Mathefragen

[Craig]

Bin grade an diesem schönen Samstagabend am Mathelernen. Verstehe die Themen eigentlich ganz gut, doch ein paar Fragen werfen sich bei mir noch auf:


Wenn ich nen Punkt außerhalb meiner Funktion habe , der mir gegegeben ist und die Funktion beispielsweise f(x)=x^3 + 4x^2-6 ist und ich eine Tangente bilden soll, die durch diesen Punkt verläuft, wie gehe ich dann am besten vor?

Nehme ich die erste Ableitung, als Steigung, der X Wert ist meine Funktion und der Rest?


Und dann noch bei folgender KA habe ich Schwierigkeiten:
http://www.ju-mnw.de/IMG_0403.jpg
Mit der Nummer 1c) - wäre schön, wenns mir vielleicht jemand allgemeingültig auch helfen könnte, wie ich eine Fläche innerhalb ner Funktionn maximal werden lassen kann?

[Kenny1702]

Wenn ich nen Punkt außerhalb meiner Funktion habe , der mir gegegeben ist und die Funktion beispielsweise f(x)=x^3 + 4x^2-6 ist und ich eine Tangente bilden soll, die durch diesen Punkt verläuft, wie gehe ich dann am besten vor?

Nehme ich die erste Ableitung, als Steigung, der X Wert ist meine Funktion und der Rest?

Intuitiv würde ich sagen:
Sei t(x)=m*x+b die gesuchte Tangente, (x1/y1) der gegebene Punkt und f(x) die gegebene Funktion.
Wissen: y1=t(x1)=m*x1+b
Außerdem: m=f'(x) und ich glaube b=f(x)+f'(x)*(-x)
Der Rest ist rechnen.

EDIT: Bzgl. des Dreiecks:
Ich würde wohl versuchen, den Flächeninhalt des Dreiecks als Funktion A(u) zu sehen, die maximiert werden muß.

[Gooza]

hach, ich fühle mich gerade angenehm an meine Schulzeit zurückerinnert.
Da war Mathe noch leicht und hat Spaß gemacht! http://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/images/3dc/smilies/misc/anbet.gif

Ich versuch das nachher mal fix zu lösen :)

[Craig]

hach, ich fühle mich gerade angenehm an meine Schulzeit zurückerinnert.
Da war Mathe noch leicht und hat Spaß gemacht! http://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/images/3dc/smilies/misc/anbet.gif

Ich versuch das nachher mal fix zu lösen :)


Dank dir ;)

[Gooza]

Im Grunde hat es Kenny schon gesagt. Du mußt natürlich das Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, welches eben von der Variable u abhängt, also A(u).

Spätestens durch die Skizze des Schaubildes ist zu erkennen, daß ein rechtwinkliges Dreieck durch O, P und Q aufgespannt wird.
Dafür lautet die Flächeninhaltsformel bekannterweise: a*b/2

Aus der Skizze ersichtlich ist außerdem:
a=u
b=f(u) (natürlich für den Fall t=-3, was ich auch im Folgenden einfach weglasse)

Nun, da a und b bekannt sind, folgt daraus der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks in Abhängigkeit von u:
A(u) = u*f(u)/2

Folgendes ist hierbei zu beachten!
Ein Flächeninhalt ist immer positiv.
u befindet sich aber in dem Intervall [-3; 1]. u kann also positive oder negative Werte annehmen, wodurch auch A(u) negativ werden könnte. f(u) selbst ist in diesem Intervall sowieso negativ!
Abhilfe schafft u.a. eine Fallunterscheidung:
u kleiner 0 => A(u) = -u * -f(u)/2 = u*f(u)/2
u größer 0 => A(u) = u * -f(u)/2 = -u*f(u)/2

Der Unterschied besteht also (graphisch betrachtet) in der Spiegelung an der X-Achse, was für die folgende Berechnung nix ändert.
Wir lösen A(u) auf:
A(u) = 1/10*u^6 + 3/8*u^5 - 1/2*u^4 - 9/4*u^3

Um nun das Maximum an Flächeninhalt zu berechnen, muss, wie das Wort Maximum schon verrät, die Funktion nun abgeleitet werden und dann die Nullstelle berechnet.
Dabei ist mir aufgefallen, daß dies nun schon das zweite Mal ist, daß die Nullstelle einer kubischen Funktion berechnet werden soll. Hattet ihr die Lösungsformel von Cardano in der Schule????


Jedenfalls wirst du merken, daß die Ableitung folgende Nullstellen in dem Bereich hat:
v1 = 0, v2 = 0
v3 =-2.97376
v4 =-2.02211

v1 und v2 scheiden aus, weil u dann Null wäre und somit auch der Flächeninhalt.
v3 in die zweite Ableitung eingesetzt, offenbart ein Minimum.
v4 in die zweite Ableitung eingesetzt, offenbart ein Maximum. v4 ist also unser Kandidat.


Für den Fall, daß v4 kein globales Maximum sein sollte, muss noch kontrolliert werden, ob an den Intervallenden vielleicht ein größerer Flächeninhalt vorherrscht.
A(-3) = 2.025
A(v4) = 4.402
A( 1) = 2.275 (Fallunterscheidung)


Lösungssatz:
Für u = -2.02211 hat das von O, P, Q aufgespannte Dreieck einen maximalen Flächeninhalt.

[Craig]

Habe noch bei einer Aufgabe kleine Unstimmigkeiten

..........tx³ - 2; für f x < 0,5
F(x)={............................}
.........x^4 + s ;für x >0 0,5

Für welches s und t ist f(x) an der Stelle Xo=0,5 stetig und differenzierbar?


Also stetig heißt dass f(x) gleich sein muss.

also t+0.5³ - 2 = - 0.5^4+s

Dann nach t auflösen, und diese t dann einsetzen, um s zu bekommen, stimmt diese Überlegung so von mir?

Muss ich nun auch noch die Ableitung überprüfen oder soll ich gleich mit der Ableitung anfangen, um die Differenzierbarkeit nachzuweisen?

[Gooza]

Für stetig diffbar muss sowohl der Funktionswert, als auch die Ableitung an dieser Stelle übereinstimmen.

Du musst nun also in beide Funktionen den Wert x=0.5 einsetzen und gleichsetzen!
Das gleiche geschieht mit den Ableitungen!

Hast also zwei Gleichungen, zwei Unbekannte => Gleichungssystem (was sogar ziemlich einfach ist)