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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Logarithmus mit der "log" Taste des Taschenrechners?


Gast
2005-09-06, 20:44:40
Hi, ich bin grad dabei, mich selber ein bissel in Mathe weiterzubilden.

Logarithmus ist ein feines Thema, aber bei der Berechnung mit Hilfe meines Taschenrechners scheitere ich.

Alles was ich habe, ist eine "ln" und eine "log" Taste.

Den natürlichen Logarithmus auszurechnen ist einfach,
um ln3 zu errechnen drücke ich die "ln" Taste und dann die 3.

Leider kann ich nicht prüfen, ob das so richtig ist. Kann mir jemand ne ln Aufgabe mit Ergebnis stellen?

Wofür benutzt man eigentlich den natürlichen Logarithmus? Irgendein Beispiel/Aufgabe?



Nun zu meiner Frage. Das Problem ist der logarithmus mit selbstgewählter Basis. Sagen wir mal, Bei der "log" Taste scheint der Taschenrechner den dekadischen Logarithmus vorrausszusetzen.

Wenn ich jetzt aber das hier ausrechnen möchte:

(wenn ein "^" davor steht, handelt es sich um einen Exponenten)

3^x = 9
x = 3log9

Dann komme ich nicht vorran, da der Taschenrechner nach der Eingabe einer Zahl aufhört.

Also "3" + "log" liefert bereits ein Ergebnis, un eine weitere Neun macht dann keinen Sinn mehr.

Haben andere Taschenrechner mehr Logarithmus Tasten? Der hier hat echt nur die beiden.

Gibt es irgendeinen workaround, mit dem ich den Logarithmus mit selbstbestimmter Basis dennoch berechnen kann?





Und aus reinem Interesse: Wofür braucht man überhaupt einen Logarithmus mit nicht selbst bestimmter Basis?

tombman
2005-09-06, 20:48:28
du bedienst das Gerät falsch.

Zuerst gibt man die Zahl ein, DANN drückt man log/ln.

3log9 --> 9.log.*.3.= ;)

Außerdem falsch gerechnet auch noch.

3^x=9
xlog3=log9
x=log9/log3
x=2

Gast
2005-09-06, 20:52:32
Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe jetzt "9" "log" "*" "3" eingetippt, aber das Ergebnis ist 3.8627 ... , und nicht die erhoffte 2 ...

tombman
2005-09-06, 20:53:41
Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe jetzt "9" "log" "*" "3" eingetippt, aber das Ergebnis ist 3.8627 ... , und nicht die erhoffte 2 ...

Schau mal mein update an ;)

Gnafoo
2005-09-06, 20:56:58
Stichwort Logarithmusregeln. Der Taschenrechner macht das nicht direkt.

3^x = 9
x = 3_log 9
x = log 9 / log 3
x = 2

oder allgemein:

a_log b = log b / log a

@tombman das was du da am taschenrechner machst, ist entweder bei deinem etwas spezielles, oder du nimmst den logarithmus von 9 und multiplizierst ihn mit 3.

tombman
2005-09-06, 20:59:24
Stichwort Logarithmusregeln. Der Taschenrechner macht das nicht direkt.

3^x = 9
x = 3_log 9
x = log 9 / log 3
x = 2

oder allgemein:

a_log b = log b / log a

@tombman das was du da am taschenrechner machst, ist entweder bei deinem etwas spezielles, oder du nimmst den logarithmus von 9 und multiplizierst ihn mit 3.

1. zu spät :)
2. jo, des wollte ich auch, wollte ja nur zeigen wie er es richtig eingeben muß
3. mit ist dann aufgefallen, daß die Rechnung an sich Blödsinn ist ud habs dann dazugeschrieben, was uns wieder an Punt 1 führt :D

Pinoccio
2005-09-06, 21:01:15
"Schuld" sind die Logarithmengestze.
Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Logarithmengesetze) hilft weiter, zumal man dort besser Formeln schreiben kann.
Ln meint übrigens Logarithmus naturalis, das ist der zur Basis e, der Eulerschen Zahl.
/edit:
Ld meint meist den den dekadischen (=10) und lb den zur Basis zwei (binär). (<- Meine Erfahrung, andere Benenungen sind üblich, siehe dazu Bedienungsanleitung des entsprechenden Models oder testen.)
Ein vierter wäre natürlich möglich, ist mir auf Taschnerechnern noch nicht untergekommen.
Umrechnung wie folgt: http://mathworld.wolfram.com/images/equations/NaturalLogarithm/equation5.gif
Nochmehr als Wikipedia weiß in dem Bereich Wolfram Research (http://mathworld.wolfram.com), was die nicht wisen gibt es nicht. ;-) Naja, fast.

mfg Sebastian

Gast
2005-09-06, 21:01:27
Ja, so geht es, danke!

log9/log3
ist also der Workaround, und ergibt das Richtige Ergebnis.

Das Ergebnis ist mit ln genau dasselbe wie mit log, also war meine Vermutung über den dekadischen Logarithmus der log Taste richtig.

Da kommen allerdings Verständnisprobleme auf.

Wieso ist:
log9 / log3 = 9log3
?

wenn ich das richtig verstehe, wird ja jetzt ausgerechnet, welchen exponenten die Zahl 10 (oder bei ln halt e) hätte, um 9 zu ergeben.

Das Ergebnis dann durch dasselbe mit 3 statt 9.

Bist du da von selber drauf gekommen? Für mich ergibt das keinen Sinn ... Aber immerhin funktioniert es.




Und warum gibt es überhaupt 4 (hoffe ich liege richtig) verschiedene, häufig verwendete Logarithmus Basen, wenn im Prinzip immer dasselbe Ergebnis raus kommt?


Wäre schön, wenn du mir zumindestens das mit dem ln9/ln3 erklären könntest, interessiert mich jetzt echt, warum das funktioniert.

tombman
2005-09-06, 21:03:51
zu meiner Zeit in der Schule wurde das vielleicht noch anders gelehrt, weniger Regeln, mehr Verstehen ;)

Wenn man log (3^x) hat kann man die x "nach vorholen" und dann x MAL log 3 schreiben- im Enfeffekt kommt es das richtige raus ;)

tombman
2005-09-06, 21:05:55
Wieso ist:
log9 / log3 = 9log3
?


Da stimmt ja auch nicht. das mit dem 9log3 hatte ich nur hingeschrieben um zu zeigen wie man es in den Rechner eingibt, mit der richtigen Lösung der Aufgabe hatte das nix zu tun. log9/log3 ist dann dafür zuständig ;)

Gast
2005-09-06, 21:10:14
Ja, war falsch herum.

Ich meinte 3log9 statt 9log3 ...


Also mir ist das Verständniss sehr wichtig. Ich mache Mathe ja eigentlich nur Interessehalber (wir sind noch nicht beim Logarithmus), und möchte wenns geht alles nachvollziehen können.

Was Wikipedia angeht, so ist das irgendwie nichts gutes zum Lernen, eher zum Wissen auffrischen.

Aber die Mentalität mancher Mitschüler ("Warum verstehen? Anwenden!") kann ich nicht so ganz verstehen.

Gnafoo
2005-09-06, 21:16:22
Der Beweis: (siehe auch den oben genannten Wikipedia-Artikel unter Basisumrechnung)

Man weiß:
r = b^b_log(r)

für b gilt das selbe wie für r eben:
= (a^a_log(b))^b_log(r)

wegen der potenzgesetze gilt:
= a^(a_log(b)*b_log(r)) = r

jetzt den logarithmus anwenden:
a_log(b)*b_log(r) = a_log(r)

division:
b_log(r) = a_log(r) / a_log(b)

und damit ist das Gesetz bewiesen.

tombman
2005-09-06, 21:40:04
hab mir auch gerade Gedanken gemacht, und ohne die Herleitung zu kennen oder das wiki, bin ich auf folgendes gestoßen.

log 3^2 = x | 10^

10^(log 3^2) = 10^x | 10^ und log heben sich auf (!)

3^2 = 10^x | Quadratwurzel

3= 10^x^(1/2)

3= 10^(x/2) | log

log 3 = x/2 | *2

2 log 3 = x

Daraus folgt: x= 2 log 3 = log 3^2 :cool:

Da 2 und 3 beliebige Zahlen sein können--> Gesetz bewiesen self made ;)

Gast
2005-09-06, 21:51:13
Danke ihr beiden! Jetzt hab ichs verstanden.

Gnafoo
2005-09-06, 21:55:12
@tombman

Das ist dann aber das andere Gesetz ;)

Außerdem solltest du beim Wurzelziehen eine Fallunterscheidung machen.
z. B.:

4 = x^2

fall 1:
x = 2

fall 2:
x = -2

Plutos
2005-09-06, 22:05:51
Wenn du noch was lernen (bzw. verstehen) willst, dann hab ich folgendes (leider recht bekanntes) Problem:
Sagen wir, du tust 100€ auf ein Konto. Dafür kriegst du (nur als Beispiel) 360% Zinsen pro Jahr, d.h. am Ende des Jahres werden dir die Zinsen gutgeschrieben.
Auf ein anderes Konto tust du auch 100€, dafür kriegst du 30% Zinsen pro Monat, d.h. am Ende jedes Monats werden dir die Zinsen gutgeschrieben.
Auf ein drittes Konto tust du auch 100€, dafür kriegst du 1% Zinsen pro Tag (drum die 360% am Anfang, damit halbwegs anschauliche Zinssätze rauskommen ;)) usw. usw.

Jetzt kannst du für jedes der drei Konten Formeln aufstellen, die dir den Kontostand in Abhängigkeit der Zeit angeben.

Das Problem, das es zu lösen gilt, ist: wie entwickelt sich dein Kontostand dann bei kontinuierlicher Verzinsung? D.h. die Zinsen werden sofort (nach einem infinitesimal kleinen Zeitraum, für den du natürlich auch nur einen infinitesimal kleinen Zinssatz kriegst) auf das Konto gutgeschrieben, dann natürlich (so wie bei den anderen Beispielen auch) wieder mit-verzinst usw. usw.

Wenn du das Problem noch nicht kennst und es selbst lösen kannst, wirst du mit Exponential- und Logarithmusfunktionen (gleich welcher Art) nie wieder Probleme haben ;) und du wirst feststellen, dass man in Wirklichkeit nur "den" Logarithmus braucht, also den natürlichen. Alle anderen sind mathematisch wie praktisch unnötig (btw kenn ich die Schreibweise ln=Basis e, lg=Basis 10, log=irgendeine Basis...lb hab ich noch nie gebraucht, klingt aber plausibel).

tombman
2005-09-06, 22:06:30
es ist das selbe Gesetz, weil 10 und log auch variabel sind. Es geht darum warum man den Exponent "nach vorne holen" darf und es trotzdem stimmt, alles andere wie verschiedene Basen und die dazugehörigen Logarithmen sind ja austauschbar.
Die wiki und meine Erklärung verwenden ja den gleichen Trick, nämlich die Potenzgesetze, daß (a^b)^c = a^(b*c) sind.
Es ging einfach darum sich aus der "unverständlichen" Ebene des logs zu erheben in die Potenzebene wo man leichter rechner kann, den Trick anwenden, und sich dann wieder "fallen zu lassen" auf die log Ebene, wo man dann den Schlußbeweis führen kann ;)

Klar, meine Erklärung ist mathematisch nicht so "rund", aber viel leichter zu verstehen für Anfänger ;) Und die Idee zu verstehen ist immer noch des wichtigste. Lehrer machen oft den Fehler irrsinnig komplizierte Formeln an die Wand zu malen, wo man soviel interne Übersetzungsarbeit leisten muß, daß zu Recht viele denken "Mathe ist scheiße", dabei wurden die leeten Dinge ja auch nur von Menschen erfunden und ned von Göttern, sollten also recht easy zu verstehen sein. Klar, nachher will der Erfinder seine Erkenntnis möglichst wasserdicht präsentieren und schreibt dann die Monsterterme hin, aber die Idee dahinter ist meistens immer sehr einleuchtend.

Spasstiger
2005-09-06, 23:27:27
Den log braucht man in der Praxis vor allem, wenn man was auf ner logarithmischen Skala aufgetragen hat und irgendwelche Ding damit ausrechnen soll, z.b. die Kurvensteigung (Bestimmung der Bandlücke von Halbleitern im Arrhenius-Plot ;)).

Den ln nimmt man zum Auflösungen von Exponentialfunktionen, z.b. unbeschränkte Wachstumsfunktionen fallen darunter (Bakterienwachstum z.b.).
Für Zerfallsfunktionen ist der ln ebenfalls wichtig (Altersbestimmung von Stoffen nach der C14-Methode).

Wenn man alles mit log oder alles mit ln rechnen will, aber verschiedene Basen hat, muss man durch log(Basis) bzw. ln(Basis) teilen.
Z.b. 2^x=4 => Basis 2 => x=log 4 / log 2 = ln 4 / ln 2
oder 3^x=5 => Basis 3 => x= log 5 / log 3 = ln 5 / ln 3