Mathe: Differentialgleichungen

[ethrandil]

Hoi,
ich besuche die 13. Klasse eines Hamburger Gymnasiums.

Wir machen in Informatik gerade 'Simulationen'. Dabei geht es im Grunde darum z.B. Gleichgewichte zu simulieren, die auf ganz einfachen Angaben beruhen.

Beispiel:

Es wird ein Medikament gegeben. Pro Minute werden 'b' mg gespritzt, jedoch gleichzeitig 'c' Prozent des im Körper enthaltenen Medikaments abgebaut.

Als Differenzialgleichung erhält man dann ja:

m'(t) = b - m(t)*c/100


Nun sollen wir Aufgaben wie 'Welche Sättigungsgrenze?', 'Wann Sättigungsgrenze erreicht?' gestellt. Da das Simulieren mir zu einfach ist will ichs mathematisch lösen ;-).

Die Sättigungsgrenze kann ich ja ganz einfach per b = m(t)*c/100 [nach m(t) auflösen] berechnen, aber für die andere Frage müsste ich die Differenzialgleichung lösen.

Ich habe davon keine Ahnung, mir nur eben etwas im Web durchgelesen. Ich habe keinen passenden Prototypen zum Lösen meiner Gleichung gefunden, aber er erscheint mir sehr einfach. Könntet ihr mir helfen die Gleichung zu lösen? (ich hab Mathe LK)

- Eth

[bröckelkacke]

Juchu, Differenzialgleichungen.

Also, google mal nach 'integrating factor'. http://www.ucl.ac.uk/Mathematics/geomath/level2/deqn/de8.html -> hier gibt es eine durchgerechnete Aufgabe (in englisch).

[ethrandil]

http://www.ucl.ac.uk/Mathematics/geomath/level2/deqn/de8.html
Oh, da kann ich doch glatt mal nachfragen was das

dx/dy am Anfang der Zeilen bedeutet.

d/dx bedeutet ja Ableitung.... (warum??)

- Eth

[bröckelkacke]

Das dx/dy ist das gleiche, wie dein m'(t): Eine kleine Veränderung in m relativ zu t. Zum Beispiel ist 'v = dx/dt' eine kleine Veränderung in Position relativ zur Zeit.

Also du nimmst deine Ausgangsgleichung und stellst sie um: m'(t) = b - m(t)*c/100 -> m'(t) + m(t) * a = b (a = c/100)

In meinem Link war anstelle der Konstanten 'b' eine Variable 'x' - kein Problem.

Jetzt berechnest du diesen Integrating Factor: IF = exp[integral(a*dt)] = exp[a*t] (Kein '+ Konstante'). Beide Seiten der Ausgangsgleichung mit diesem Intagrating Factor multiplizieren:
m'(t) * exp[a*t] + m(t) * a * exp[a*t] = b * exp[a*t] =>
d[ m(t)*exp[a*t] ]/dt = b * exp[a*t]

Das 'dt' muss jetzt noch auf die rechte Seite gebracht werden und man muss beide Seiten integrieren. Die Ausgangskondition muss man auch wissen, um die ganzen Konstanten zu lösen. Am Ende solltest du eine Gleichung für m(t) haben.

[DocEW]

Hi Eth,
also ich habe das mal gerade aus meinen Unterlagen geknippst, vielleicht ist das von der Schreibweise etwas netter...

Erst mal von der Form her:
http://img70.exs.cx/img70/3331/IMG_3388.gif

Dann Satz 1 zum Lösen der homogenen Gleichung:
http://img65.exs.cx/img65/9041/IMG_3385.gif

Mit dem Ergebnis aus Satz 1 kannst du dann die inhomogene Gleichung lösen:
http://img65.exs.cx/img65/7711/IMG_3386.gif

Sind also ein paar Integrale, aber da in deinem Fall a(x)=-c/100 und b(x)=b (also beides unabhängig von x) wird's wohl recht einfach... kannst auch einfach immer x0=0 setzen und so meine ich...

Hoffe das hilft dir,

DocEW

[Supa]

verdammt im abi (2004) in mathe(LK) ne 2+ gehabt und ich kanns einfach nicht... wobei eigentlich... ich wills einfach nicht rechnen :P

[Fussabtreter]

Wir fangen auch gerade mit Differentialgleichungen an (12Klasse) und wir dürfen Matheprogramme zu Hause nutzen.
Kann da jemand was empfehlen? Auch welche mit Graphen anzeige (zum ausdrucken)
Wäre echt super.

[ethrandil]

Okay, danke.

Ich habe das jetzt endlich geschafft (Integrieren mit Derive...).

Danke an alle, vielleicht meld ich mich beim nächsten Problem nochmal *gg*.
Mein Infolehrer kanns übrigens auch nicht ;)

- Eth

[Stone2001]

Wie Differentialgleichungen in der 12.? Wieso habe ich bis zum 2. Semester warten müssen, bis ich die kennengelernt habe?
Wir fangen auch gerade mit Differentialgleichungen an (12Klasse) und wir dürfen Matheprogramme zu Hause nutzen.
Kann da jemand was empfehlen? Auch welche mit Graphen anzeige (zum ausdrucken)
Wäre echt super.
Maple oder Mathematica sind wohl die zwei besten Matheprogramme!

[DocEW]

Mein Infolehrer kanns übrigens auch nicht ;)
Kein Wunder, wenn der es vergessen hat... ich hab's ja schon nach 2 Jahren wieder vergessen! :D

[Supa]

kostelose mathe tools unter: http://www.emath.de/