Herleitung von Reihen [ mathe ]

[-=sUn's*shAdoW=-]

Hola,
Also das ist keine Hausübung oder sowas, wir haben da nur leider bloß ne Seite im Mathebuch gesagt bekommen, und nun kommen zur Schularbeit die Herleitungen der geometrischen sowie der arithmetischen Reihe.

Kann mir vielleicht einer von euch genauer erklären, wie das geht?

Also ich gehe in die 6. Klasse ( österreichisch ;) ) sollte das von Belangen sein.

Da die arithm. Reihe nicht mal im Buch steht, hab ich keinen blassen Dunst, wie allein die Formel selbst aussieht ^^

die geometrische geht ja wie folgt (nur so als beispiel):

b*q*(1-q^n)/(1-q)

ich hoffe ihr versteht meine Frage,

Danke im Voraus, cu :)

[Kenny1702]

Arithmetische Reihe 1. Ordnung

heißt eine Reihe, wenn die Differenz von je 2 aufeinanderfolgenden Summanden konstant ist, d.h.
a_{i+1}-a_i=d=const, also a_i=i*a_0

Hingegen wird eine Reihe geometrische Reihe genannt, wenn der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist, d.h. wenn gilt

a_{i+1}/a_i=q=const, also a_i=a_0*q^i

Für n->unendl. erhält man die unendliche geometrische Reihe, die im Falle |q|<1 den folgenden Grenzwert hat:
s=a_0/(1-q)

(Aus dem Bronstein, etwas abgewandelt)

[-=sUn's*shAdoW=-]

Original geschrieben von Kenny1702
Arithmetische Reihe 1. Ordnung

heißt eine Reihe, wenn die Differenz von je 2 aufeinanderfolgenden Summanden konstant ist, d.h.
a_{i+1}-a_i=d=const, also a_i=i*a_0

Hingegen wird eine Reihe geometrische Reihe genannt, wenn der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist, d.h. wenn gilt

a_{i+1}/a_i=q=const, also a_i=a_0*q^i

Für n->unendl. erhält man die unendliche geometrische Reihe, die im Falle |q|<1 den folgenden Grenzwert hat:
s=a_0/(1-q)

(Aus dem Bronstein, etwas abgewandelt)

danke, dass versteh ich sogar X-D

aber die richtige Herleitung fehlt mir immer noch :(

cu :)

[Kenny1702]

Original geschrieben von -=sUn's*shAdoW=-
aber die richtige Herleitung fehlt mir immer noch :(

Von was die Herleitung?

Der unendlichen geometrischen Reihe?

Die leitet man aus der geometrischen Summenformel durch Grenzwertbetrachtung her.
Die geometrische Summenformel lautet: a_0+a_0*q+a_0*q²+...+a_0*q^{n-1}=a_0*(1-q^n)/(1-q)

Hergeleitet wird die Formel durch Induktion.
I.A.: n=1: a_0*(1-q)/(1-q)=a_0
I.S.: n->n+1: a_0+a_0*q+...+a_0*q^n =a_0*(1-q^n)/(1-q)+a_0*q^n =a_0*((1-q^n)/(1-q)+(q^n-q^{n+1})/((1-q)) =a_0*(1-q^{n+1})/(1-q) q.e.d.:)

[Braincatcher]

:o Das entspricht meiner Klasse und ich hab keine Ahnung was das sein soll X-D

[-=sUn's*shAdoW=-]

Original geschrieben von Braincatcher
:o Das entspricht meiner Klasse und ich hab keine Ahnung was das sein soll X-D

keine bange, wenn ich ne ahnung hätte, würde ich hier nicht fragen X-D

@kenny: ich muss das erst verinnerlichen - wichtiger wäre mir dann aber auch noch die arithmetische reihe bzw. eigentlich ihre Herleitung zu kennen ^^

thx & cu :)

[Kenny1702]

Original geschrieben von -=sUn's*shAdoW=-
@kenny: ich muss das erst verinnerlichen - wichtiger wäre mir dann aber auch noch die arithmetische reihe bzw. eigentlich ihre Herleitung zu kennen ^^

thx & cu :)
Während du dich auf die geometrische Reihe konzentrierst, schreibe ich mal noch was zu arithmetischen Reihe.

Es gibt folgende Summenformel für die arithmetische Reihe:

a_0+(a_0+d)+(a_0+2d)+...+(a_0+nd)=(n+1)*(a_0+a_n)/2

Benutze wieder Induktion:
I.A.: n=0: (0+1)*(a_0+a_0)/2=a_0
I.S.: n->n+1: a_0+(a_0+d)+(a_0+2d)+...+(a_0+(n+1)d) =(n+1)*(a_0+a_n)/2 +(a_0+(n+1)d) =(n+1)*(a_0+a_n)/2 +2*(a_0+(n+1)d)/2 =(n+1)*(2a_0+n*d)/2 +[(2a_0+(n+1)d)+(n+1)d]/2 =[(n+1)*(2a_0+(n+1)d)+((2a_0+(n+1)d)]/2 =(n+2)*(2a_0+(n+1)d)/2 =(n+2)*(a_0+a_{n+1})/2 q.e.d. :)

P.S.: Ein einfacherer Beweis für die geometrische Summenformel:
(a_0+ a_0*q+a_0*^q²+...+a_0*q^n)*(1-q)=a_0*(1-q^n)
Formel erhält man mit Division durch (1-q).

[-=sUn's*shAdoW=-]

Original geschrieben von Kenny1702
Während du dich auf die geometrische Reihe konzentrierst, schreibe ich mal noch was zu arithmetischen Reihe.

Es gibt folgende Summenformel für die arithmetische Reihe:

a_0+(a_0+d)+(a_0+2d)+...+(a_0+nd)=(n+1)*(a_0+a_n)/2

Benutze wieder Induktion:
I.A.: n=0: (0+1)*(a_0+a_0)/2=a_0
I.S.: n->n+1: a_0+(a_0+d)+(a_0+2d)+...+(a_0+(n+1)d) =(n+1)*(a_0+a_n)/2 +(a_0+(n+1)d) =(n+1)*(a_0+a_n)/2 +2*(a_0+(n+1)d)/2 =(n+1)*(2a_0+n*d)/2 +[(2a_0+(n+1)d)+(n+1)d]/2 =[(n+1)*(2a_0+(n+1)d)+((2a_0+(n+1)d)]/2 =(n+2)*(2a_0+(n+1)d)/2 =(n+2)*(a_0+a_{n+1})/2 q.e.d. :)

P.S.: Ein einfacherer Beweis für die geometrische Summenformel:
(a_0+ a_0*q+a_0*^q²+...+a_0*q^n)*(1-q)=a_0*(1-q^n)
Formel erhält man mit Division durch (1-q).

okay, danke - also mit deiner hilfe und der eines freundes (mit dem ich gerde laufen war *proll*) hab ichs nun halbwegs kapiert ;)

ich hoff nur bei der schularbeit kommt kein schwieriges geometrisches beispiel um die geometrische reihe anzuwenden ;(

das ganze dreieck in kreis in rechteck in bla einschreiben stinkt nämlich und ist verwirrend ! :freak2:

cu

[Kenny1702]

Original geschrieben von -=sUn's*shAdoW=-
das ganze dreieck in kreis in rechteck in bla einschreiben stinkt nämlich und ist verwirrend ! :freak2:

cu
Viel Erfolg, auch wenn du nicht der erste wärst, der so eine Klausur in den Sand setzt:sick:.

[Zool]

Beweis der Summenformeln von Reihen geht immer nach Schema F (eben dem Induktionsbeweis). Für das "Finden" und "Entdecken" der Summenformeln gibt es leider kein so ein Schema, man kommt meist durch Probieren dazu. Aber wenn man sie einmal hat, ist der Beweise nur noch ein langweiliges Abarbeiten mit Einsetzen/Umformen von Induktionsvoraussetzung in Induktionsschritt und gezeigt hat man die Induktionsbehauptung (Summenformel)