangreich und die Art und Weise wie du das schreibst finde ich schon nicht schlecht.

Hab aber selbst den Artikel nur sehr grob überflogen und mich auf die kleinen Zusammenfassungen konzentriert, da mich die einzelnen Details nicht so sehr interessierten.

Vom Inhalt her würde ich sagen, können am ehesten Informatik- oder Mathe-Studenten was damit anfangen (oder sonstwie sehr Interessierte), denn der "normale" Leser (wie ich :)) hat vermutlich doch eher etwas praxisnäheres erwartet (was ja vermutlich nach den ganzen Grundlagen noch kommt).

[Coda]

Von den 32 Bit für Z/Stencil bleiben 24 für den Z-Wert. Weil FP-Formate für Z-Werte sinnvoller ist als eine Ganzzahl-Darstellung, konvertieren die Karten die als FP32 vorliegenden Z-Werte vielleicht in ein FP24-Format, dessen Aufbau uns allerdings unbekannt ist.
Nene, Z Werte werden als Integer gespeichert.

siehe http://www.sjbaker.org/steve/omniv/love_your_z_buffer.html

[aths]

Original geschrieben von Coda
Nene, Z Werte werden als Integer gespeichert.Ich habe andere Informationen, was die NV-Chips betrifft. Die können soweit ich weiß, beides. Int und Float.

[mrdigital]

Original geschrieben von Legolas
1C = 1As
1W = 1VA = 1J/s
1J = 1VAs = 1Ws

Deine Annahme stimmt also nicht. :)
Thats correct :)

[mrdigital]

Original geschrieben von aths
… Ist das alles an Response? Nicht mal ein "Boah Leute, das ist zu komplex für mich, schreibt bitte verständlicher?"
Ich fand deinen Artikel gut! Allerdings hat er mir nun keine richtig neue Erkentniss gebracht, war aber eine schöne Auffrischung, auf die ich, wenn ich mich wieder mit sowas beschäftigen muss, sicher zurückgreifen werde, weil sie schön anschaulich und recht kompakt ist!

[aths]

Original geschrieben von mrdigital
Ich fand deinen Artikel gut! Allerdings hat er mir nun keine richtig neue Erkentniss gebracht, war aber eine schöne Auffrischung, auf die ich, wenn ich mich wieder mit sowas beschäftigen muss, sicher zurückgreifen werde, weil sie schön anschaulich und recht kompakt ist! Eigentlich richtet sich der Artikel an jene, die nicht schon in der Materie stecken. Die Idee dazu kam mir einfach so: "Ich müsste mal FP-Zahlen erklären". Auf 3 Seiten. Mir wurde dann klar, um sie wirklich zu erklären, braucht es 6 Seiten.

Dann überlegte ich weiter. Nur erklären ist langweilig. Der Leser soll die Vorteile auch einordnen können. So verdoppelte ich die Zielseitenzahl erneut, auf 12. Beim Schreiben uferte das aber aus, letztlich wurden es noch deutlich mehr.

[aths]

Original geschrieben von x-dragon
Das könnte ich wohl schreiben, aber das Thema an sich ist halt einfach sehr komplex und umfangreich und die Art und Weise wie du das schreibst finde ich schon nicht schlecht.G00d.
Original geschrieben von x-dragon
Hab aber selbst den Artikel nur sehr grob überflogen und mich auf die kleinen Zusammenfassungen konzentriert, da mich die einzelnen Details nicht so sehr interessierten.Nur grob überflogen? ;( Ich habe mir extra die Mühe gemacht, an einigen Stellen in die Tiefe zu gehen. Motto: Kampf dem Halbwissen.
Original geschrieben von x-dragon
Vom Inhalt her würde ich sagen, können am ehesten Informatik- oder Mathe-Studenten was damit anfangen (oder sonstwie sehr Interessierte), denn der "normale" Leser (wie ich :)) hat vermutlich doch eher etwas praxisnäheres erwartet (was ja vermutlich nach den ganzen Grundlagen noch kommt). Man kann nicht immer nur praxisnahes aufnehmen. Die Theorie sollte einen weiteren Horizont vermitteln. Bis in jüngste Vergangenheit lese ich im Forum Sachen, die es imo erforderlich machen, die Zahlenformate gründlich auseinanderzunehmen.

[x-dragon]

Original geschrieben von aths
G00d.
Nur grob überflogen? ;( Ich habe mir extra die Mühe gemacht, an einigen Stellen in die Tiefe zu gehen. Motto: Kampf dem Halbwissen.
Man kann nicht immer nur praxisnahes aufnehmen. Die Theorie sollte einen weiteren Horizont vermitteln. Bis in jüngste Vergangenheit lese ich im Forum Sachen, die es imo erforderlich machen, die Zahlenformate gründlich auseinanderzunehmen. Naja die ersten Seiten hab ich auch noch ganz gelesen, aber der Artikel ging halt doch einiges mehr ins Detail als ich es erwartet hatte. *nochmal ein wenig im Artikel blätter* ... also spätestens wenn der Artikel vollständig ist werde ich ihn mir auf jeden Fall nochmal komplett in Ruhe durchlesen.

Mit dem Thema "Theorie" hatt du natürlich völlig recht, aber ich weiß schon warum ich mich bisher aus sollen Diskussionen rausgehalten habe, den Bitverschiebungen und Co. sind unbedingt mein Lieblingsthema :).

[Gast]

Original geschrieben von aths
… Ist das alles an Response? Nicht mal ein "Boah Leute, das ist zu komplex für mich, schreibt bitte verständlicher?"
Och, wenn man das alles schon in den (Numerik-)Vorlesungen des Mathestudiums gehört hat, dann ist das eher noch mal so eine kurze Erinnerungshilfe, zumal wenn, wie schon angemerkt, ein bißchen theoretischer Hintergrund fehlt ... *xfg*.
Aber wirklich gute(r) Artikel, Respect!

mfg Sebastian

[Gast]

Wirklich ein prima Artikel, manchmal etwas zu tief vielleicht. Ich wette, jeder steigt irgendwann aus. Ich habe ca. drei Absätze im zweiten Teil überflogen.
Allgemein tut es gut, auf 3dcenter inhaltlich UND sprachlich hochqualitative Texte zu lesen.

Kleine Anmerkung: Pi ist doch nicht transzendent. Sicher ist dir das P nur reingerutscht. Pardon, aber mit einem "das ist die 'höchste' Stufe kommst du bei solch einem Artikel nicht davon.
Der physikalische Lapsus wurde ja schon diskutiert.

InoAce
(nicht registriert, aber InoAce@web.de)

[aths]

Original geschrieben von Gast
Wirklich ein prima Artikel, manchmal etwas zu tief vielleicht. Ich wette, jeder steigt irgendwann aus. Ich habe ca. drei Absätze im zweiten Teil überflogen.
Allgemein tut es gut, auf 3dcenter inhaltlich UND sprachlich hochqualitative Texte zu lesen.Das geht runter wie Öl :)
Original geschrieben von Gast
Kleine Anmerkung: Pi ist doch nicht transzendent. Sicher ist dir das P nur reingerutscht. Hm? Pi ist transzendent, soweit ich weiß. i wäre imaginär.

Original geschrieben von Gast
Pardon, aber mit einem "das ist die 'höchste' Stufe kommst du bei solch einem Artikel nicht davon. Wie meinst du das? Dass eine transzendente Zahl ist auch "nur" irrational ist?

[robbitop]

"Mit dem 80486 wurde der Coprozessor auf der PC-Schiene gleich in die Haupt-CPU integriert"

Kam das nicht erst mit dem 4x86 DX2?
AFAIK hatter der SX/DX einen externen CoProzessor wobei der SX afaik über keinen L2 verfügte und mit 33Mhz FSB arbeitete, der DX mit 50Mhz und L2 Cache.

[aths]

Original geschrieben von robbitop
"Mit dem 80486 wurde der Coprozessor auf der PC-Schiene gleich in die Haupt-CPU integriert"

Kam das nicht erst mit dem 4x86 DX2?Nein.
Original geschrieben von robbitop
AFAIK hatter der SX/DX einen externen CoProzessor wobei der SX afaik über keinen L2 verfügte und mit 33Mhz FSB arbeitete, der DX mit 50Mhz und L2 Cache. L2-Cache war damals höchstens onboard zu finden, nicht im Chip. Der SX hatte keine (funktionsfähige) FPU, der Coprozessor 80487 SX war dann eigentlich ein vollständiger 486-er.

[robbitop]

ich weiss dass der L2 auf dem Board war ;)

[Gast]

Puh... geschafft! Ich werde den gesamten Artikel wohl noch mal als ganzes anlesen!:D
Aber folgendes ist mir dann doch noch aufgefallen:
[...]Der Intel 8087 als ein externer Coprozessor für den 8086er Prozessor[...]

PS: Kommt es nur mir so vor, oder gab es in den letzten Wochen eine regelrecht Artikelflut?;)

[Gast]

"Die FP-Einheiten wurden für den Pentium neu auf Geschwindigkeit getrimmt, diese greifen jetzt bei bestimmten Rechnungen auf vorberechnete Tabellen zurück. Einige Werte darin waren in den ersten Pentiums falsch - unter Umständen war das Rechenergebnis ungenau. Mehr oder weniger schlimme Bugs sind allerdings Gang und Gäbe - neben diesem FDIV-Bug war der F0-Bug präsent: Bestimmte Bit-Folgen (die alle mit hexadezimal F0 beginnen) führten dazu, dass die CPU still stand und neu gebootet werden musste, Speicherschutz hin oder Multitasking her."

Der FDIV-Bug hat nix mit vorberechneten Tabellen zu tun.
Der F0-Bug, der eigentlich F00F-Bug heißt, hat überhaupt gar nichts mit der FPU-Einheit zu tun und war durch ein geschicktes Page-Alignment seitens des Betriebssystems zu umgehen, selbst Windows 95 bot bereits einen passenden Startparameter an.

[aths]

Original geschrieben von Gast
Der FDIV-Bug hat nix mit vorberechneten Tabellen zu tun.... sondern?
Original geschrieben von Gast
Der F0-Bug, der eigentlich F00F-Bug heißt, hat überhaupt gar nichts mit der FPU-Einheit zu tun und war durch ein geschicktes Page-Alignment seitens des Betriebssystems zu umgehen, selbst Windows 95 bot bereits einen passenden Startparameter an. Der F0-Bug (unter diesem Namen kenne ich den) wurde im Zusammenhang mit CPU-Bugs erwähnt. Mit der FPU hat das nichts zu tun, ja. Das sollte wohl durch einen Nebensatz noch stärker zum Ausdruck gebracht werden.

[DrumDub]

fand den dritten teil am besten bzw. ab der seite sieben des zweiten artikels. der anfang war mir zu theoretisch. verstanden habe ich zwar nicht alles, aber da ich in mathe sowieso immer ne null war, macht mir das auch keine sorgen. :D

auf jeden fall hat diese artikel-serie mein verständnis für die problematiken, die bei der entwicklung zukünftiger gpus anstehen, wesentlich verbessert.
noch ne frage zu diesem abschnitt auf seite 11:

Die Parameter von "FP128" sind schlichtweg beeindruckend. Man hat 34 signifkante Dezimalstellen. Man kann bis zur 10'384'593'717'069'655'257'060'992'658'440'192 zählen, ehe die Schrittweite der darstellbaren Zahlen größer als 1 wird (um diese Zahl exakt auszurechnen, mussten wir eine eigene spezielle String-Arithmetik schreiben, da selbst der Windows Taschenrechner versagte).

habt ihr/du nur wegen der letzen vier nachkommstellen ne eigene arithmetik geschrieben, ums genau zu wissen? immerhin kommt der windows-taschenrechner schon nah dran: 1,038459371706965525706099265844e+34

[InoAce]

Pi IST transzendent.
Sorry, ich dachte das können nur komplexe Zahlen (mit Imaginäteil) sein.

[aths]

Original geschrieben von DrumDub
habt ihr/du nur wegen der letzen vier nachkommstellen ne eigene arithmetik geschrieben, ums genau zu wissen? immerhin kommt der windows-taschenrechner schon nah dran: 1,038459371706965525706099265844e+34 Da fehlen noch ein paar Stellen. Da schrieb ich eine Funktion, die einen Zahlen-String verdoppelt (mit sich selbst addiert.) Das ganze in eine For-Schleife gepackt.

Original geschrieben von DrumDub
fand den dritten teil am besten bzw. ab der seite sieben des zweiten artikels. der anfang war mir zu theoretisch. verstanden habe ich zwar nicht alles, aber da ich in mathe sowieso immer ne null war, macht mir das auch keine sorgen. :DOhne Theorie keine Praxis :) Bis zuletzt erwähnte ich immer wieder die Unterschiede zwischen Fix- und Gleitkomma, damit sich die Kernaussage einschleift. Wie diese Unterschiede genau zustandekommen, wurde natürlich auch beschrieben, dieser Stoff mag etwas trocken erschienen sein. Imo ist es aber wichtig, bitfein darauf einzugehen. Die meisten (siehe Links auf der letzten Seite) behandeln den Aufbau von FP-Formaten ziemlich kompakt, und setzen vor allem Grundwissen voraus.

[mrdigital]

Original geschrieben von InoAce
Pi IST transzendent.
Sorry, ich dachte das können nur komplexe Zahlen (mit Imaginäteil) sein.
wann ist eine Zahl transzendent?

[BubbleBoy]

.

[InoAce]

Das Thema ist zum Thread transzendent, aber besser man breitet es nochmal aus als dass hier offene Fragen bleiben :-)

Eine Zahl ist transzendent, wenn sie sich nicht als Lösung einer Linearkombination darstellen lässt. 1/3 hat ja auch unendlich viele Nachkommastellen, lässt sich aber als Lösung von "3x - 1 = 0 " beschreiben. Dass Pi gerade diese Eigenschaft nicht hat, führt letztlich dazu, dass man die Zahl nicht geometrisch konstruieren kann. Aber genau das hat man bei der Quadratur des Kreises ewig lange versucht (Ein Quadrat konstruieren, das die gleiche Fläche wie ein gegebener Kreis hat). Mit dem Beweis der Transzendenz von Pi (Hilbert, 1893) wurde dem Versuch ein Ende bereitet.

Ist echt irre, wieviel mathematische Vorarbeit nötig ist, um Grafikkarten bauen zu können. Rocket Science at its best!

[mrdigital]

aber ist nicht jede irrationale Zahl nach dieser Definition transzendent?

[ow]

.

[mrdigital]

1/3 ist eine rationale Zahl.
Wurzel 2 ist irrational.

[aths]

Original geschrieben von ow
Wieso denn?
Er hat doch gerade oben geschrieben, dass 1/3 nicht transzendent ist. Aber irrational ist 1/3. 1/3 ist rational. Jede Zahl, die sich als Bruch darstellen lässt, dessen Zähler und Nenner natürlich Zahlen sind, ist rational.

Wurzel aus 2 z. B. ist irrational. Rationale und irrationale Zahlen zusammen ergibt die Menge der reelen Zahlen.

Die reelen Zahlen liegen auf dem Zahlenstrahl dicht.

Irrationale Zahlen gibt es allerdings in zwei verschiedenen Klassen, tranzendente und eben nicht tranzendente. Es ist nicht gerade einfach, nachzuweisen, dass eine gegebene tranzendente Zahl (nur durch einen Term oder als Konstante darstellbar) tatsächlich tranzendent ist.

Insofern ist der FP-Artikel ungenau, dass tranzendente Zahlen die "höchste Stufe" sein. Letztlich sind sie auch "nur" irrational. Es rechnet sich nur nicht so einfach mit ihnen. Wenn man mit Wurzel(2) rechnet, kann man das erst mal so hinschreiben und am Ende nach der Umformung dann die Wurzel ziehen, sofern man sie nicht durch Quadrierung weggekriegt hat. Pi hingegen kann man nicht "wegkriegen".

[BubbleBoy]

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[aths]

Original geschrieben von BubbleBoy
Halloooo, warum erhört mich denn keiner :???:

Ich hätte gerne, daß die beiden Schreibfehler auf Seite 11 verbessert werden (siehe hier (http://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/postings.php?action=getip&postid=1650608)) und auf Seite 1 das da:

*schauder* grausam ... bitte das '16 Bit breit' entfernen. Hm? Wieso?

[BubbleBoy]

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[aths]

Original geschrieben von BubbleBoy
Entweder lautet der Satz:Auf welcher Seite?

[BubbleBoy]

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[Gast]

Original geschrieben von aths
1/3 ist rational. Jede Zahl, die sich als Bruch darstellen lässt, dessen Zähler und Nenner natürlich Zahlen sind, ist rational.


Nicht natürliche Zahlen sondern ganze, -1/3 ist ja auch rational, aber -1 nicht natürlich (wenn man denn die rationalen Zahlen so einführen will).


Die reelen Zahlen liegen auf dem Zahlenstrahl dicht.


Jein, die reelen Zahlen SIND der Zahlenstrahl. Vermutlich wolltest du sagen, daß die rationalen Zahlen dicht auf dem Zahlenstrahl(=in den reelen Zahlen) liegen.


tranzendente Zahl (nur durch einen Term oder als Konstante darstellbar)


http://home.arcor.de/steffen.hitzemann/mathprobs/Lexikon/Artikel/zahlenhierarchie.htm#4
etwas weiter unten, um hier mal eine relativ gute Definition reinzubringen.


Insofern ist der FP-Artikel ungenau, dass tranzendente Zahlen die "höchste Stufe" sein.


Genau *ggg* da gibt es noch Ordinalzahlen, Kardinalzahlen, von denen wieder die schwach unerreichbaren und die stark unerreichbaren (wenn es sie gibt ...) und vielleicht sogar noch mehr ...

mfg Sebastian

[aths]

Original geschrieben von Gast
Nicht natürliche Zahlen sondern ganze, -1/3 ist ja auch rational, aber -1 nicht natürlich (wenn man denn die rationalen Zahlen so einführen will).Stimmt.


Original geschrieben von Gast
Jein, die reelen Zahlen SIND der Zahlenstrahl. Vermutlich wolltest du sagen, daß die rationalen Zahlen dicht auf dem Zahlenstrahl(=in den reelen Zahlen) liegen. Ok, ich weiß jetzt nicht, wie der Zahlenstrahl genau definiert ist. Hier stellte ich mir einen "leeren" Strahl vor, und jede reele Zahl wird durch einen Punkt repräsentiert, dann liegen die Punkte dicht und ergeben quasi eine (stetige) Funktion y=0 (bzw. i=0.)

[Fidel]

Ist schon lustig das ich erst bei 3dcenter nen Artikel lesen muss damit klar wird wofür man die Gleitkommazahlen überhaupt braucht. Ich dachte immer damit wäre einfach ein größeres Intervall abzudecken als mit Fixkommazahlen der gleichen Größe. Und auch sonst schön zu lesen, ein weiterer Punkt die Startseite so zu lassen wie sie ist :)


Ps. Ich darf mich auch im FB E-Technik & Informatik rumschlagen.

[aths]

Original geschrieben von Fidel
Ist schon lustig das ich erst bei 3dcenter nen Artikel lesen muss damit klar wird wofür man die Gleitkommazahlen überhaupt braucht. Ich dachte immer damit wäre einfach ein größeres Intervall abzudecken als mit Fixkommazahlen der gleichen Größe.Das gehört auch mit dazu. FP = geringere "Grundgenauigkeit", diese gilt aber für sehr kleine wie auch für sehr große Zahlen. Ein kommender Artikel wird bei passender Stelle darauf noch mal Bezug nehmen.

[Gast]

Ich finde den Artikel super :) Programmiere schon länger habe aber ( noch ) kein Studium und bin bisher noch nie so in die "Tiefe" gegangen in Bezug auf Fließ/Gleit-Kommawerte.

[aths]

Original geschrieben von Gast
Ich finde den Artikel super :) Programmiere schon l?nger habe aber ( noch ) kein Studium und bin bisher noch nie so in die "Tiefe" gegangen in Bezug auf Flie?/Gleit-Kommawerte. Freut mich, wenns gefaellt.

Die urspruengliche Intention war, den Leser in die Lage zu versetzen, darueber nachdenken zu koennen wie viel genauer FP32 als FP24 ist, sowie ihm die Infos zu geben, um FP16 richtig einzuordnen. Es macht ja keinen Sinn, staendig diese Begriffe zu verwenden und dem Leser zu verschweigen, wo und um wie viel die breiteren Formate besser sind.

[avalanche]

Ich hab leider in letzter Zeit ziemlich viel zutun gehabt, auch innen Ferien, hab aber jetzt zumindest mal damit angefangen, mir den Artikel "reinzuziehen". So'n Stoff brauch ich (Elektro-/Informationstechnik-LK; 11/2). Das einzige, was mir jetzt noch fehlt, ist, dass mir einer (Fix-)Komma-Multiplikation nochmal erklärt. Das es so sein muss (1*1=1, da is nix dran zu rütteln) hab ich ja verstanden, aber wie ihr, bzw. du (aths) darauf (11111111*11111111=1111111*0*) kommst kann ich noch nicht so ganz nachvollziehen. Da wäre eine "tiefere" Erklärung doch ganz hilfreich.
Bis denn dann und nochmal vielen Dank für den Artikel!
Ava

[aths]

Einfach die Multiplikation von Hand mal rechnen :)

[avalanche]

Ahh ;)
Nach ein bisschen Zurückerinnerung an die (dezimale,) schriftliche Multiplikation ist nun alles klar ;)

[Gast]

Kleine Korrektur: es muss "Quiet NaN" heissen und nicht "Quite NaN". Gemeint sind nämlich die geräuscharmen NaNs und nicht die Möchtegern-NaNs.