Wendepunkt von f(x) nachweisen ohne zweite Ableitung?

[baker]

Hi,

wie kann ich von einer gebrochen rationalen Funktion die Existenz eines Wendepunkts ohne Benutzung der zweiten Ableitung beweisen? Oder soll das "ohne Verwendung der dritten Ableitung" heißen und es ist ein Druckfehler?

[Spasstiger]

Wenn du nur beweisen sollst, dass die Funktion generell eine Wendestelle hat, du aber nicht den genauen Punkt bestimmen musst, kannst du folgendermaßen vorgehen:
Du beweist, dass die Funktion mindestens zwei Extrema hat. Die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums ist ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Extremstelle.
Zwischen zwei Extrema (welche zwangsläufig Minima und Maxima im Wechsel sein müssen), muss sich auf jeden Fall eine Wendestelle befinden.

[baker]

Wenn du nur beweisen sollst, dass die Funktion generell eine Wendestelle hat, du aber nicht den genauen Punkt bestimmen musst, kannst du folgendermaßen vorgehen:
Du beweist, dass die Funktion mindestens zwei Extrema hat. Die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums ist ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Extremstelle.
Zwischen zwei Extrema (welche zwangsläufig Minima und Maxima im Wechsel sein müssen), muss sich auf jeden Fall eine Wendestelle befinden.

Es gibt allerdings nur ein Maximum, bzw das andere Maximum ist nicht definiert. Zählt das dann trotzdem? Dort ist eine senkrechte Asymptote.


edit: der Bruch wird quadriert

f(x)= [(x-2) / (x+2)]2

[baker]

Vielleicht zu ungenau meine Fragestellung:

Der Graph hat bei (2/0) einen Tiefpunkt, der wohl gleichzeitig ein Wendepunkt ist. Der graph verläuft also in etwa parbellförmig, mit (2/0) als Scheitelpunkt. Die x- Achse wird wegen der Quadrierung nie geschnitten. Nach (2/0) steigt der Graph also wieder, gegen die Asymptote y= 1. Jetzt soll ich beweißen, dass es für x>2 keinen Wendepunkt mehr gibt. Der Graph verläuft, wie gesagt gegen y=1, wenn x gegen unendlich geht.


kleine Skizze:

http://666kb.com/i/10viooti1s4qo.png

[radi]

naja f(x)>2 kanns ja dann nur im negative x-Bereich geben. also x gegen "minus-unendlich" laufen lassen.

Find meinen rechner grad nich also nich böse sein wenn ich mist erzähle :D

[baker]

naja f(x)>2 kanns ja dann nur im negative x-Bereich geben. also x gegen "minus-unendlich" laufen lassen.

Find meinen rechner grad nich also nich böse sein wenn ich mist erzähle :D


f(x) ist an vielen stellen größer als 2, wie Du dem Graphen entnehmen kannst. Es geht darum, wie man ohne f''(x) nachweist, dass es bei x>2 einen Wendepunkt gibt, oder eben keinen.

[radi]

naja im positiven x-bereich schon mal nicht wie man ja auf deiner skizze sieht.

guck doch obs irgendwo nullstellen gibt. da sollte dann auch nur die eine bei x=2 rauskommen. also kanns auch links keinen naderen wendepunkt mehr geben. und dazu haste dann nicht die 2. sondern nur die 1. ableitung gebraucht :D

[baker]

Wenn du nur beweisen sollst, dass die Funktion generell eine Wendestelle hat, du aber nicht den genauen Punkt bestimmen musst, kannst du folgendermaßen vorgehen:
Du beweist, dass die Funktion mindestens zwei Extrema hat. Die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums ist ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Extremstelle.
Zwischen zwei Extrema (welche zwangsläufig Minima und Maxima im Wechsel sein müssen), muss sich auf jeden Fall eine Wendestelle befinden.


Jetzt verstehe ich was Du meinst. Danke euch beiden. Problem ist gelöst.