Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Grenzwert
Warum ist
lim (n -> oo) [n*a^(1/n) - n] = log(a)
Kann man das irgendwie auf
lim (n -> oo) [(1 + 1/n)^n] = e
zurückführen?
Dexter
2004-06-09, 23:22:12
ich kann dir zwar bei deinem problem nicht helfen, aber ganz blauäugig würd ich sagen:
a^(1/n) -> 1
=> n*a^(1/n) -> oo
=> n*a^(1/n)-n -> 0
0 <> log(a) für a <> 1
nein, oo - oo ist ein undefinierter Ausdruck. Ich schau mal mit l'Hospital.
Kenny1702
2004-06-10, 14:03:32
(a^z - 1)/z = (e^(z*ln(a)) - 1)/z = Sum_{k=0}^{unend} (z^(k-1)*ln(a))/(k!)=(*)
Setze z=0. Dann ist (*)=ln(a)
Also Grenzwert existiert und ist gleich ln(a).
Braincatcher
2004-06-10, 14:08:11
Hmm...worüber redet ihr? :freak: Interessiert mich mal.
Kenny1702
2004-06-10, 14:19:47
Original geschrieben von Braincatcher
Hmm...worüber redet ihr? :freak: Interessiert mich mal.
Wir reden über den Beweis einer Eigenschaft von Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen mit allgemeinen Potenzen.
Original geschrieben von Kenny1702
(a^z - 1)/z = (e^(z*ln(a)) - 1)/z = Sum_{k=0}^{unend} (z^(k-1)*ln(a))/(k!)=(*)
Setze z=0. Dann ist (*)=ln(a)
Also Grenzwert existiert und ist gleich ln(a). verstehe ich, aber ich sehe nicht den Zusammenhang mit lim_{n -> oo} [n*a^(1/n) - n]
Kenny1702
2004-06-10, 21:04:27
Original geschrieben von Gast
verstehe ich, aber ich sehe nicht den Zusammenhang mit lim_{n -> oo} [n*a^(1/n) - n]
setze z=1/n und schon hast du den Zusammenhang. Du mußt nur am Ende den Lim 1/n betrachten, statt z=0.
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