Konvergenz Newton-Verfahren

[pippo]

Bin jetzt seit 3 Tagen auf der Suche, aber kann nichts finden. Ich suche die Herleitung für folgende Konvergenzbedingung:

|f(x)*f´´(x)/f´(x)²|<1


Dieses Gesetz sagt aus, ob ein Startwert geeignet ist oder nicht. Habe schon probiert es selber irgendwie herzuleiten, aber ich versteh z.B. nicht, warum man f´´(x) braucht. Startwerte in der Umgebung von Wendepunkten sind doch eigentlich ungeeignet. Wenn jetz aber der Startpunkt ein Wendepunkt wäre, wäre auch die Konvergenzbedingung erfüllt und diese Bedingung würde behaupten, dass dies ein geeigneter Wert wäre, obwohl es keiner ist.

[Wollski]

Die obige Bedingung erhälst du, wenn du
f(x) = x - f(x) / f'(x) (also die Vorschrift des Newtonverfahrens) nach x ableitest.
Darauf wendet man dann folgenden Hilfssatz an:
Es sei f eine diff'bare und reelle Fkt., die [a,b] in [a,b] abbildet und für die gilt sup[f'(x)]<1 dann konvergiert die mit einem x_v gebildete Folge x_(v+1)=f(x_v).

Damit ist also die Konvergenz des Newtonverfahrens bewiesen, falls die von dir angegebene Bedingung erfüllt ist.

Hoffe konnte dir weiterhelfen.