Schnittpunkte berechnen, wieso wird mit 4 multipliziert?

[Weyoun]

Hi Leute!

Habe da eine einfache Frage zu den quadratischen Gleichungen (Schnittpunktberechnung).

Und zwar: Ich muss ja, wenn ich die beiden Schnittpunkte von z. B. einer Geraden und einer Parabel berechnen will, die beiden gleichsetzen.
Dadurch forme ich das Zeug dann in die Normalform (a*x²+b*x+c) um.

So sieht das ganze aus:
| y=1,25x+1,75
|^y=0,25x²+2x-3
----------------

Gleichsetzen:
1,25x+1,75=0,25x²+2x-3 |-1,25x-1,75
0,25x²+0,75x-4,75=0 | * 4 (<-- Multiplikation mit 4, warum?
x²+3x-19=0 <--- Normalform

Nur, warum multipliziere ich das ganze mit der Zahl 4?

MfG,
Weyoun

[Stone2001]

Schau dir doch mal die Zahlen an! Mit natürlichen Zahlen zu rechnen ist normalerweise etwas einfacher als mit reelen.

Es kann aber auch sein, das eure Normalform vorsieht, das x² den Vorfaktor 1 haben muß. Es gibt da unterschiedliche Mitternachtsformeln, bei "a, b, c - Version" ist der Vorfaktor vor dem x² beliebig, bei der "p, q - Version" muß er 1 sein!

Wenn ihr also die abc-Formel verwendet, ist dieser Schritt eigentlich unnötig!

[Gast]

So ein Unsinn...welcher Idiot versucht euch denn das weiszumachen?
Nimm doch einfach Mitternachtsformel oder quadratische Ergänzung wenn du es kompliziert magst

[GastVonGerade Erst]

Ah, warte gabs da nicht den Satz von Vieta für den ich immer zu faul war.... ;D
Such mal danach in der Formelsammlung

[sei laut]

-wurd schon erklärt, hat ich nicht gesehn-

[Weyoun]

Original geschrieben von Gast
So ein Unsinn...welcher Idiot versucht euch denn das weiszumachen?
Nimm doch einfach Mitternachtsformel oder quadratische Ergänzung wenn du es kompliziert magst

Welcher Idiot das mir weiszumachen versucht? Keine Ahnung, ich kenn den Autor des Lösungsbuches nicht. :D Aber 4 Fehler hab ich schon allein auf den ersten 2 Seiten gefunden ^^.

@Stone & Gast: Mitternachtsformel? Kannst du mir das erklären?

Den Satz von Vieta kann ich nur benutzen, wenn mir x1 und x1 bekannt sind. Das ist hier leider nicht der Fall, ich versuche ja gerade x1 und x2 durch die Gleichsetzung herauszufinden.

Ich denke, es wäre das beste, wenn ihr euch mal die Aufgabe und die Lösung im ganzen anschaut.

Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie durch Rechnung die Schnittpunkte der Parabel p mit der Gleichung y=0,25x²+2x-3 und der Geraden g, die durch die Punkte A(-3|-2) und B (1|3) verläuft (G=RxR). (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

Die Ermittlung der Gleichung der Geraden g ist ein Kinderspiel (Vektor, Spitze - Fuß, den Vektor umdrehen und schon haben wir m, dann die Punktsteigungsform anwenden und heraus kommt y = 1,35x+1,75)

Dann die Berechnung der Schnittpunkte:
| y=1,25x+1,75
|^y=0,25x²+2x-3
----------------

Gleichsetzen:
1,25x+1,75=0,25x²+2x-3 |-1,25x-1,75
0,25x²+0,75x-4,75=0 | * 4 (<-- Multiplikation mit 4, warum?
x²+3x-19=0 <--- Normalform

a=1; b=3; c=-19
Das ganze dann in die Lösungsformel einsetzen.

-3 +/- Wurzel aus (3²-4*1*(-19))
--------------------------------
2*1

->x1=-6,11; x2=3,11

IL= {6,11; 3,11}

x1 / x2 in eine der beiden Gleichungen einsetzen um y1 / y2 zu bekommen.

y=1,25*(-6,11)+1,75
y=-5,89
-> Q1=(-6,11|-5,89)

y=1,25*3,11+1,75
y=5,64
-> Q1=(3,11|5,64)

Das wär dann die ganze Aufgabe. Die Wurzelzeichen krieg ich leider nicht hin, hoffe man erkennt die Formel noch. Grundmenge=R x R (R = rationale/reelle Zahlen)

[Kenny1702]

Multiplizieren muß du eh, sei es mit 4 vor dem Wurzelziehen oder mit 2 nach dem Wurzelziehen. Ich versteh dein Problem nicht so ganz.

[Mot]

0,25x²+0,75x-4,75=0 | * 4 (<-- Multiplikation mit 4, warum?
Ganz einfach, du rechnest ja durch 0,25 (" : 0,25") damit du 'ne 1 bzw. nichts vor dem x² hast.
Und durch 0,25 ist quasi = Multiplikation mit 4.

Z.B.:
4 : 0,25 = 16
4 x 4 = 16

[Stone2001]

Original geschrieben von Weyoun

Das ganze dann in die Lösungsformel einsetzen.

-3 +/- Wurzel aus (3²-4*1*(-19))
--------------------------------
2*1


Das was du als Lösungsformel bezeichnst, kenne ich unter dem Namen Mitternachtsformel!

x1,2 = (-b +-SQRT(b² - 4 * a * c) / 2 * a)

Die zugehörige Normalform lautet:

ax² + bx + c = 0

[Iceman346]

Original geschrieben von Stone2001
Das was du als Lösungsformel bezeichnst, kenne ich unter dem Namen Mitternachtsformel!

x1,2 = (-b +-SQRT(b² - 4 * a * c) / 2 * a)

Die zugehörige Normalform lautet:

ax² + bx + c = 0

Mmh, ich kenn das als pq-Formel, allerdings in leicht anderer Form:

Normalform:
x² + px + q = 0

pq-Formel:
x1,2 = p/2 +- sqrt((p/2)² - q)

[Stone2001]

Original geschrieben von Iceman346
Mmh, ich kenn das als pq-Formel, allerdings in leicht anderer Form:

Normalform:
x² + px + q = 0

pq-Formel:
x1,2 = p/2 +- sqrt((p/2)² - q)
:D Wenn du meinen ersten Post in diesem Thread anschaust, wirst du bemerken, das ich deine Version auch schon erwähnt hatte.
Ich hab nur mit der pq-Formel so meine Probleme, ich hab sie zwar als erstes gelernt, aber recht schnell wieder vergessen als ich die abc-Formel gelernt habe. Wozu auch, mit der abc-Formel muß man nicht erst auf x² normalisieren (auch wenn das eigentlich kein Problem ist ;) )

[Weyoun]

Original geschrieben von Mot
0,25x²+0,75x-4,75=0 | * 4 (<-- Multiplikation mit 4, warum?
Ganz einfach, du rechnest ja durch 0,25 (" : 0,25") damit du 'ne 1 bzw. nichts vor dem x² hast.
Und durch 0,25 ist quasi = Multiplikation mit 4.

Z.B.:
4 : 0,25 = 16
4 x 4 = 16

Ich beginne langsam zu verstehen... Die 0,25 darf da nicht stehen, weil das keine Zahl größer oder gleich 1 ist und logischerweise dividieren Zahlen >1 nicht.

Nur warum darf das nicht so sein und warum muss ich dann auch noch die ganze Gleichung * 4 nehmen? Ich versteh' den logischen Zusammenhang nicht wirklich.

[Mot]

Original geschrieben von Weyoun
Ich beginne langsam zu verstehen... Die 0,25 darf da nicht stehen, weil das keine Zahl größer oder gleich 1 ist und logischerweise dividieren Zahlen >1 nicht.

Nur warum darf das nicht so sein und warum muss ich dann auch noch die ganze Gleichung * 4 nehmen? Ich versteh' den logischen Zusammenhang nicht wirklich.
Das ganze ist auf die hier schon erwähnte pq-Formnel ausgelegt, bei der vorm x² nun mal nichts stehen darf (bzw. nur eine 1, da 1x² = x²; ansonsten funktioniert das ganze nämlich nicht).
Um die 0,25 vor dem x² auf 1 zu bringen muss durch 0,25 dividiert werden (0,25 : 0,25 => 1)... dies muss allerdings mit jeder Zahl in der Gleichung auf beiden Seiten geschehen (0,75 : 0,25 => 3 | 4,75 : 0,25 => 19 | 0 : 0,25 => 0), ansonsten würde ja das Ergebnis verfälscht werden.

Danach erhält man mit der nun funktionierenden pq-Formel das Ergebnis, bzw. die beiden Ergebnisse.

[Weyoun]

Thx. Die pq Formel wäre ja auch nicht so das große Problem, denn da ist es auch für mich (sogar aus meiner Formelsammlung) ersichtlich, dass beim x² nur eine 1 Stehen darf.

Ich möchte unbedingt wissen wieso so etwas bei der abc Formel (ax²+bx+c) angewand wird. Für mich ergibt es rein logisch keinen Sinn, dennoch scheint das Ergebnis richtig zu sein. Es ist für mich wichtig, zu erkennen, was ich mit welchem Wert bei der Gleichsetzung multiplizieren muss. Ansonsten kann ich mit der Formel einfach nicht arbeiten.

[Kenny1702]

Es ist egal, ob du mit 4 multiplizierst oder nicht, durch die Multipliktion sind in diesem Falle aber a,b,c ganze Zahlen, was das eintippen erleichtert;).

[Weyoun]

Super, ich habs kapiert!

Ich dachte, dass es dringend notwendig wäre, mal vier zu nehmen. Durch längeres herumprobieren hab ich jetzt rausgefunden, dass ich die Lösung auch mit 0,25x²... hinkriege.