[Mathe]Lösung eines Gleichungssystems mit Hilfe der inversen Matrix

[Gast]

Wie genau stellt man sowas an? Kann dazu weder im Internet noch im Papula was finden. Im speziellen Fall soll man aus folgendem Gleichungssystem die Koeffizientenmatrix bilden und mit Hilfe der inversen die Lösung:

2x - z = 2
5x + y = 0
y + 3z = 2

Aber da die inverse die erweiterte Koeffizientenmatrix nicht enthält, frag ich mich, wie das überhaupt möglich ist.

[Spasstiger]

Wie genau stellt man sowas an? Kann dazu weder im Internet noch im Papula was finden. Im speziellen Fall soll man aus folgendem Gleichungssystem die Koeffizientenmatrix bilden und mit Hilfe der inversen die Lösung:

2x - z = 2
5x + y = 0
y + 3z = 2

Aber da die inverse die erweiterte Koeffizientenmatrix nicht enthält, frag ich mich, wie das überhaupt möglich ist.

Ist doch nicht schwer.
Die Koeffizientenmatrix ist
A=
/ 2 0 -1 \
| 5 1 0 |
\ 0 1 3 /

Die Lösungen sind im Vektor
v=
/ x \
| y |
\ z /

Die rechte Seite der Gleichungen ist der Vektor
b=
/ 2 \
| 0 |
\ 2 /

Dein LGS lautet somit:
A*v=b

Um auf die Lösung v zu kommen, musst du die Inverse von A mit b multiplizieren.
v=(A^-1)*b

Die Inverse von A kann man z.b. mithilfe von Cramer berechnen. Du kannst auch direkt den Lösungsvektor v über Cramer berechnen (Determinante von A berechnen, dann spaltenweise jeweils zur Bestimmung von x,y oder z b in A einsetzen, die neuen Determinanten berechnen, die Lösungen sind dann jeweils die neuen Determinanten geteilt durch die Determinante von A).

Die Inverse von A ist
A^-1=
/ 3 -1 1 \
| -15 6 -5 |
\ 5 -2 2 /

Damit ergibt sich

v=(A^-1)*b=
/ 8 \
| -40 |
\ 14 /

Die Lösungen sind also x=8,y=-40,z=14.

(EDIT: Wobei die Lösungen jetzt lustigerweise nicht in das LGS von oben passen. Das Schema ist aber korrekt. Hab die Inverse und das Produkt von Maple rechnen lassen.
EDIT2: Hab die Matrix falsch in Maple eingegeben, richtige Lösungen folgen sogleich.)
EDIT3: Lösungen sind jetzt korrekt.

P.S.: Bei einem solch einfachen LGS rechnet man normalerweise nicht über Matrizen. Und über die Inverse schon gleich gar nicht. Das Direkt-Einsetzungsverfahren per Cramer macht da schon mehr Sinn (falls man mit Matrizen rechnet).

[Gast]

Danke. Warum das so gemacht werde muss ist ganz einfach: Der Prof will es so :D

[Spasstiger]

Danke. Warum das so gemacht werde muss ist ganz einfach: Der Prof will es so :D

Das kenn ich ;). Aber wenn später in der Prüfung nicht explizit dran steht, dass mans über die Inverse rechnen soll, würd ichs auch nicht machen.
In Theorie der Schaltungen rechnen wir grad ständig Netzwerke über Gleichungssysteme und das Wort Inverse ist afaik noch kein einziges mal gefallen ;D . Wir rechnen direkt mit Cramer.