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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Grenzwert


Gast
2004-06-09, 21:17:58
Warum ist

lim (n -> oo) [n*a^(1/n) - n] = log(a)

Kann man das irgendwie auf

lim (n -> oo) [(1 + 1/n)^n] = e

zurückführen?

Dexter
2004-06-09, 23:22:12
ich kann dir zwar bei deinem problem nicht helfen, aber ganz blauäugig würd ich sagen:

a^(1/n) -> 1

=> n*a^(1/n) -> oo

=> n*a^(1/n)-n -> 0

0 <> log(a) für a <> 1

Gast
2004-06-10, 12:42:48
nein, oo - oo ist ein undefinierter Ausdruck. Ich schau mal mit l'Hospital.

Kenny1702
2004-06-10, 14:03:32
(a^z - 1)/z = (e^(z*ln(a)) - 1)/z = Sum_{k=0}^{unend} (z^(k-1)*ln(a))/(k!)=(*)

Setze z=0. Dann ist (*)=ln(a)

Also Grenzwert existiert und ist gleich ln(a).

Braincatcher
2004-06-10, 14:08:11
Hmm...worüber redet ihr? :freak: Interessiert mich mal.

Kenny1702
2004-06-10, 14:19:47
Original geschrieben von Braincatcher
Hmm...worüber redet ihr? :freak: Interessiert mich mal.
Wir reden über den Beweis einer Eigenschaft von Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen mit allgemeinen Potenzen.

Gast
2004-06-10, 19:18:24
Original geschrieben von Kenny1702
(a^z - 1)/z = (e^(z*ln(a)) - 1)/z = Sum_{k=0}^{unend} (z^(k-1)*ln(a))/(k!)=(*)

Setze z=0. Dann ist (*)=ln(a)

Also Grenzwert existiert und ist gleich ln(a). verstehe ich, aber ich sehe nicht den Zusammenhang mit lim_{n -> oo} [n*a^(1/n) - n]

Kenny1702
2004-06-10, 21:04:27
Original geschrieben von Gast
verstehe ich, aber ich sehe nicht den Zusammenhang mit lim_{n -> oo} [n*a^(1/n) - n]
setze z=1/n und schon hast du den Zusammenhang. Du mußt nur am Ende den Lim 1/n betrachten, statt z=0.

Gast
2004-06-11, 08:18:37
danke!