Numerische Integration

[aths]

Folgendes Problem raubt mir den Schlaf. Es geht um numerische Integration. Wir haben eine beliebige Funktion, und eine ungerade Anzahl von äquidistanten Stützstellen.

1. Näherung: Untersumme oder Obersumme, also gleichgewichtetes Mittel aller Einzelwerte entweder von n(0) - n(i-1), oder von n(1) bis n(i).

2. Näherung: Trapez-Verfahren: Alle Werte von n(0) - n(i), wobei der erste und der letzte Wert nur halb reinzählen.

3. Fassregel: Alternierend das Gewicht von 2 und 1, den Anfang und das Ende mit 0,5 wichten. Also wie das Trapezsummenverfahren, aber in der Mitte jede zweite Stützstelle mit doppeltem Gewicht einfließen lassen. Das erhöht die Genauigkeit beträchtlich.

Wieso?? Im Hintergrund steht, dass man mit Parabelstücken arbeitet, und somit die Rundungen der zu integrierenden Funktion annähert. Dass das besser als die Trapezsumme ist, ist klar. Aber nimmt man einfach mal den Ansatz, jede zweite Stützstelle doppelt zu zählen, wichtet man doch völlig uneinsichtig irgendwelche Funktionswerte stärker. Wieso ist die so gewichtete Summe genauer?

[Frank]

Da du dir deine Stützstellen schon vorgibst (egal ob äquidistant oder nicht), kannst du bei der allgemeinen Quadraturformel für numerische Integration ja sowieso nur noch die Gewichte zu den Stützstellen varieren. Und mit dem entsprechenden Verfahren für dessen Variation wird das dann natürlich genauer. Ist das deine Frage die geklärt werden soll oder ist deine Frage warum du bei dem doppelt nehmen jeder zweiten Stützstelle genauer kommst?

[aths]

Original geschrieben von Frank
Da du dir deine Stützstellen schon vorgibst (egal ob äquidistant oder nicht), kannst du bei der allgemeinen Quadraturformel für numerische Integration ja sowieso nur noch die Gewichte zu den Stützstellen varieren. Und mit dem entsprechenden Verfahren für dessen Variation wird das dann natürlich genauer. Ist das deine Frage die geklärt werden soll oder ist deine Frage warum du bei dem doppelt nehmen jeder zweiten Stützstelle genauer kommst? Die zweite Frage ist es, die mir Kopfschmerzen bereitet.

Dass Parabelstücken genauer sind, als Trapeze, sehe ich sofort ein. Dass man die Fassregel eben auf solche einfache Gewichtsverteilung vereinfachen kann, hatten wir mal ausgerechnet. Soweit, so gut. Nun der andere Ansatz, dass man nur die Verteilung der Gewichte betrachtet. Jedes zweite Gewicht ist doppelt so schwer. Da werden doch willkürlich Werte bevorzugt. Wieso macht das die Integration genauer?

Ein paar Tests ergaben, dass man mit Parabelstücken sehr viel genauer ist, als mit der Trapezsumme. Damit kann ich mich irgendwie nicht abfinden :) weil's mir nicht einleuchtet, dass die Betonung jeder zweiten Stützstelle so viel an Genauigkeit bringt.

[Frank]

Original geschrieben von aths
Jedes zweite Gewicht ist doppelt so schwer. Da werden doch willkürlich Werte bevorzugt. Wieso macht das die Integration genauer?
Kannst du das ganze auch beim Namen nennen? Ist das irgend ein Newton-Cotes Typ,...?
Original geschrieben von aths
Ein paar Tests ergaben, dass man mit Parabelstücken sehr viel genauer ist, als mit der Trapezsumme. Damit kann ich mich irgendwie nicht abfinden :) weil's mir nicht einleuchtet, dass die Betonung jeder zweiten Stützstelle so viel an Genauigkeit bringt. Wenn du Parabelstücke verwendest wird doch nicht jede zweite Stützstelle betont.?

[aths]

Original geschrieben von Frank
Kannst du das ganze auch beim Namen nennen? Ist das irgend ein Newton-Cotes Typ,...?
Wenn du Parabelstücke verwendest wird doch nicht jede zweite Stützstelle betont.? Naja, doch?

[Frank]

Original geschrieben von aths
Naja, doch? Dann versuch es mir nochmal zu erklären - am besten wirf gleich mal die Formeln hier mit ins Spiel.

[aths]

Fassregel (Parabelstück) bei drei Stützstellen hat die Gewichte 0.5, 2, 0.5.

Mehrere Stücke aneinenander gereiht ergibt z. B.

0.5, 2, 1, 2, 1, 2, 0.5 (oder eben 1 4 2 4 2 4 1.)

Zum Fass. Eine Trapezsumme zweier Trapeze führt zu der Gewichtung 0.5, 1, 0.5. Beim Parabelstück wird die Mitte überbetont (0.5, 2, 0.5.) Das finde ich einsichtig, dass der mittlere Wert besonders zum Flächeninhalt beiträgt.

Reiht man mehrere Parabelstücke aneinander, wird jeder zweite Wert (ausgenommen die Enden) betont. Das finde ich nicht mehr einsichtig.

[Annator]

Also wenn dir sowas schon den schlaf raubt! :P

[Thowe]

Original geschrieben von razorreaper
Also wenn dir sowas schon den schlaf raubt! :P

:spammer: :nono:

Muss doch nicht sein!