Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Grenzwert
Warum ist lim n->oo a^n/n! = 0, für a > 1? Ab welchem n (oder größer) ist sicher a^n < n!?
danke
Sephiroth
2004-07-06, 15:13:59
DU kannst (a^n)/n! ja auch wie folgt schreiben:
(a^n)/n! == a^n * 1/n! == a^n * 1/n * 1/(n-1) *..* 1/n-(n-1)
nun dadrauf den Grenzwert angwendet un man erhält folgendes(überall wo nur Lim stet, steht das für Lim n->oo):
LIMn->oo (a^n)/n! == (lim a^n) * (lim 1/n!) == (lim a^n) * (lim 1/n) * (lim 1/(n-1)) *..*(lim 1/1)
der Lim n->oo von ^/n ist bekanntlich 0. Da die ganze Grenzwerte multiplikativ verknüpft sind, ist folglich der ganze Grenzwert 0. Und das gilt für alle a>1.
aber (lim a^n) = oo und oo*0 ist unbestimmt.
kann es sein, dass a^(a^a) < (a^a)!?
Berni
2004-07-06, 15:46:28
Der Nenner wächst wesentlich schneller an als der Zähler und daher geht der limes gegen 0!
Ab welchem n a^n<n! ist kann man generell so nicht sagen, da dies von a abhängt (wenn a selbst unendlich wäre, dann wäre dies NIE der Fall und der limes wäre unendlich!).
@Sephirot: Deine Begründung ist leider falsch! Denk nur mal dran, was denn wäre, wenn im Zähler z.B. n^n stehen würde! Dann wäre der Wert des Zählers "mehr unendlich" als der Wert des Nenners und daher das Ergebnis unendlich. Laut deiner Begründung würde aber 0 rauskommen...
Sephiroth
2004-07-06, 16:03:20
Original geschrieben von Berni
Der Nenner wächst wesentlich schneller an als der Zähler und daher geht der limes gegen 0!
Ab welchem n a^n<n! ist kann man generell so nicht sagen, da dies von a abhängt (wenn a selbst unendlich wäre, dann wäre dies NIE der Fall und der limes wäre unendlich!).
@Sephirot: Deine Begründung ist leider falsch!
Deine Begründung ist aber auch nicht gerade der Beweis schlechthin :bäh:
Dann eben anders ...
k sei mal beliebig aber fest und element N, sodaß a/k+1 <= 1/2
a^n/n! == a/1 * a/2 *..* a/k * a/k+1 *..* a/n <= a^k * 0,5^n-k == (2a)^k * 1/2^n
lim n->oo (2a)^k * 1/2^n == 0. Für alle a € R und a>1.
Nun noch was zu meckern? :P
Sephiroth
2004-07-06, 16:09:42
Original geschrieben von Berni
@Sephirot: Deine Begründung ist leider falsch! Denk nur mal dran, was denn wäre, wenn im Zähler z.B. n^n stehen würde! Dann wäre der Wert des Zählers "mehr unendlich" als der Wert des Nenners und daher das Ergebnis unendlich. Laut deiner Begründung würde aber 0 rauskommen...
aber wir reden hier nicht von n^n/n! sondern von a^n/n! mit a>1 und element R.
Das sind zwei verschiedene Dinge. Das n^n/n! für n->oo = oo ist, ist klar. Das n ändert sich stets, daß beliebig fest gewählte a jedoch nicht, DAS ist der Unterschied.
Den waren Grund für die mangelnde Korrektheit meines 1. Ansatzes hat der Gast schon selbst geliefert.
Original geschrieben von Sephirot
a/1 * a/2 *..* a/k * a/(k+1) *..* a/n <= a^k*0,5^(n-k)Kannst du den Schritt mal bitte erläutern? vor allem, warum es jetzt a^k und nicht mehr a^n heißt.
GloomY
2004-07-06, 16:47:49
a > 1 ist fest. Daher kann man die einzelnen n bezüglich diesem festen a vergleichen: Für alle n+1 < a gilt:
a^n / n! < a^n / n! * (a/(n+1)) = a^(n+1) / (n+1)!
und für alle n+1 > a gilt:
a^n / n! > a^n / n! * (a/(n+1)) = a^(n+1)! / (n+1)!
Damit ist die Folge (an) von 1 bis a streng monoton wachsend, und ab a+2 streng monoton fallend.
Was wir jetzt noch für das Monotoniekriterium brauchen ist eine untere Schranke für (an).
Da a > 1 => a > 0 => a^n > 0 (n Element N) => a^n / n! > 0
d.h. Null ist eine untere Schranke für (an). Nach dem Monotoniekriterium konvergiert (an) damit.
Z.z. wäre dann noch, dass (an) auch wirklich gegen 0 konvergiert. Dazu nimmt man die Definition der Konvergenz: (an) konvergiert gegen a, wenn gilt
Für alle Epsilon > 0 Ex. n0 Element N so dass für alle n > no gilt:
| an - a | < Epsilon
In unserem Fall ist a = 0, d.h. wir müssen zeigen, dass | an | < Epsilon. Das haben wir aber schon gezeigt, da (an) ja ab einem festen Index a+2 streng monoton fällt und somit für jedes vorgegebene beliebig kleine Epsilon ab einem gewissen Index n0 noch kleiner wird.
Sephiroth
2004-07-06, 16:58:04
Original geschrieben von GloomY
a > 1 ist fest. Daher kann man die einzelnen n bezüglich diesem festen a vergleichen: Für alle n+1 < a gilt:
a^n / n! < a^n / n! * (a/(n+1)) = a^(n+1) / (n+1)!
und für alle n+1 > a gilt:
a^n / n! > a^n / n! * (a/(n+1)) = a^(n+1)! / (n+1)!
Damit ist die Folge (an) von 1 bis a streng monoton wachsend, und ab a+2 streng monoton fallend.
Was wir jetzt noch für das Monotoniekriterium brauchen ist eine untere Schranke für (an).
Da a > 1 => a > 0 => a^n > 0 (n Element N) => a^n / n! > 0
d.h. Null ist eine untere Schranke für (an). Nach dem Monotoniekriterium konvergiert (an) damit.
Z.z. wäre dann noch, dass (an) auch wirklich gegen 0 konvergiert. Dazu nimmt man die Definition der Konvergenz: (an) konvergiert gegen a, wenn gilt
Für alle Epsilon > 0 Ex. n0 Element N so dass für alle n > no gilt:
| an - a | < Epsilon
In unserem Fall ist a = 0, d.h. wir müssen zeigen, dass | an | < Epsilon. Das haben wir aber schon gezeigt, da (an) ja ab einem festen Index a+2 streng monoton fällt und somit für jedes vorgegebene beliebig kleine Epsilon ab einem gewissen Index n0 noch kleiner wird.
So gehts freilich auch (einfacher) ;)
Wieso hab ich das net gleich so gemacht? :spock: :grübel: ... achja, weil ich dachte a wäre eine reelle Zahl und keine Folge :bonk:
P.S.
Gloomy, es reicht wenn die Folge nur monoton ist, sie braucht nicht streng monoton sein.
Zumind. kenn ich das Monotoniekriterium so: Jede nach unten beschränkte und monton fallende Folge (An)n ist konvergent und konvergiert gegen ihr Infimum.
Sephiroth
2004-07-06, 17:31:26
Original geschrieben von Gast
Kannst du den Schritt mal bitte erläutern? vor allem, warum es jetzt a^k und nicht mehr a^n heißt.
das k wurde ja eben so gewählt das a/k+1 <= 1/2 ist (also ist k etwas kleiner als das doppelte von a)
a^n/n! == a/1 * a/2 *..* a/k * a/k+1 *..* a/n
das ist ja klar
nun wird das nach oben abgeschätzt mit
a/1 * a/2 *..* a/k = a^k / k! <= a^k (ist klar oder?)
a/k+1 ist ja <= 1/2 (k wurde ja extra so gewählt), dann ist der teil danach natürlich wiederum noch kleiner als 1/2.
a/k+2 < a/k+1 <= 1/2
folglich kann a/k+1 *..* a/n nach oben durch (1/2)^n-k abgeschätzt werden. hoch n-k weil eben n-k faktoren.
a^k * 0,5^n-k umgeformt ergibt (2a)^k * 1/2^n
a^k * (1/2)^n-k = a^k * (1/2)^n * (1/2)^(-k) = a^k * 2^k * 1/(2^k) = (2a)^k * 1/(2^k)
DANKE! an euch beide
Varianten sind immer gut
Original geschrieben von GloomY
In unserem Fall ist a = 0, d.h. wir müssen zeigen, dass | an | < Epsilon. Das haben wir aber schon gezeigt, da (an) ja ab einem festen Index a+2 streng monoton fällt und somit für jedes vorgegebene beliebig kleine Epsilon ab einem gewissen Index n0 noch kleiner wird. ups, da ist ein Fehler: 5 + 1/n fällt auch monoton und 0 ist eine untere Schranke, aber es konvergiert gegen 5, ncith gegen 0
Corrail
2004-07-07, 14:27:45
Man kann aber auch mit der Stirlingschen Formel arbeiten:
n! = (n/e)^n * SQRT(2*pi*n) * rn
wobei rn ein Rest ist für den gilt lim (n->oo) (rn) = 1
und rn nähert sich fallen 1, also rn > 1, für alle n
Dann einfach einsetzen:
a^n / ((n/e)^n * SQRT(2*pi*n) * rn) = (a^n * e^n) / (n^n * SQRT(2*pi*n) *rn) = ((a*e)/n)^n * 1/(SQRT(2*pi*n) * rn)
Dann den Limes bilden:
(a*e)/n geht (für n gegen oo) gegen 0
Ab einem Index ist (a*e)/n kleiner 1, somit geht auch ((a*e)/n)^n gegen 0
1/SQRT(2*pi*n) geht gegen 0
und 1/rn geht gegen 1
Somit ist der Limes von dem oben = 0
q.e.d ;D
Es ist sogar die Reihe konvergent für alle a aus R konvergent (sogar absolut konvergent), Konvergenzradius = oo. Somit ist die Reihe auch für alle a aus R gleichmäßig konvergent. ;)
Ab welchem n (oder größer) ist sicher a^n < n!?
Ab einem bestimmten Index, es ist aber für die konvergenz uninteressant, welcher Index das ist.
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