Gleichung weiter auflösen (komplexe Zahlen)

[Aqualon]

Hi!

Ich hänge gerade an einer Gleichung mit komplexen Zahlen fest und krieg einfach nicht raus, wie ich da weitermachen soll.

Der Term sieht momentan folgendermaßen aus:


a² + 2a + b² - 6bi - 8
------------------------
a² - 4a + b² + 4


Irgendwie muss ich den ja auf die Form Re(z) + Im(z)i bringen können. Kann mir jemand ein paar Tips geben, wie ich in diesem Fall weiter vorgehen soll?

Danke!

Aqua

[Matrix316]

Hi!

Ich hänge gerade an einer Gleichung mit komplexen Zahlen fest und krieg einfach nicht raus, wie ich da weitermachen soll.

Der Term sieht momentan folgendermaßen aus:


a² + 2a + b² - 6bi - 8
------------------------
a² - 4a + b² + 4


Irgendwie muss ich den ja auf die Form Re(z) + Im(z)i bringen können. Kann mir jemand ein paar Tips geben, wie ich in diesem Fall weiter vorgehen soll?

Danke!

Aqua


Gang ganz ganz ganz quick and dirty (hoffentlich ist es nicht falsch ;) )


a² + 2a + b² - 8 6b
------------------------ - --------------------- * i
a² - 4a + b² + 4 a² - 4a + b² + 4


;) ;)

EDIT: Mein Taschenrechner sagt es stimmt doch nicht ganz :(

[Gnafoo]

a² + 2a + b² - 6bi - 8 a²+2a+b²-8 -6b
------------------------ = ------------------- + ------------------- * i
a² - 4a + b² + 4 a²-4a+b²+4 a² - 4a + b² + 4


oder kapiere ich da gerade was nicht ? :D
hab nur mal ein Referat drüber gehalten aber das ist doch eigentlich ganz enfach oder?

cu DerTod

Edit: too late ... hab zu lange gegrübelt

[mrdigital]

Klugscheiss an X-D
Das ist keine Gleichung, sondern ein Bruch und du willst diesen umformen ;)
Das Stichwort heisst konjuiert kompex erweitern, allerdings ist das hier ja nicht nötig, da der Nenner bereits reel ist.
so Klugscheiss aus ;)

[Aqualon]

Ja, grundsätzlich könnte man das so schreiben. Allerdings brauche ich noch den Betrag des ganzen und darf dann rausfinden, für welche a und b der Betrag < 1 ist. Und die beiden Terme zu quadrieren und danach wieder nach a aufzulösen, habe ich nicht wirklich Bock. Wäre also schön gewesen, wenn man das irgendwie hätte einfacher schreiben können.

Grundaufgabe ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen zu skizzieren, für die die Bedingung |(z+4)/(z-2)| < 1 erfüllt ist. Das da oben war mein erster Lösungsversuch mit Ersetzen von z durch a + bi.

Könnte man das vielleicht doch irgendwie einfacher hinbekommen?

Aqua

Edit: @mrdigital: ok, dann nennen wir das Ganze Term oder ergänzen im Geiste die Betragsstriche, schreiben noch ein < 1 dahinter und nennen es Ungleichung ;)

[Matrix316]

Grundaufgabe ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen zu skizzieren, für die die Bedingung |(z+4)/(z-2)| < 1 ist. Das da oben war mein erster Lösungsversuch mit Ersetzen von z durch a + bi.


|(z+4)|/|(z-2)| < 1

|((x+yi)+4)|/|((x+yi)-2)| < 1

(sqrt(x²+y²)+4) / (sqrt(x²+y²)-2) <1

Damit das erfüllt ist muss folgendes gelten:

(sqrt(x²+y²)+4) < (sqrt(x²+y²)-2)

und daraus wird:

0 < -6

Also gibts keine Lösung. ;);) (tipp ich jetzt mal so)

[Aqualon]

Der Betrag muss vom kompletten Term (z+4)/(z-2) gebildet werden und kann deswegen doch nicht einfach in |z+4|/|z-2| aufgeteilt werden, oder?

Aqua

[Matrix316]

Der Betrag muss vom kompletten Term (z+4)/(z-2) gebildet werden und kann deswegen doch nicht einfach in |z+4|/|z-2| aufgeteilt werden, oder?

Aqua

Doch das sollte gehen. Betrag eines Bruchs ist Betrag des Zählers durch Betrag des Nenners.

[Aqualon]

Die Frage ist nur, ob das auch bei den komplexen Zahlen noch gilt.

Aqua

[Matrix316]

Hast du Derive auch gesagt, dass z eine komplexe Zahl ist?

Aqua

Wenn ich wüsste wie das geht...;)

Ich kann z mit x+yi definieren, aber beim lösen kommt dann was komisches raus (ich kann nur nach x,y oder beides lösen und nicht nach z):



sqrt(x² + 8·x + y² + 16)
-------------------------- < 1
sqrt(x² - 4·x + y² + 4)

[Matrix316]

Die Frage ist nur, ob das auch bei den komplexen Zahlen noch gilt.

Aqua

Das gilt eigentlich immer. Beim Betrag einer Komplexen Zahl fällt "i" (oder "j") eh weg.

[Aqualon]

Als Ergebnis hab ich jetzt a < -1 und b beliebig rausbekommen, was auch stimmen sollte.

Aqua

[Matrix316]

Als Ergebnis hab ich jetzt a < -1 und b beliebig rausbekommen, was auch stimmen sollte.

Aqua

Najaaaa... z<-1 und der imaginärteil ist 0 und das kommt ja ungefähr so hin :D ;)