Eine nette Matheaufgabe... Eure Meinung dazu wäre nett!

[Pompos]

Ich würde mal gern eure Meinung zu der folgenden Mahtematikaufgabe hören. Sie ist zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.


Ein Juwelierladen ist durch eine Alarmanlage gesichert, die im Fall eines Einbruchs mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% Alarm gibt. Jedoch muss mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% mit einem Fehlalarm gerechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit für einen Einbruch liegt pro Nacht bei 1:1000. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Fall eines Alarms tatsächlich ein Einbruch begangen wurde?

P.S. Werde später auch den genauen Lösungeweg meines Lehrers posten, bzw. über PM versenden.

[AlexM]

ich würde sagen eien Wahrscheinlichkeit von 0,199 Prozent. Wenn jedoch nur die Frage nach einem Alarm steht dann 99% (wie in der Aufgabe) ;D ;D

[Plutos]

Ich würde sagen, 98,01% (also 98%). Und die Angabe für die Einbruchswahrscheinlichkeit von 1:1000 ist hier absolut irrelevant.

[Gast]

90,83%

[Goldmund]

Ich würde 99% sagen da 1% aller Alarme Fehlalarme sind.
Das ist keine Matheaufgabe sondern eine Aufgabe für Textintepretation

[Gast]

Das ist keine Matheaufgabe sondern eine Aufgabe für das Textvertändnis

und du bist durchgefallen :D

scnr ;)

[Goldmund]

und du bist durchgefallen :D

scnr ;)
Nö der Lehrer weil die Fragestellung falsch ist.
1% aller Alarme= Falscharlame
Fragestellung:Wenn Alarm -->richtig oder Falsch ?

[Bayes]

http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Bayes

P(Einbruch|Alarm) = P(Alarm|Einbruch) * P(Einbruch) / P(Alarm)
= P(Alarm|Einbruch) * P(Einbruch) / (P(Alarm|kein Einbruch) * P(kein Einbruch) + P(Alarm|Einbruch) * P(Einbruch))
= 0.99 * 0.001 / (0.01 * 0.999 + 0.99 * 0.001)
= 0.090164

[kazwei]

also ich glaube dies kann man einfacher sehen.

das ganze kann man als zufallsexperiment betrachten welches aus 2 ereignissen besteht. wobei die aufgabenstellung nicht eindeutig ist

1.) Einbruch - ja - nein?
2.) Fehlalarm - ja - nein?

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis (Einbruch und Fehlalarm) kann man berechnen in dem man die Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert

in diesem fall

P(Einbruch)*P(Fehlalarm) = 0,001*0,01=0,00001

dürfte so stimmen ;)

edit: es sollte doch Fehlalarm+Einbruch heißen, an der rechnung ändert sich nichts, da produktregel gilt

[Xmas]

Nö der Lehrer weil die Fragestellung falsch ist.
1% aller Alarme= Falscharlame
Das steht da aber nicht.

Die 9,02% sind natürlich richtig.

[Pompos]

Nö der Lehrer weil die Fragestellung falsch ist.
1% aller Alarme= Falscharlame
Fragestellung:Wenn Alarm -->richtig oder Falsch ?
So habe ich es auch gesehen. Dumme war nur, dass es in der Klausur war und ich mit der Aufgabe meine Klausur ziemlich runtergezogen habe. Sonst fast alles richtig, halt nur nicht diese Aufgabe :(

Jetzt versuch ich den Lehrer davon zu überzeugen, dass diese Aufgabe gestrichen werden sollte, da es halt etwas unverständlich ist.

P.S. 9,016% ist laut Lehrer richtig.

[sei laut]

So habe ich es auch gesehen. Dumme war nur, dass es in der Klausur war und ich mit der Aufgabe meine Klausur ziemlich runtergezogen habe. Sonst fast alles richtig, halt nur nicht diese Aufgabe :(

Jetzt versuch ich den Lehrer davon zu überzeugen, dass diese Aufgabe gestrichen werden sollte, da es halt etwas unverständlich ist.

P.S. 9,016% ist laut Lehrer richtig.

Hattet ihr einen ähnlichen Fall im Unterricht behandelt?

Wenn nicht, frag ich mich, wieviele diese Aufgabe richtig gelöst haben, ich hätte auch auf Goldmunds Antwort gesetzt.

Gruß
seiLaut

[Plutos]

Jetzt wäre ich aber wirklich dafür, dass mich jemand aufklärt, ob und wenn ja wozu man die Einbruchswahrscheinlichkeit von 1:1000 braucht.
Ich sag ja nach wie vor, zu 99% gibts Alarm, davon sind 1% Fehlalarme, also bleiben 99% von 99% übrig ;-)

[Dr.Doom]

Jetzt wäre ich aber wirklich dafür, dass mich jemand aufklärt, ob und wenn ja wozu man die Einbruchswahrscheinlichkeit von 1:1000 braucht.
Ich sag ja nach wie vor, zu 99% gibts Alarm, davon sind 1% Fehlalarme, also bleiben 99% von 99% übrig ;-)
Ein Fehlalarm tritt nicht nur dann auf, wenn die Alarmanlage funktionieren müsste, es aber nicht tut, sondern auch dann, wenn sie stille sein soll, aber dennoch tönt.
Es ist also auch ein Fehlalarm, wenn die Alarmanlage anspringt, aber es überhaupt niemanden gibt, der einbricht. ;)

Du betrachtest nur den Fall dafür, dass es einen Einbruch gibt, aber die Alarmanlage eine Fehlfunktion hat.

Kann mich aber auch irren - schon sehr müde ich bin.

[Dar1gaaz]

also das lässt sich recht bequem durch ein Baumdiagramm lösen.

Dazu schreibst du einfach bei alarmanlage funktioniert:

Einbruch kein Einbruch
0,001 0,999
/ \ / \
Alarm Fehlalarm Alarm Fehlalarm
0,99 0,01 0,99 0,01



So muss das aussehen, glaube ich und jetzt ist die frage ja so "umgedreht" deswegen musst du den "Baum" umdrehen, also die 4 Äste multiplizieren und an die beiden neuen Äste schreiben für: Alarm - Fehlalarm und dann als zweites Einbruch oder kein Einbruch.

So stimmt das doch oder? Hatte das vor einem Jahr in Mathe GK und hab nun alle 3 schreiftl. Abifächer hinter mir (hoffentlich keine mündl. Nachprüfung =/ ) und 4. kommt noch, dann hab ichs geschafft :DDDDD


edit: shit der versaut das irgendwie in der darstellung

[Gast]

Für mich ist die Aufgabenstellung eindeutig. Ich bin aber zugegebenermaßen auch schon so darauf konditioniert, daß ich bereits beim Lesen des ersten Satzes weiß worum es geht. Diese Bayes Aufgaben sind ja alle nach dem gleichen Muster aufgebaut...

[sei laut]

Ein Fehlalarm tritt nicht nur dann auf, wenn die Alarmanlage funktionieren müsste, es aber nicht tut, sondern auch dann, wenn sie stille sein soll, aber dennoch tönt.
Es ist also auch ein Fehlalarm, wenn die Alarmanlage anspringt, aber es überhaupt niemanden gibt, der einbricht. ;)

Du betrachtest nur den Fall dafür, dass es einen Einbruch gibt, aber die Alarmanlage eine Fehlfunktion hat.

Kann mich aber auch irren - schon sehr müde ich bin.


Ja, aber ich hab keine Angabe, wie oft die Alarmanlage angeht, obwohl kein Einbruch stattfindet. Ich weiß nur, dass bei 1000 Nächten 1 Einbruch stattfindet. (Ob in den anderen 999 Nächten das Teil anspringt und tönt, weiß ich nicht. Was ich nicht weiß, kann ich auch nicht berechnen).

Daher bin ich auch immer noch für die 99 %, wir hatten nie irgend eine Bayus Regel behandelt, daher kann ich die andere Lösung nicht nachvollziehen.

Gruß
seiLaut

[crusader4]

Das Stichwort heißt bedingte Wahrscheinlichkeit. Zur Lösung von Aufgaben mit bedingter Wahrscheinlichkeit ist die schon zitierte Regel von Bayes geeignet.

Ja, aber ich hab keine Angabe, wie oft die Alarmanlage angeht, obwohl kein Einbruch stattfindet. Ich weiß nur, dass bei 1000 Nächten 1 Einbruch stattfindet. (Ob in den anderen 999 Nächten das Teil anspringt und tönt, weiß ich nicht. Was ich nicht weiß, kann ich auch nicht berechnen).

Daher bin ich auch immer noch für die 99 %, wir hatten nie irgend eine Bayus Regel behandelt, daher kann ich die andere Lösung nicht nachvollziehen.Man berechnet immer etwas, was man nicht weiß. Sonst wären Berechnungen doch reichlich witzlos, oder? :biggrin:

Welche Klasse bist du? Im Gymnasium Leistungskurs hat man das in der Sek II, wenn ich mich recht erinnere (ist doch schon ein paar Jahre her).

Grüße, Crusader

[tombman]

Ich erklär das mal für die Masse verständlich ;)

1.) Wie oft läutet das Ding pro Nacht überhaupt, egal ob falsch oder nicht?
2.) Wie oft läutet sie RICHTIG?
3.) Richtiges Läuten durch gesamtes Läuten = Wahrscheinlichkeit von richtigem Läuten :)

ad 2.) richtiges Läuten:

0.001 * 0.99 = 0,00099 (= Wahrscheinlichkeit für RICHTIGES Läuten, da Einbruch UND Läuten erfolgte)

ad 1.) Gesamtläuten = richtiges Läuten + falsches Läuten

richtiges Läuten wiss ma ja schon von oben, nämlich 0.00099, falsches Läuten wäre dann: 0,999 * 0,01 = 0.00999 (= Wahrscheinlichkeit für falsches Läuten, da kein Einbruch erfolgte aber trotzdem geläutet wurde)

richtig + falsch = 0.00099 + 0.00999 = 0.01098 ( = Wahrscheinlichkeit für gesamtes Läuten)

ad 3.) ---> richtig/gesamt = Wahrscheinlichkeit wie gut die Alarmanlage wirklich ist =

0.00099/0.01098 = 0.0916.... Das heißt, nur in ca 9% der Fälle bimmelt sie richtig :cool:

p.s.: und ich hatte keine Ahnung vom Satz von Bayes, der wurde zu meiner Zeit noch ned unterrichtet in meiner Schule. Es geht eigentlich bei Wahrscheinlichkeit immer nur um 2 Sachen: erwünschte und unerwünschte Ereignisse.

[Vicious]

Der Grund für die häufig falsche Interpretation der Aufgabe liegt vielleicht in der Annahme, man müsse die stochastische Fehlerbetrachtung erst dann ansetzen, wenn tatsächlich ein Einbruch begangen wurde. Dies würde die 1/1000 relativieren. Die 1% Fehlalarme gelten allerdings jede Nacht, da ihre Bedingung "Kein Einbruch" lautet. Es muss mit den Wahrscheinlichkeiten gerechnet werden, dass es in einer Nacht klingelt.

Die richtige Lösung wurde ja schon mehrfach vorgestellt. Man kann es auch mit geringem Aufwand und ohne große Formeln in einem Baumdiagramm darstellen, wie Dar1gaaz schon gezeigt hat.


"Ob in den anderen 999 Nächten das Teil anspringt und tönt, weiß ich nicht. Was ich nicht weiß, kann ich auch nicht berechnen)."

Das ist ein Irrtum. In den 999 Nächten springt die Anlage mit 1%iger Wahrscheinlichkeit an. Und das ist das hüpfende Komma, der springende Punkt...

Diese Tatsache treibt die Fehlerwahrscheinlichkeit der Anlage, was das Läuten betrifft, in die Höhe. Es läutet in 999 Nächten rund 9,9 Mal und in der einen Nacht, wo tatsächlich einer den dekadenten Luxus klauen will, klingelt es 0,99 Mal. Es läutet also rund 11 Mal in 1000 Tagen und nur ein einziges Mal, ist jemand in die Bude eingestiegen. 1/11 ~ 0,091 = 9,1 %

[tombman]

ein bischen ungenau Vicious, denn niemand hat gesagt, daß nur der Zeitraum von 1000 Tagen zu gelten hat. Wahrscheinlichkeit von 1/1000 hat NIX mit 1000 Tagen zu tun.
Deswegen ist deine Rechnung ein bischen ungenau- sie wird immer genauer je näher du dich der Unendlichkeit näherst.

Ich denke, daß größe Problem ist hier, daß die Leute sich auf den Einbruch konzentrieren und da irgendwelche Wahrscheinlichkeiten ausrechnen wollen, es geht aber allein um die Alarmanlage.

[Krisz]

Der Grund für die häufig falsche Interpretation der Aufgabe liegt vielleicht in der Annahme, man müsse die stochastische Fehlerbetrachtung erst dann ansetzen, wenn tatsächlich ein Einbruch begangen wurde. Dies würde die 1/1000 relativieren. Die 1% Fehlalarme gelten allerdings jede Nacht, da ihre Bedingung "Kein Einbruch" lautet. Es muss mit den Wahrscheinlichkeiten gerechnet werden, dass es in einer Nacht klingelt.



Ich denke der Grund dürfte eher darin liegen, dass die Aufgabenstellung in der Tat nicht ganz klar ist:

Worauf bezieht sich die Angabe P(Fehlalarm)=1% ?

1) Wenn es um die Relation von Fehlalarm zu Alarm geht, ist die Angabe der Einbruchswahrscheinlichkeit in der Tat irrelevant, und die Lösung ist 99%
2) Soll es, auf einen bestimmten Zeitraum ohne Einbruch bezogen, die Wahrscheinlichkeit für einen Alarm angeben, dann fehlt die Angabe des Zeitraumes.

Beträgt der Zeitraum bei 2) eine Nacht, so sind die 9% korrekt und so ist die Aufgabe wohl auch gemeint. Darauf sollte man auch kommen, weil alles andere wenig Sinn macht, aber streng genommen...

Ich könnte ja auch behaupten, dass die Chance, im Lotto sechs richtige zu haben, bei 1% liegt...man muss ja nur oft genug mitspielen.

P.S.: Der Vergleich hinkt etwas, weil man sich beim Lotto klar auf eine Ziehung beziehen kann, beim Fehlalarm aber 1) oder 2) (inkl. gegebenem Zeitintervall) möglich ist

[Vicious]

Tombman. Das sollte nicht als Lösung dienen, sondern lediglich als Verständnishilfe. Die genaue Lösung wurde hier schon mehrfach beschrieben.

"Deswegen ist deine Rechnung ein bischen ungenau- sie wird immer genauer je näher du dich der Unendlichkeit näherst."

Falsch. Ich habe lediglich gerundet. Genaue Zahlen mit 1000 Tagen :

(9,99 + 0,99)^-1 * 0,99 = 0,0901639...

Egal, was du mir mit der Unendlichkeit sagen wolltest, man kann jeden Faktor, der dazu nötig wäre, wieder rauskürzen. Es geht also problemlos mit der Vorstellung von 1000 Tagen. Dazu dient die Wahrscheinlichkeitsangabe 1/1000 zwar nicht direkt, aber man kann es sich so gedanklich vereinfachen.

[Vicious]

@Krisz :

zu 1.

1% Fehlalarm bedeutet, dass mit 1%iger Wahrscheinlichkeit die Bedingung "Kein Einbruch" den Alarm auslöst. (Fehlalarm := Alarm ohne Grund)

Es existieren 2 verschiedene Ursachen, für einen Alarm : [Einbruch] und [kein Einbruch]...somit erhält die Relation zwischen diesen beiden Ursachen eine Bedeutung

zu 2.

Diese Interpretation ist in meinen Augen nicht nachvollziehbar.

[Krisz]

@Krisz :

zu 1.

1% Fehlalarm bedeutet, dass mit 1%iger Wahrscheinlichkeit die Bedingung "Kein Einbruch" den Alarm auslöst. (Fehlalarm := Alarm ohne Grund)

Es existieren 2 verschiedene Ursachen, für einen Alarm : [Einbruch] und [kein Einbruch]...somit erhält die Relation zwischen diesen beiden Ursachen eine Bedeutung

zu 2.

Diese Interpretation ist in meinen Augen nicht nachvollziehbar.

In "Deiner" Lösung setzt Du aber voraus, dass Fehllalarm bedeutet:
In EINER Nacht wird nicht eingebrochen, aber trotzdem Alarm ausgelöst.
Denk mal drüber nach!

Wenn ich das Ganze auf eine einzelne Stunde (Minute, Sekunde...) beziehe, wächst die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm in einer Nacht ohne Einbruch ganz schön an (habe leider gerade keine Tabelle zur Gaußverteilung zur Hand), und die Lösung ändert sich, ist also nicht mehr eindeutig.

[Vicious]

In "meiner" Lösung, wurde die Aufgabe, wie du ja gerade kritisiert hast, vereinfacht, durch die Vorstellung, es handle sich um einen Zeitraum von 1000 Tagen. Das habe ich mittlerweile mehrfach erwähnt. Die Lösung ändert sich in keinster Weise, wenn du 1000 Minuten oder irgendeinen beliebigen Zeitraum wählst. Du kannst diese Vorstellung auch ganz vergessen und lediglich mit den Wahrscheinlichkeiten rechnen, was hier schon mehr als einmal getan wurde, und worum es mir nicht ging. Der Zeitraum von 1000 Tagen sollte lediglich eine Vorstellung vermitteln.

Die Gaußverteilung brauchst du übrigens nicht suchen.

[Pompos]

Die Sache ist doch die.
Jedoch muss mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% mit einem Fehlalarm gerechnet werden. == 1% aller Alarme sind ohne Einbruch ausgelöst wurden (Technik hat verrückt gespielt, Besitzer hat mumpitz gemacht, etc), wenn man dies jetzt umdreht heißt es doch folglich, dass 99% aller Alarme auf Grund eines Einbruch stattgefunden haben müssten. Oder sehe ich dass jetzt falsch?

Wenn ich mir daraufhin die Fragestellung: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Fall eines Alarms tatsächlich ein Einbruch begangen wurde? angucke, dann komme ich weiterhin zu dem Schluss, dass die Antwort 99% sein müsste.

[Vicious]

1% aller Alarme sind Fehlalarme; es wurde geläutet, ohne dass ein Einbruch geschehen ist

Die Folgerung ist aber :

=> keine Einbruch -> kein Alarm : 99%

[Pompos]

1% aller Alarme sind Fehlalarme; es wurde geläutet, ohne dass ein Einbruch geschehen ist

Die Folgerung ist aber :

=> keine Einbruch -> kein Alarm : 99%
Tut mir leid, was du mir damit sagen willst versteh ich überhaupt nicht :(

Soll das bedeuten, dass in einer Zeiteinheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% kein Alarm losgeht?

@die es wissen wollten
Die Aufgabe ist für einen GK im 4. Sem auf einem Gym (I'm king of Abk. ;))

[Vicious]

Fall 1 :

Einbruch :

Wir wissen aus der Aufgabenstellung, dass dies mit 99%iger Wahrscheinlichkeit zu einem Alarm führt ("...die im Fall eines Einbruchs mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% Alarm gibt. ...")

=> somit wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% kein Alarm ausgelöst

Fall 2 :

kein Einbruch :

Wir wissen aus der Aufgabenstellung, dass dies mit 1%iger Wahrscheinlichkeit zu einem Alarm führt ("...Jedoch muss mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% mit einem Fehlalarm gerechnet werden. ...")

=> somit wird im Falle keines (!) Einbruchs, mit 99%iger Wahrscheinlichkeit keine Alarm ausglöst


Nun haben wir also 2 Ereignisse, 'Einbruch' und 'kein Einbruch', die zu einem Alarm führen können. Die Wahrscheinlichkeit für einen Einbruch liegt bei 0,1%, für keinen Einbruch bei 99,9%.

Die 0,1% (Einbruch) führen mit 99% zu einem Alarm, die 99,9% (kein Einbruch) führen mit 1% zu einem Alarm. Wir haben also 2 Alarmfälle, und können nur den ersten gebrachen. Denn nur dann fallen Einbruch und Alarm zusammen.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Alarm zu jedem beliebigen Zeitpunkt x liegt bei :

[ 0,001 (Einbruch) x 0,99 (=> Alarm) ] + [ 0,999 (kein Einbruch) x 0,01 (=> Alarm) ] = 0,01098 = 1,098 %

Die Wahrscheinlichkeit für Einbruch|Alarm liegt bei :

0,001 (Einbruch) x 0,99 (=> Alarm) = 0,00099 = 0,099 %

Nun muss man die Wahrscheinlichkeit eines Alarms mit Einbruch durch die Wahrscheinlichkeit eines Alarms generell (also egal ob Einbruch oder nicht) teilen. (Günstiger Fall durch mögliche Fälle)

0,00099 / 0,01098 = 0,09016 ~ 9 %

[Krisz]

In "meiner" Lösung, wurde die Aufgabe, wie du ja gerade kritisiert hast, vereinfacht, durch die Vorstellung, es handle sich um einen Zeitraum von 1000 Tagen. Das habe ich mittlerweile mehrfach erwähnt. Die Lösung ändert sich in keinster Weise, wenn du 1000 Minuten oder irgendeinen beliebigen Zeitraum wählst. Du kannst diese Vorstellung auch ganz vergessen und lediglich mit den Wahrscheinlichkeiten rechnen, was hier schon mehr als einmal getan wurde, und worum es mir nicht ging. Der Zeitraum von 1000 Tagen sollte lediglich eine Vorstellung vermitteln.

Die Gaußverteilung brauchst du übrigens nicht suchen.

Nein, das meinte ich nicht...Du rechnest mit einer Einbruchswahrscheinlichkeit von 1/1000, also gehst Du davon aus, dass 1% Fehlalarm auch für eine Nacht gilt.

Okay, die GV brauch ich wirklich nicht suchen (musste leider schnell weg):
Sagen wir mal, wir beziehen uns auf eine Stunde...
Wahrscheinlichkeit für Fehlalarm ist 1% sagst Du. Sagen wir, die Nacht hat 8 Stunden. Jetzt ist doch die W., dass kein Fehlalarm ausgelöst wird:

0.99^8=0.923
folglich für einen (oder mehrere!) Fehlalarm(e):

1-0.923=7,7%

Die W. für einen Einbruch in einer Nacht bleibt aber laut Angabe fix 0.1% !

Also wird die Rechnung zu:

[ 0,001 (Einbruch) x 0,99 (=> Alarm) ] + [ 0,999 (kein Einbruch) x 0,077 (=> Alarm) ] = 0,077 = 7,7%

Die Wahrscheinlichkeit für Einbruch|Alarm liegt bei :

0,001 (Einbruch) x 0,99 (=> Alarm) = 0,00099 = 0,099 %

Nun muss man die Wahrscheinlichkeit eines Alarms mit Einbruch durch die Wahrscheinlichkeit eines Alarms generell (also egal ob Einbruch oder nicht) teilen. (Günstiger Fall durch mögliche Fälle)

0,00099 / 0,077 = 0,013 ~ 1,3%

[Gast]

Wahrscheinlichkeit für Fehlalarm ist 1% sagst Du. Sagen wir, die Nacht hat 8 Stunden. Jetzt ist doch die W., dass kein Fehlalarm ausgelöst wird:

0.99^8=0.923
folglich für einen (oder mehrere!) Fehlalarm(e):

1-0.923=7,7%
Nein. Wie kommst du auf 0,99^8?

Das Verhältnis zwischen Alarm und nicht Alarm ist immer gleich, egal welche Zeiteinheit betrachtet wird. Die Aufgabe bzw deren Lösung ist also völlig unabhängig von Zeitangaben, genauso wie vom Gewicht des Ladenbesitzers.

[Krisz]

Nein. Wie kommst du auf 0,99^8?

Das Verhältnis zwischen Alarm und nicht Alarm ist immer gleich, egal welche Zeiteinheit betrachtet wird. Die Aufgabe bzw deren Lösung ist also völlig unabhängig von Zeitangaben, genauso wie vom Gewicht des Ladenbesitzers.

Klingt erstmal plausibel, aber:
Das Verhältnis Kopf/Zahl ist (stochastisch betrachtet) auch immer gleich, egal wie oft ich eine Münze werfe, aber die W. für 2mal Kopf bei zwei Würfen beträgt trotzdem nur 1/4.

Ist schon witzig, wie einen der "gesunde Menschenverstand" bei Stochastikproblemen täuschen kann.

Wenn Du davon ausgehst, dass das Verhältnis gleich bleibt, hättest Du doch (stark vereinfacht, aber ME passend) einen Fehlalarm pro 100 Zeiteinheiten, was je nach Zeiteinheit beliebig viele Fehlalarme pro Nacht werden können.

OT, aber nettes Zitat:
"Die wahre Logik der Welt liegt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung"
James Clark Maxwell

[tombman]

@vicious: mit gerundeten Werten rechnen ist schlechter STil und kann fatal sein, auch wenn es in diesem Fall keine Auswirkung hat. Runden tut man am Schluß und nicht zwischendrinn. Außerdem verwirrt das jene, die es nicht verstanden haben noch mehr, denn sie versteifen sich dann auf einen gewissen Zeitraum.

Das schwierige bei solchen Aufgaben ist das WEGLASSEN absoluter Zeiträume: es geht NICHT um eine bestimmte Zahl von Tagen. Es geht NICHT um eine einzige Nacht, oder wieviele Stunden diese Nacht hat. Es geht auch NICHT darum wie wahrscheinlich es ist, daß eingebrochen wird und wie häufig, wann bla blubb.

Es geht nur um die Anlage, nicht um den Einbruch. Was die Leute so verwirrt ist dieses "WENN" eingebrochen wird, denn mit WENN können sie nicht denken und ned rechnen.

Noch etwas, warum der Fehler NICHT bei 1% liegt wie in der Angabe und warum 1% Fehler der Anlage nicht automatisch die Lösung ist: Die Anlage läutet auch, wenn KEIN Einbruch stattfand, und das ist gültig bis in alle Ewigkeit.

Wenn man jetzt wissen will WAHRSCHEINLICH es ist, daß die Anlage "Scheiße baut" muß man auch wissen wie wahrscheinlich es ist, daß Einbrüche stattfinden oder eben nicht.

Warum ist also die richtige Lösung (9% richtige Alarmwahrsscheinlichkeit, 91% Fehlalarmwahrscheinlichkeit) so viel mal höher als das was manche meinen, nämlich das 1% Fehlalarm auch gleich die Lösung ist?
Weil die Wahrscheinlichkeit eines Einbruchs soviel geringer ist IM VERLEICH zur FEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT der Alarmanlage

Anlagenfehler: 1% (generell, unabhängig wo sie steht und wie oft dort eingebrochen wird)
EInbruch: 1%% (= Promille)!!!

Daraus kann man ja schon rein logisch sehen, daß die Anlage ÖFTER FALSCH läuten wird als tatsächlich eingebrochen wird, also NIX MIT 1% als Gesamtlösung.

Oder ein anderes Beispiel:

Stellt euch die Anlage als eine nervöse alte Frau vor, die mal immer wieder "Hilfe Einbruch" schreit, auch wenn da manchmal gar nix los ist. Jetzt lebt diese Frau in einer Gegend wo SO GUT WIE NIE eingebrochen wird. Und ihr als der örtliche Polizist müßt jetzt darauf reagieren und einschätzen ob die alte Fraue "mal wieder nur rumspinnt" ,oder sie diesmal vielleicht doch richtig liegt und tatsächlich was passiert. Die Frau bleibt aber immer die selbe Frau, und sie wird ihrer Natur entsprechend immer schreien, UNABHÄNGIG in welcher Gegend sie lebt, also hier im ruhigen Dorf oder in der Bronx. Und wo wird die Wahrscheinlich daß die alte Frau doch einen Treffer hat höher liegen? Im ruhigen Dorf oder in der Bronx, wo viel eingebrochen wird? Eben- in der Bronx.
Aber die Frau ist doch immr die selbe, mit der gleichen SCHREIWAHRSCHEINLICHKEIT wie immer, egal wo sie lebt Und TROTZDEM ist die Trefferwahrscheinlich der Frau in der Bronx höher, eben weil dort mehr los.
Der springende Punkt ist also: es ist nicht egal wie oft eingebrochen wird um die Frau/Anlage einzuschätzen und DESHALB ist die Angabe der EInbruchswahrscheinlichkeit WICHTIG und DESHALB ist die Lösung ned gleich 1% Fehler, genauso wie Lösung der alten Frau auch ABHÄNGIG von der Gegend/EInbruchswahrscheinlichkeit ist. DESHALB BRAUCHEN wir die Angabe der Einbruchswahrscheinlichkeit.

:cool:

p.s: uff

[Pompos]

Vielen Dank für die Aufklärung ;D
Ich glaube, ich habe es langsam kapiert.

[Vicious]

@Tombman...kein Grund sich so zu ereifern.

Das Beispiel war gut.

Zum ersten Absatz...lies doch bitte mal, was ich da überhaupt geschrieben hab, bevor du so losfährst.

Der 2. Absatz ist insofern falsch, als dass Zeiträume (hier) lediglich eine Einheit für die Wahrscheinlichkeit sind. Es ist Benennungssache. Mathematisch bleibt es ein Wert x.

Der Rest wurde jetzt mehrfach wiedergegeben.

[Krisz]

@tombman & Vicious:

Letzter Versuch, Euch klarzumachen worum es mir geht (oder wenn Ihr so wollt, letzte Chance für Euch, mich zu überzeugen):

Ihr geht beide davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm (im Sinne von kein Einbruch -> Alarm) unabhängig von der Einbruchswahrscheinlichkeit (korrekt) und des betrachteten Zeitabschnitts (ME unlogisch, aber okay...lassen wir uns darauf ein) ist.

Nehmen wir doch ein Zeitintervall x - wir MÜSSEN eins nehmen, weil wir die Einbruchswahrscheinlichkeit als 1/1000 pro Nacht gegeben haben...es sollte hoffentlich jedem einleuchten, dass dann die Einbruchswahrscheinlichkeit in einem anderen Zeitintervall anders sein muss. Und leider sagt uns die Aufgabe NICHT eindeutig, welches wir nehmen sollen.

Bevor wir uns über den richtigen Wert streiten, nennen wir sie doch y (wie gesagt, ist y ungleich 1/1000).

Nun haben wir:
P(Einbruch)=y
P(kein Einbruch)=1-y
P(Einbruch+Alarm)=y*0.99
P(kein Einbruch+Alarm)=(1-y)*0.01

Die Lösung ist also:

y*0.99/[y*0.99+(1-y)*0.01]=y*0.99/(0.01+y*0.98)

und y lässt sich leider nicht rauskürzen. Schlimmer noch, je nach y kann das Ergebnis zwischen 0 (x=0) und 1 (x=unendlich) liegen.

Mittlerweile würde mich echt interessieren, was ein "echter Mathematiker" zu dem Thema sagen würde...jedenfalls bin ich mir ziemlich sicher, dass die Aufgabe so oder so nicht eindeutig gestellt ist.

@Pompos:
An Deiner Stelle würde ich auf jeden Fall mal einen Mathematiker fragen und, wenn er meine Sicht bestätigt, Deinen Lehrer auf das Problem hinweisen. Du könntest allerdings damit denen Schaden, die sich Ihre Note durch eben diese Aufgabe "verdient" haben.

[Vicious]

Einbruch / Einbruch + Nicht Einbruch = 0,001

Dies gilt für alle Zeiten...

In 1000 Nächten wird (wahrscheinlich) 1 Mal eingebrochen, 999 Mal nicht
In 100 Nächten 0,1 Mal, 99,9 Mal nicht
In 10 Nächten 0,01 Mal, 9,99 Mal nicht
In 1 Nacht 0,001 Mal (das haben wir gegeben) 0,999 Mal nicht
In 0,1 Nächten 0,0001 Mal und (Achtung !) 0,0999 (!) Mal nicht.
usw.

Die weiterführende Einbeziehung der Alarmanlage erfolgt stets analog dem Beispiel mit 1000 Nächten.

Der Faktor x Nächte kann beliebig gewählt werden. Das war einer der Gründe, warum ich der Darstellung zuliebe so absolute Einheiten (Tage/Nächte) gewählt habe. Dies kann man, ohne Beschränkung der Allgemeinheit (wie Mathematiker so schön sagen), tun. Wir erhalten stets die richtige Lösung. Nur hat es sich, wenn man Bruchteile einer Nacht betrachtet, mit der Anschaulichkeit erledigt.

[tombman]

Da hast du ein paar Fehler gemacht: y ist nicht die Zeitdauer, sondern die Einbruchswahrscheinlichkeit PRO NACHT. Wenn du y veränderst veränderst du nicht die Zeitdauer sondern die Einbruchswahrscheinlichkeit. Daß dann ein anderes Ergebnis herauskommt ist klar, denn die Zuverläßigkeit der Anlage errrechnet sich ja AUCH aus der Einbruchswahrscheinlichkeit.

Und wenn du die Zeitdauer von einer Nacht auf sagen wir mal 2 Nächte erhöhst (dann ändert sich y), ändert sich ne ganze Menge mehr an Daten.
Dann mußt du nämlich die "Anlagenwahrscheinlichkeiten" auch über 2 Nächte rechnen damit sie mit der Einbruchswahrscheinlich "übereinstimmen kannst".
Und da kann ich dir jetzt schon versprechen wird die Rechnung ziemlich nasty, es sollte aber immer das selbe rauskommen.

Anders ausgedrückt bei P(Alarm|Einbruch) müssen die Komponenten Alarm und Einbruch auf der selben Zeitbasis sein, sonst isses falsch.

Wenn du daher NUR Y veränderst, änderst du die Zeitbasis und damit auch das Ergebnis.

[Krisz]

Einbruch / Einbruch + Nicht Einbruch = 0,001

Dies gilt für alle Zeiten...

In 1000 Nächten wird (wahrscheinlich) 1 Mal eingebrochen, 999 Mal nicht
In 100 Nächten 0,1 Mal, 99,9 Mal nicht
In 10 Nächten 0,01 Mal, 9,99 Mal nicht
In 1 Nacht 0,001 Mal (das haben wir gegeben) 0,999 Mal nicht
In 0,1 Nächten 0,0001 Mal und (Achtung !) 0,0999 (!) Mal nicht.
usw.


Sorry, aber in einem gegebenen Zeitintervall kann entweder ein Einbruch (streng genommen: mehr als null Einbrüche) erfolgen oder eben nicht. Die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Fälle müssen sich zu 1 addieren!

[Krisz]

Anders ausgedrückt bei P(Alarm|Einbruch) müssen die Komponenten Alarm und Einbruch auf der selben Zeitbasis sein, sonst isses falsch.

Wenn du daher NUR Y veränderst, änderst du die Zeitbasis und damit auch das Ergebnis.

Okay, dann hast Du es ja doch verstanden...nur leider sagt uns die Aufgabenstellung nicht explizit, dass sich die 1% auf eine Nacht beziehen.

Darum ging es mir eigentlich hier (siehe Post#22)

[Vicious]

"Sorry, aber in einem gegebenen Zeitintervall kann entweder ein Einbruch (streng genommen: mehr als null Einbrüche) erfolgen oder eben nicht. Die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Fälle müssen sich zu 1 addieren!"

Du adaptierst in deinen Überlegungen nur ein Ereignis auf das neue Zeitintervall, von 2 für die Berechnung unabhängigen. Denn würdest du sie, wie bei deinem Berechnungsbeispiel koppeln, dass für jedes Intervall die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist, erhältst du bei Nacht/x mit x gegen Unendlich den Umstand, dass die Nicht-Einbruchswahrscheinlichkeit gegen Unendlich strebt, und die Anlage somit ununterbrochen läutet. Die Alarmanlage ist aber gerade die Konstante in der Aufgabe. Das Beispiel von Tombman mit der alten Dame zeigt das sehr schön. Sie ist auch der Grund, weshalb du die bei einer Nacht gegeben Wahrscheinlichkeiten für Ereignis und Gegenereignis bei jedem neuen Zeitintervall getrennt behandeln musst.

[tombman]

Es KANN sich nur um Angaben pro Nacht handeln, weil das Ereignis "Einbruch" und das Ereignis "Läuten" sich nicht über 2 Nächte erstrecken kann.

Ich hab versucht, daß ganze mit 2 Nächten durchzurechnen, ging aber nicht, weil da die Logik total aus dem Konzept kommt. Die Einbruchswahrscheinlichkeit für 2 Nächte konnte ich ausrechnen, aber auch nur indem ich 2 getrennte Einbrüche "aufsummierte". Die Anlage kann aber nicht für 2 Nächte läuten weil der Einbruch auch nicht für 2 Nächte stattfinden kann. Die Anlage kann in der ersten Nacht läuten und in der zweiten nicht usw usf. Um aber diese "Einzelwahrscheinlichkeiten" auszurechnen um auf den "Durchschnitt" über 2 Nächte (oder wenn statt 2 Nächte 1000 oder 1 Million nimmt) zu kommen, muß man einfach wissen wie die EInbruchswahrscheinlichkeit pro Nacht aussieht, sonst kann man die Alarmwahrscheinlichkeiten nicht berechnen Und wenn ich die nicht habe, dh die richtigen Alarme / alle Alarme kann ich nix rechnen.

Es ist aber völlig irrelevant ob es 1 oder 1000 Nächte sind, die Anlage wird trotzdem mit 9% richtig klingeln, egal wie man rechnet.

[Vicious]

"Es ist aber völlig irrelevant ob es 1 oder 1000 Nächte sind, die Anlage wird trotzdem mit 9% richtig klingeln, egal wie man rechnet."

So ist es. Der Zeitraum ist irrelevant.

[tombman]

jo, bei 2 Nächten können zb 4 Ereignisse stattfinden:

e-e
e-0
0-e
0-0

wobei e = Einbruch 0 = kein Einbruch

Jedesmal werden die 0.99 beim e als "Gewicht" dazukommen und die 0.01 als "Gewicht" beim 0.

Bei 2 Nächten sind das dann also 4 mal e mit jeweils 0.99 und 4 mal 0 mit jeweils 0.01 als "Wahrscheinlichkeitsgewicht" der Anlage.

In der Endrechnung richtige/alle kannst du den 4er immer total rauskürzen und es blebt als Essenz das Ergebnis übrig was schon bei einer Nacht gegolten hat. Bei 3 Nächten wären es 9 e und 9 0, also ändert sich gar nix.

Die Zuverläßigkeit der Ampel bleibt immer gleich, egal welcher Zeitraum. Und daher gibt es auch nur eine Lösung und KEINEN Platz für Interpretationsspielraum :cool:

[Vicious]

Das kommt mir bekannt vor ;-)...

[Frank]

Mittlerweile würde mich echt interessieren, was ein "echter Mathematiker" zu dem Thema sagen würde...
*meld*

Es gibt keinen Interpretationsspielraum bei dieser Aufgabe. Die einzigste Schwierigkeit liegt wohl beim Erkennen, dass bereits mit der Angabe des Läutens bei Alarm oder halt des Fehlalarms bedingte Wahrscheinlichkeiten angeführt sind. Ansonsten wurde es eigentlich auch schon weiter oben breit genug ausgelatscht.


Lösung (über Bayes'sche Formel) stand ja auch schon weiter oben:
gegeben:
Einbruch: P(A1) = 0.001
kein Einbruch: P(A2) = 0.999
Alarm bei Einbruch: P(B|A1) = 0.99
Fehlalarm: P(B|A2) = 0.01

gesucht:
P(A1|B)
(im Fall eines Alarms tatsächlich ein Einbruch)

[Xmas]

Krisz hat insofern recht, dass "kein Einbruch" kein Ereignis, sondern ein Zustand ist. Erst "kein Einbruch in einer Nacht" ist ein Ereignis.

Durch den Aufgabentext ist aber klar dass "kein Einbruch in einer Nacht" gemeint ist.

[Gast]

ME nach hat Pompos mit seiner ersten Lösung recht, da:

"im Falle eines Alarms" -> der Fall ist eingetreten, die Wahrscheinlichkeit für Alarm ist quasi 1.
1% sind Fehlalarme (heißt es Alarme?).
Somit wären 99% aller Alarme durch Einbruch ausgelöst worden, was auch die Fragestellung beinhaltet.
Wegen den 9,16...% -> Dann hätte die Fragestellung lauten müssen: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch einen Einbruch ein Alarm ausgelöst wird."
Ich empfehle Pompos sich weiter nachdrücklich dafür einzusetzen (ich hoffe für ihn, dass es nicht schon zu spät ist), dass die Aufgabe (zumindest für ihn) nicht gewertet wird, da er auf die Frage richtig geantwortet hat und er nichts dafür kann, wenn der Lehrer etwas anderes fragt als was er wissen will.

Einen schönen Feiertag/-abend/-nacht wünsche ich noch.

[Xmas]

Wegen den 9,16...% -> Dann hätte die Fragestellung lauten müssen: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch einen Einbruch ein Alarm ausgelöst wird."
Nein.
"Ein Juwelierladen ist durch eine Alarmanlage gesichert, die im Fall eines Einbruchs mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% Alarm gibt."
Die Wahrscheinlichkeit dass durch einen Einbruch der Alarm ausgelöst wird ist 99%. Das ist aber nicht gefragt.

[Gast]

Ich habe gerade gesehen, dass meine alternative Fragestellung nicht so richtig hinhaut.
Trotzdem ändert es nichts am Ergebnis: Es heißt:"im Falle eines Alarms". Der Alarm findet also statt, Wahrscheinlichkeit wäre 1, was dann aber uninteressant ist.
Dann müssen bei 1% Fehlalarmwahrscheinlichkeit 99% echte Alarme (Einbrüche) stattgefunden haben.
btw: Die 99%ig sichere Alarmanlage meinte ich auch nicht, ist nur zufällig der selbe Wert. Das einzig wichtige ist eigentlich die 1%ige Fehlalarmwahrscheinlichkeit, woraus sich der Rest ergibt.

[Xmas]

Trotzdem ändert es nichts am Ergebnis: Es heißt:"im Falle eines Alarms". Der Alarm findet also statt, Wahrscheinlichkeit wäre 1, was dann aber uninteressant ist.
Dann müssen bei 1% Fehlalarmwahrscheinlichkeit 99% echte Alarme (Einbrüche) stattgefunden haben.
Nein, eben nicht. "Im Falle eines Alarms" ist ein anderer Satz. Ein Fehlalarm kann nur auftreten, wenn kein Einbruch erfolgt.
1% Fehlalarmwahrscheinlichkeit bedeutet:
Das Ereignis "kein Einbruch" tritt ein -> 1% Wahrscheinlichkeit, dass der Alarm trotzdem ausgelöst wird.

Dazu wurde von Krisz noch bemängelt, dass "kein Einbruch" kein Ereignis ist, erst "kein Einbruch in einer Nacht" ist eins.

[Gast]

Also gut, letzter Versuch:

Die Frage heißt:"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Fall eines Alarms tatsächlich ein Einbruch begangen wurde?"
Zwangsvoraussetzung ist meinem Textverständnis nach, dass ein Alarm auftritt. Nur diese Alarmfälle müssen betrachtet werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist irrelevant.
Von diesen Alarmfällen MÜSSEN bei 1% Fehlalarmwahrscheinlichkeit 99% TATSÄCHLICHE Einbrüche gewesen sein.

Nochmal zur vom Lehrer gewünschten Lösung:
Frage hätte dann heißen müssen:" Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Nacht ein Alarm durch einen Einbruch ausgelöst wird?"
Dann darf aber nicht mehr "im Fall eines Alarms" in der Fragestellung auftauchen, da (sehr wahrscheinlich) nicht jede Nacht ein Alarm ausgelöst wird, was die Fragestellung aber voraussetzt.

Ich hoffe ich konnte meine Sichtweise nun verständlich zum Ausdruck bringen. Wie Pompos und Goldmund bereits erwähnten, ist die Fragestellung nicht passend zum erwünschten Rechenweg formuliert. Deshalb halte ich Pompos' Lösung für richtig.
Wenn ich immer noch falsch liegen sollte, muss ich mir wohl Sorgen machen, dass mich mein Textverständnis ganz böse im Stich lässt.

Schönen Abend noch

[Xmas]

Also gut, letzter Versuch:

Die Frage heißt:"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Fall eines Alarms tatsächlich ein Einbruch begangen wurde?"
Zwangsvoraussetzung ist meinem Textverständnis nach, dass ein Alarm auftritt. Nur diese Alarmfälle müssen betrachtet werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist irrelevant.
Von diesen Alarmfällen MÜSSEN bei 1% Fehlalarmwahrscheinlichkeit 99% TATSÄCHLICHE Einbrüche gewesen sein.
Nein, du missverstehst das Wort Fehlalarmwahrscheinlichkeit. Das ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass ein auftretender Alarm ein Fehlalarm ist, sondern die Wahrscheinlichkeit dass ohne Einbruch ein Alarm auftritt.


Nochmal zur vom Lehrer gewünschten Lösung:
Frage hätte dann heißen müssen:" Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Nacht ein Alarm durch einen Einbruch ausgelöst wird?"
Bei dieser Fragestellung wäre die korrekte Antwort:
P(Einbruch) * P(Alarm bei Einbruch) = 0,001 * 0,99 = 0,0099 = 0,99%

[Krisz]

Krisz hat insofern recht, dass "kein Einbruch" kein Ereignis, sondern ein Zustand ist. Erst "kein Einbruch in einer Nacht" ist ein Ereignis.

Durch den Aufgabentext ist aber klar dass "kein Einbruch in einer Nacht" gemeint ist.

Endlich mal einer, der es kapiert! :smile: ...und auch noch besser ausdrücken kann, als ich...

Es ist zwar klar, was gemeint ist, aber meiner Meinung nach nur, weil es die Einzige Interpretation ist, die Sinn macht...finde ich für eine Matheaufgabe eher unpassend, auch wenn ich die Aufgabe in einer Prüfung so verstanden hätte - allerdings wohl eher, weil ich das "in einer Nacht" automatisch mitgelesen hätte.

@Frank:(bitte nicht persönlich nehmen)
Ich meinte eigentlich einen Mathematiker, der die Aufgabenstellung genau überdenkt...nicht einen, der die bereits erschlossene Aufgabe löst. An der Lösung habe ich nie gezweifelt, auch wenn es vielleicht anders rüberkam.

[Krisz]

@tombman:
Okay, dann hast Du es ja doch verstanden...
Das muss ich wohl, nach dem was Du seither geschrieben hast zurücknehmen.

[Frank]

@Frank ... Ehrlich gesagt sehe ich bei der Aufgabe nichts, was überdenkt werden sollte, da solche Aufgaben lediglich genaues lesen erfordern. Der Rest ist mehr oder weniger trivial und bedient sich noch nichtmal trickreicher Mittel.

Es ist zwar klar, was gemeint ist, aber meiner Meinung nach nur, weil es die Einzige Interpretation ist, die Sinn macht...finde ich für eine Matheaufgabe eher unpassend, auch wenn ich die Aufgabe in einer Prüfung so verstanden hätte - allerdings wohl eher, weil ich das "in einer Nacht" automatisch mitgelesen hätte.Die Aufgabe ist eindeutig gestellt. Und wenn dies nicht 100% der Fall wäre, dann ist sie doch eindeutig aus dem bereits von Dir genannten Grund: "weil es die Einzige Interpretation ist, die Sinn macht". Öfters wird halt etwas mehr Mitdenken verlangt und manchmal eben auch explizit weniger.

[tombman]

Dann müssen bei 1% Fehlalarmwahrscheinlichkeit 99% echte Alarme (Einbrüche) stattgefunden haben.


Falsch, die Anlage kann auch läuten wenn KEIN EInbruch stattfand.

[tombman]

Von diesen Alarmfällen MÜSSEN bei 1% Fehlalarmwahrscheinlichkeit 99% TATSÄCHLICHE Einbrüche gewesen sein.



Nein, schon wieder falsch. Es gibt auch Alarm wenn kein EInbruch stattfand.
Also MEHR Alarme als EInbrüche.

[tombman]

@tombman:

Das muss ich wohl, nach dem was Du seither geschrieben hast zurücknehmen.

Wie Frank schon gesagt hat und ich auch: es gibt keinen Raum für Interpretationen jedweder Art. Der Text und das Ergebnis sind eindeutig.

Und wenn damit jemand vor der Leherer tritt und argumentieren will, macht er sich nur lächerlich...

[I²K]

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das Sonntags tagsüber eingebrochen wird?

Was die Textinterpretation anbelangt:
Die Frage lautet :Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Fall eines Alarms tatsächlich ein Einbruch begangen wurde?

Und nicht:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Fall eines Einbruchs tatsächlich ein Alarm ausgelöst wird?