PDA

Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Höhere Mathematik: Wo Ausdrücke nachschlagen?


ethrandil
2005-04-13, 16:13:02
Hiho,
ich bin mal wieder auf einen mathematischen Term gestoßen, den ich nicht mit meiner MatheLK-Mathematik lösen kann:

Summe für i = 1 bis i = unendlich von: (0.9)^(i-1)*i
(also eigentlich dieses Summen-E, ne? *g*)

Ich kann das nun zwar mit einem Algebraprogramm ausrechnen lassen (kommt 100 raus), aber ich weiß a) nicht wieso und b) nicht, in welcher Literatur ich soetwas finden könnte!

Habt ihr da einen Tipp?

- Eth

DOOM
2005-04-13, 16:45:51
Also erstmal mit Quotientenkritermium überprüfen ob Reihe konvergiert!

Bedingung Abs[a(n+1)/a(n)] < 1
Also: 0,9 ^ (i)*(i+1) / 0,9 ^ (i-1)i
--> 0,9 ^(i*i + 1) / 0,9 ^(i*i -1)
--> 0,9 ^2
---> 0,81
Also Reihe konvergiert... grenzwert muss existieren... wie es weitergeht muss ich mal überlegen ... mom :)

DOOM
2005-04-13, 17:24:10
Summe für i = 1 bis i = unendlich von: (0.9)^(i-1)*i

also meinste [(0,9)^(i-1)]*i
oder (0.9)^[(i-1)*i]
? bin ein bissl verwirrt

DOOM
2005-04-13, 17:34:47
Also hab mich vertan denk ich ... Bei [(0,9)^(i-1)]*i sieht das Quotientenkriterium
so aus:
Bedingung: {Abs[a(n+1)/a(n)]} < 1
gemeint ist jetzt immer der Betrag

0,9^i * (i+1)
-------------
0,9^(i-1) * i

o,9^(1) * (1+ 1/i) = 0,9 also auch erfüllt

ethrandil
2005-04-13, 17:57:43
Also hab mich vertan denk ich ... Bei [(0,9)^(i-1)]*i sieht das Quotientenkriterium
so aus:
Bedingung: {Abs[a(n+1)/a(n)]} < 1
gemeint ist jetzt immer der Betrag

0,9^i * (i+1)
-------------
0,9^(i-1) * i

o,9^(1) * (1+ 1/i) = 0,9 also auch erfüllt
Ja, genau. Ich kenne mich zwar auch mit dem genannten Kriterium nicht aus, aber wie ich den Grenzwert nun "per Hand" bestimmtn kann weiß ich immernoch nicht.
Meinst du, dass du das noch hinbekommst?
Hast du einen Literaturhinweis?

- Eth

DOOM
2005-04-13, 18:02:55
kp also vielleicht geht es über die Ableitungen !?

sagt man x = 0,9 lautet das
1. Element der Reihe: '(x)
2. E. : '(x^2)
etc...

Also kann man auch schreiben SUMME i=1 bis i=unendlich von
'[x^(i-1)]

vllt kommt man so weiter... kann aber auch voll auf dem holzweg liegen...
ich versuchs mal weiter...

ähm als Buch habe ich den PAPULA (VIEWEGS Verlag)
isbn - 3-528-74442-1


Ne sry ich komme so schnell nicht drauf. Ich bin enttäuscht von mir :(
Aber wenn du Fragen zum Quotientenkriterium hast, nur zu...

Plutos
2005-04-13, 19:48:51
Ja, genau. Ich kenne mich zwar auch mit dem genannten Kriterium nicht aus, aber wie ich den Grenzwert nun "per Hand" bestimmtn kann weiß ich immernoch nicht.
Meinst du, dass du das noch hinbekommst?
Hast du einen Literaturhinweis?

- Eth


Als Literatur empfehlenswert wären:
a) der Königsberger, Analysis 1/2
b) der Meyberg/Vachenauer, ich weiß grad nicht wie der heißt, ich glaub, auch Analysis
c) den Forster gibts auch noch, ist aber nicht so mein Fall

Das war die Literatur, die mir an der Uni über die Höhere-Mathe-Vorlesungen geholfen hat/immer noch hilft.

Edit:
d) stimmt, der Papula ist auch zu gebrauchen.

Noch ein Edit:
e) bitte, tu mir den Gefallen, Hände weg von Wikipedia (zumindest, was höhere Mathematik betrifft, z.B. Definitionen)

DOOM
2005-04-13, 20:03:53
Weiß denn keiner ne Lösung?

ethrandil
2005-04-13, 21:51:16
Also, ich schaffe es mir anschaulich folgenden Satz herzuleiten:

[Summe über i=0..unendlich von (a^(i-1))] = 1/(1-a)
Falls 0 < a < 1. Der steht so sogar in meiner Formelsammlung.

Zusätzlich habe ich herausgefunden, dass gilt:

[Summe über i=0..unendlich von ((a^(i-1))*i)] = 1/(a²-2a+1)

Aber nun fragt mich nicht wieso das so ist... das weiß ich nicht!

- Eth

patrese993
2005-04-14, 00:40:29
würde statt Papula eher Bronstein/Semendajew Taschenbuch der Mathematik empfehlen. Um den Konvergenzwert auszurechnen bin ich jetzt grad zu müde, sorry

Bis
2005-04-14, 02:18:00
S[i=1, inf] (i * x^(i-1)) = 1 + 2*x + 3*x^2 + 4*x^3 + ..
Vermutung -> Taylor (siehe bel. Formelsammlung), gezielt umformen:
S[i=1, inf] (i * x^(i-1)) = S[i=0, inf] ((i+1) * x^i) = S[i=0, inf] ((i+1)! / i! * (-1)^i / (-1)^(2+i) * x^i)
wobei f^(i)(-1) = (i+1)! * (-1)^i / (-1)^(2+i) die i-te Ableitung der Fkt f(x) = 1/x^2 an der Stelle x = -1 ist, also:
= S[i=0, inf] (f^(i)(-1) / i! * x^i)
nach Taylor nun:
= 1/(x-1)^2
mit x = 0,9:
S = 1/(0,9-1)^2 = 100

Bis
2005-04-14, 02:29:16
Also, ich schaffe es mir anschaulich folgenden Satz herzuleiten:

[Summe über i=0..unendlich von (a^(i-1))] = 1/(1-a)
Falls 0 < a < 1. Der steht so sogar in meiner Formelsammlung.

Da hat einer die geometrische Reihe entdeckt. ;)

Trotzdem mal 'ne Korrektur:
S[i=1, inf] q^(i-1) = 1/(1-q) für |q| < 1