Mathefrage 12. Klasse (Maximaler Flächeninhalt)

[kazwei]

Hallo, ich hab ein kleines Prob weil ich partout nicht auf die lösung komme ;)

Gesucht ist der Maximale Flächeninhalt auf folgendem beispiel...

es geht irgendwie mit dem aufstellen einer funktion und den nullstellen der ableitung

http://img178.echo.cx/img178/5403/flche4dn.jpg

mfg
kazwei

[Gast]

ich versteh die zeichnung nich, wenn die seitenlängen fest sind dann ist auch die fläche fest, normalerweise bekommt man bei der aufgabe festen umfang und soll die seitenlängen für max fläche ausrechnen?

[Undertaker]

die aufgabe hatten wir auch mal... mom, ich schau mal kurz nach

[kazwei]

der punkt auf der hypotenuse des dreiecks ist natürlich variabel ;) also das rote rechteck kann bei 3-0,20 den punkt haben aber auch bei 3 ^^ . fest sind lediglich die schwarzen striche... also das dreieck und das große rechteck.. die längen 3 und 2 beziehen sich auf das große rechteck

[Undertaker]

also finden tu ich sie nicht mehr.. mal schauen ob's auch so geht...

also A=a*b (a sei die 3m seite, b die mit 2m)

jetzt brauchen wir phythagoras: a²+b²=c²

0,2² * 0,15² = 0,25 = länge der schräge

gleich gehts weiter...

[Undertaker]

damit können wir jetzt die gleichung von anfang bearbeiten:

a = wurzel (c² - b²)

a = wurzel (0,25² - b²)

A = wurzel (0,25² - b²) * b

ableiten und maximum suchen ;)

[Undertaker]

noch was: mit "b" bekommst du dann einen wert zwischen 0 und 0,2; also den der 2m seite

[kazwei]

hm ich weiß nicht genau wie du das meinst gesucht ist doch der maximale flächeninhalt des roten rechtsecks. der punkt an der schräge kann ja zwischen dem intervall 3 und 2,8 auf der schräge wandern....

da muss man doch irgendwas ausrechnen wie

A(x)= 3 +-irgendwas * 2+-irgendwas

oder lieg ich da vollkommen falsch ? :)

[Undertaker]

habs gerade mal überprüft, es klappt, aber den zahlenwert bekommst du ja jetzt sekber raus :)

[kazwei]

sry aber ich verstehe es so nicht. mir wird nicht klar was du mit b meinst ;)

[Undertaker]

du weist jetzt, dass der eckpunkt deines dreieckes auf der "x-achse" bei 0,1767 liegt

jetzt berechnest du noch den zugehörigen wert auf der y-achse (= dei 2m seite) und kannst damit den flächeninhalt bestimmen

[Undertaker]

sry aber ich verstehe es so nicht. mir wird nicht klar was du mit b meinst ;)

warte ich mach dir noch mal kurz ne skizze (ist nicht ganz einfach zu erklären ;) )

[Undertaker]

ist dir erst einmal klar wie ich auf die 0,176 gekommen bin?

[kazwei]

ich habe nocheinmal die zeichnung verbessert hab das gefühl dass wir beide was anderes meinen.. JEDE dieser angaben ist fest und nicht variabel lediglich der punkt auf der hypotenuse variiert...wenn nich dann schreib bitte die noch nicht abgeleitete gleichung des flächeninhalts in abhängigkeit von x auf bzw. wie du auf die 0,176 gekommen bist ;) thx für die mühe

[Undertaker]

wir meinen schon das gleiche... aber meine rechnung ist noch nicht fertig: ich habe erst einmal bestimmt das der eckpunkt des rechteckes auf der unteren seite bei 0,0176 liegen muss - jetzt bestimmt man noch den wert auf der senkrechten achse und kann dann den flächeninhalt berechnen

[Undertaker]

für den senkrechten wert habe ich jetzt bestimmt: 0,0175

damit ist A = (2-0,0175) * (3-0,1767) = 5,6 hmm... ich hab wohl etwas gerundet, der wert muss theoretisch etwas über 5,6 liegen... aber der rechenweg ist richtig... mom

edit: ich hab mich irgendwo vertan... fuck :mad:

gib mir mal noch paar minuten...

[Undertaker]

jetzt hab ichs - vergiss meine rechnung oben ;)

A = (3-x) * (2-y)

y = -0,75x + 0,15 (ist die schräge)

A= (3-x) * (2+0,75x-0,15)

und davon jetzt das maximum

[kazwei]

wenn ich es ableite kommt ein extremwert für x = 4/15 raus. was aber größer als 0,2 ist :) kontrollierst nommal? :) und wie kommste auf die geradengleichung von der schräge sry.. eigentlich stelle ichkeine so dummen fragen aber ich blick das grad gar nich

[Undertaker]

in dem fall scheint also das gelbe rechteck am größten zu sein...

vielleicht kann das hier nochmal jemand anderes überprüfen...

[Undertaker]

wenn ich es ableite kommt ein extremwert für x = 4/15 raus. was aber größer als 0,2 ist :) kontrollierst nommal? :) und wie kommste auf die geradengleichung von der schräge sry.. eigentlich stelle ichkeine so dummen fragen aber ich blick das grad gar nich

zum 1.

du musst natürlich das maximum im intervall von 0 bis 0,2 suchen

2. anstieg ist 0,2/0,15, schnittpunkt mit der y-achse ist 0,15, und der anstieg ist negativ

[kazwei]

OK

f(x)=3/4 x² + 2/5 x + 111/20
f'(x)=6/4 x + 2/5

wie kann ich dann das x in diesem intervall berechnen?

[Undertaker]

da die funktion quadratisch ist, hat sie nur ein maximum - das liegt außerhalb des intervalls, deshalb ist der größte wert automatisch der randwert - aber ich berechne das mit dem GTR

[kazwei]

das hauptprob is ja dass es kein maximum ist sondern ein minimum

denn

f''(x) = 6/4 -> f''>0 -> Minimum

Boah.. und was ist GTR ;)

gibts da keinen normalen rechnenansatz der bei jeder aufgabe dieser art geht ? Thx

[Undertaker]

die funktion heist f = (3-x)*(0,75x+1,85)
f'= 2,25x - 0,75x² + 5,5 - 1,85x = -0,75x² + 0,4x + 5,5

-> doch ein maximum ;)

und gtr = grafiktaschenrechner, habt ihr sowas nicht?

und zum 3.: ne einfachere möglichkeit gibt es da imho nicht :(

[kazwei]

ne :) grafiktaschenrechner sind hier nicht erlaubt (bay) weiß nich wo du bist :)

aber mein rechner kann auch extrema ausrechnen usw ( FX 115 von casio) ... ok danke... das müsste dann so stimmen ;)

[Undertaker]

ein gtr ist schon ne dufte sache.. 32kb für spicker im abi bzw. klausuren ;), kann dir funktionen etc. grafisch darstellen, extrema, ableitungen, integrationen usw. berechnen :)

ich denke auch das es jetzt richtig sein müsste, mich wundert bloß das es kein wert in der mitte ist....

mfg undertaker

p.s. bin aus sachsen, 12. klasse, 3 wochen vorm abi :eek:

[kazwei]

hey... aber mich wunders auch und ich glaube nicht dass es wirklich 100% stimmt ;)

ich hätte nochwas wenn du bock hast (und vllt auch übung brauchst *g* )

diese check ich nämlich ebenfalls nicht obwohl das system eigentlich gleich ist

http://img77.echo.cx/img77/5169/234452hk.jpg

aufgabenstellung ist gleich.. maximaler flächeninhalt vom roten rechteck

[Undertaker]

nun - rechnerisch ist hier nicht viel anders:

als erstes würde ich mir das bild in die gleiche position wie in der aufgabe oben drehen, und dann kannst du ja mal die gleichung aufstellen und den extremwert berechen...

mal schauen was rauskommt, ich rechne es auch mal (ja, übung kann ich brauchen)

[Undertaker]

ja, hier klappts! ich komme auf x=1 (x von 0 bis 4 möglich)

edit: hatte mich vertippt

[mofhou]

hey... aber mich wunders auch und ich glaube nicht dass es wirklich 100% stimmt ;)

ich hätte nochwas wenn du bock hast (und vllt auch übung brauchst *g* )

diese check ich nämlich ebenfalls nicht obwohl das system eigentlich gleich ist

http://img77.echo.cx/img77/5169/234452hk.jpg

aufgabenstellung ist gleich.. maximaler flächeninhalt vom roten rechteck
Ich weiß ja nicht, was du für ein Problem hast, aber du brauchst nur die Werte in die Rechung oben eintragen.
also:
f(x)=(10-x)*(6-(-4/2+18))

[kazwei]

also ich weiß nich wie du auf diese funktion für f(x) kommst

habe es aber so gerechnet

f(x)= (10-x)*(6+0,5x-2)=

= -0,5x²+x+40

f'(x) = -1x+1

f'(x) = 0 ; -1x=-1 , x=1

Maximaler Flächeninhalt: 9*4.5=40.5

denke das dies stimmt bitte korrigieren wenn nicht

[Undertaker]

jep, so müsste es stimmen...

wann schreibst du eigentlich dein abi?

[kazwei]

Anfang Juni, die genauen termine weiß ich wirklich nicht *g*

[Undertaker]

na dann viel erfolg ;)

tschü

[mofhou]

Oh, sorry war ein Flüchtigkeitsfehler von mir, das ganze ist ja gedreht :D.
Naja, mein neuer Lösungsansatz wäre f(x)=x*(-0,5x²+9) Damit komme ich auch auf x=9 also a=1
Könntet ihr mal euren Lösungsansatz erklären? Wo habt ihr euer Koordinatensystem angesetzt?

[Banshee18]

p.s. bin aus sachsen, 12. klasse, 3 wochen vorm abi :eek:
12. Klasse und Abi? Sachen gibts...
Freu dich nicht zu früh von wegen GTR und Spicken. Du musst den kompletten Speicher vorher löschen, was auch kontrolliert wird.

[kazwei]

1.) wahrscheinlich G8 ;)
2.) wo stand hier was von spicken mit dem GTR... er ist im vergleich zum normalen casio rechner wohl doch eine extreme erleichterung da man sich einiges erspart (polynomdivision, wertetabellen und des gleichen)

[Banshee18]

ein gtr ist schon ne dufte sache.. 32kb für spicker im abi bzw. klausuren ;)

2) Hier.^^

[kazwei]

ok habs ned mal gelesen.. ja das bringt nix.. ich würde das nicht riskieren .. wenn mitten in der prüfung doch mal das ding kontrolliert wird

[pancho]

problem gelöst?

[Gast]

was macht ihr für ein stress? so wie ich das seh ist der flächeninhalt von einem quadrat größer als von einem rechteck(vergleichbare kantenlängen). also braucht man doch nur kombinieren: wenn das rechteck sich einem quadrat annähert bis es ihm nicht mehr ähnlicher sehen kann ohne an flächeninhalt einzubüsen, dann ist der flächeninhalt in abhängigkeit der aufgabenstellung am größten. ergo das gelbe rechteck. vorrausgesetz, die skizzen sind maßstabsgerecht.

[pancho]

1. sehe ich kein gelbes rechteck,
edit: jetz hab ichs auch gesehen. trotzdem ist das keine richtige lösung, weil der umfang nicht gleich bleibt!

2. ist das ein analytisches problem. stichwort extremwertaufgabe. man soll nicht eines der vorgegebenen rechtecke auswählen, sondern die exakte lösung angeben.
http://img97.echo.cx/img97/6669/image18ol.th.jpg (http://img97.echo.cx/my.php?image=image18ol.jpg)
ich führe ein kosy wie eingezeichnet ein. alternativ kann man den ganzen kram auch um 180° drehen und ein altbekanntes kosy wählen.

die geradengleichung der abgeschrägten strecke ergibt sich dann zu

y=-0,75*x + 4,1

edit: m=delta y / delta x = -0,15/0,2 = -0,75

in y = mx + t einen bekannten punkt einsetzen und dann nach t
auflösen.

nachdem eine ecke des rechtecks immer auf der geraden liegt und die diagonale ecke im nullpunkt, ist der flächeninhalt

A= x*y = -0,75*x² + 4,1*x

dA/dx = -1,5*x + 4,1 := 0 => x = 2/3*4,1 = ca 2,7333

man braucht nicht auszurechnen, ob max oder min, da der graph von A eine nach unten geöffnete parabel ist. => max

zufälligerweise liegt dieser punkt nicht innerhalb von [2,8;3], folglich muss es ein randextremum sein. => x=2,8, da A(x) monoton fallend in [2,8;3]

ich hoff, ich hab mich jezt nirgends verhauen. falls doch, lasst es mich wissen.

[Undertaker]

12. Klasse und Abi? Sachen gibts...
Freu dich nicht zu früh von wegen GTR und Spicken. Du musst den kompletten Speicher vorher löschen, was auch kontrolliert wird.

nein ;)

wir dürfen sogar 2 gtr benutzen (falls 32kb nicht reichen) und die lehrer haben ausdrücklich gesagt, das im gtr alles stehen darf (und von meinem bruder, der letztes jahr sein abi geschrieben hat, wurde mir das bestätigt)

außerdem kann man programme mit einem passwort versehen :D

es gibt allerdings auch nachteile:

- man kann nicht alles in der gtr schreiben, ist einfach zuviel
- unsere aufgaben sind schwerer, dh wir haben funktion mit variablen und produkten wie zb. f=(e^x²)*wurzel(x), da hilft auch kein gtr mehr (da ohne computeralgebrasystem)
- tafelwerk wird natürlich kontrolliert...
- der rechenweg wird bewertet, nicht das ergebnis

[Undertaker]

1. sehe ich kein gelbes rechteck,
edit: jetz hab ichs auch gesehen. trotzdem ist das keine richtige lösung, weil der umfang nicht gleich bleibt!

2. ist das ein analytisches problem. stichwort extremwertaufgabe. man soll nicht eines der vorgegebenen rechtecke auswählen, sondern die exakte lösung angeben.

1. mit dem umfang hat das nix zutun...

2. das gelbe rechteck war nicht vorgegeben, das habe ich berechnet und dann eingezeichnet

[Henry]

1. sehe ich kein gelbes rechteck,
edit: jetz hab ichs auch gesehen. trotzdem ist das keine richtige lösung, weil der umfang nicht gleich bleibt!

zufälligerweise liegt dieser punkt nicht innerhalb von [2,8;3], folglich muss es ein randextremum sein. => x=2,8, da A(x) monoton fallend in [2,8;3]

ich hoff, ich hab mich jezt nirgends verhauen. falls doch, lasst es mich wissen.

wenn ich die werte richtig lese müsste der punkt bei [2,8;2] sein :|
und welch ein zufall du bist auf die selbe lösung gekommen :D

wenn man meine "logischen" schlussfolgerungen nachvollzieht, dann kann man doch die exakte lösung angeben. also wo ist das problem :|

[Henry]

1. mit dem umfang hat das nix zutun...


nee der umfang ist schon wichtig, weil die regel rechteck-quadrat nur bei gleichem umfang gilt, aber in dem beispiel reicht die zunahme des umfangs nicht aus um die "abweichung von der perfektion" zu kompensieren.

um die zu kompensieren, müsste der anstieg der geraden noch flacher sein.

[pancho]

eine richtige lösung ist das aber nicht, wenn man einfach annimmt, dass sich der umfang irgendwie verhält, wie es einem gerade passt. dafür gibts trotz (eventuell) richtiger lösung 0 punkte, da zufall. das fach heißt mathe und nicht indiewahrsagerkugelblicken. der lösungsweg ist das entscheidende.

[Frank]

es gibt allerdings auch nachteile:

- man kann nicht alles in der gtr schreiben, ist einfach zuviel
- unsere aufgaben sind schwerer, dh wir haben funktion mit variablen und produkten wie zb. f=(e^x²)*wurzel(x), da hilft auch kein gtr mehr (da ohne computeralgebrasystem)
- tafelwerk wird natürlich kontrolliert...
- der rechenweg wird bewertet, nicht das ergebnis
Es gibt meines Erachtens ausschliesslich Nachteile, wobei Du gerade die falschen genannt hast: Funktionen mit zusätzlich veränderbaren Variablen waren gerade in Leistungskursen auch schon vor dem Grafikfähigen Taschenrechner Usus und der Rechenweg stellt so oder so die Grundlage der Bewertung dar. Es ist absolut "mathetypisch" das der Weg das Ziel ist - nicht das stupide ausrechnen.

Der Sinn eines solchen Rechner erschiesst sich mir weiterhin überhaupt nicht, wenn man den Schüler erstens das Denken abnimmt, wie denn eine Funktion nun aussehen kann und zweitens wichtige Fertigkeiten beim Umgang mit Termen, Rechnungen ... bla dann fehlen.

[Sliver21]

aber mein rechner kann auch extrema ausrechnen usw ( FX 115 von casio)

Wie denn? Wie bestimmst du damit Extremwerte?

[Henry]

ok einen denkfehler meinerseits.

Denkpause beendet:D
Ergebnis:

die uns bekannte Regel "der Flächeninhalt eines Quadrates ist immer größer als der eines Rechtecks gleichen Umfangs" gilt ja nur, wenn die Gerade einen Anstieg =-1 hat.

Man kann allerdings folgende Aussage treffen:

Wenn der Anstieg >-1|<0 ist, dann ist die X-Koordinate des gesuchten Punktes > X von dem Punkt der ein Quadrat bildet.
Wenn der Anstieg <-1 ist, dann ist die X-Koordinate des gesuchten Punktes < X von dem Punkt der ein Quadrat bildet.

Der Punkt der ein Quadrat bildet ist schnell gefunden:

X=-t/(m-1) in unserem Fall x rund 2,343
also X des gesuchten punktes ist >2,343
bringt uns hier nix;D;D;D

aber das bringt mich auf eine andere Idee:
bei Differentialgleichungen bzw. lösen von Polynomdivisionen gibt es die Methode des "scharfen Hinsehens":D
die könnte man hier auch anwendenX-D

[Gast]

Es gibt meines Erachtens ausschliesslich Nachteile, wobei Du gerade die falschen genannt hast: Funktionen mit zusätzlich veränderbaren Variablen waren gerade in Leistungskursen auch schon vor dem Grafikfähigen Taschenrechner Usus und der Rechenweg stellt so oder so die Grundlage der Bewertung dar. Es ist absolut "mathetypisch" das der Weg das Ziel ist - nicht das stupide ausrechnen.

Der Sinn eines solchen Rechner erschiesst sich mir weiterhin überhaupt nicht, wenn man den Schüler erstens das Denken abnimmt, wie denn eine Funktion nun aussehen kann und zweitens wichtige Fertigkeiten beim Umgang mit Termen, Rechnungen ... bla dann fehlen.

da wir solche aufgaben auch per hand rechnen, nimmt man uns nicht das denken ab... es hilft nur, das man sein ergebnis mit dem gtr kontrollieren kann bzw. sich grafisch verdeutlichen

[Sliver21]

Das ist aber genau das, was Frank meinte,[denke ich]. Man kann sich auch ohne GTR vorstellen, wie eine Funktion wohl aussieht, indem man sein Wissen darüber anwendet.

[kazwei]

silver.. mit dem FX115 bzw. dem 991er CASIO TR kann man im EQN Menüpunkt Gleichungssysteme und die nullstellen von funktionen 2 und 3 grades ausrechnen -> ( extrema bei der ableitung) ... die funktionen d/dx und S( sind fürs differenzieren und integrieren

[Sliver21]

Dass man mit diesem Taschenrechner Nullstellen, Steigungen und Integrale berechnen kann, ist mir klar. Ich dachte, du meintest, dass man nur eine Funktion eingibt und der Taschenrechner dann davon die Extrempunkte ausrechnet, ohne dass man selbst eine Ableitung eingibt. Meintest du das genau so? Oder meintest du mit dem 'Extrempunkte berechnen' eher Nullstellen der Ableitung zu berechnen, die man vorher selbst bestimmt?

[Krisz]

wir dürfen sogar 2 gtr benutzen (falls 32kb nicht reichen) und die lehrer haben ausdrücklich gesagt, das im gtr alles stehen darf (und von meinem bruder, der letztes jahr sein abi geschrieben hat, wurde mir das bestätigt)

außerdem kann man programme mit einem passwort versehen :D

es gibt allerdings auch nachteile:

- man kann nicht alles in der gtr schreiben, ist einfach zuviel
- unsere aufgaben sind schwerer, dh wir haben funktion mit variablen und produkten wie zb. f=(e^x²)*wurzel(x), da hilft auch kein gtr mehr (da ohne computeralgebrasystem)
- tafelwerk wird natürlich kontrolliert...
- der rechenweg wird bewertet, nicht das ergebnis

Also...

64kB sind AFAIK ca. 60 DINA4-Seiten...wenn Dir das nicht reicht, hast Du ein riesen Problem...schätze mal, dass ich im Mathe-LK Abi ohne Formelsammlung auskommen würde, aber 64 Seiten könnte ich in 4 Stunden kaum lesen, geschweige denn sinnvoll nutzen.