Radius des Kreises [kompliziert!!]

[ethrandil]

Hallo,
ich versuche grade ein Optimierungsproblem zu lösen und mir ist aufgefallen, dass ich enorme Vorteile erreichen könnte, wenn ich folgendes Lösen könnte:

Ich habe eine endliche Anzahl von Kreisen, deren Radien ich kenne. (Die Radien sind unterschiedlich und Ganzzahlig.)
Ich kenne die Reihenfolge, in der ich alle Kreise in einer geschlossenen Kette aneinanderlegen will.

Ich suche den Radius [R] desjenigen Kreises, in den die Kette 'gerade eben' hineinpasst, sodass jeder Kreis den Umkreis berührt!

gibt es da exakte oder effizient numerisch berechenbare Möglichkeiten?
- Eth

[Thorn of Roses]

Usch... det är inte bra...

Und kompliziert. Hast du probiert ein gleichungssystem aus den Dreiecksgleichungen zu erstellen für die einzelnen Kreise erstellen? Hab grad wenig zeit, deswegen nur so eine lapidare antwort... werd bei gelegenheit mal rumprobieren.

muss es für eine beliebige anzahl von Kreisen sein oder für 7?

mit denkenden Grüssen,

-Thorn-

[AtTheDriveIn]

Aber so eine Kette lässt sich doch nicht immer von einem Kreis umschließen.

[Vicious]

Doch...nur sieht der Kreisinhalt, also die Kette der inneren Kreise mit bekannten Radien, dann ziemlich nichtssagend aus, was eine allgemeine Formel angeht.

[AtTheDriveIn]

Doch...nur sieht der Kreisinhalt, also die Kette der inneren Kreise mit bekannten Radien, dann ziemlich nichtssagend aus, was eine allgemeine Formel angeht.

Hmm, also wenn du beispielsweise den kleinsten Kreis in der Zeichnung rausnimmst, und näher zur Mitte wieder einsetzt, ohne die anderen zu verschieben (also quasi "gegenüber"), dann lässt sich diese Kette nichtmehr von einem Kreis umschließen. Jedenfalls nicht von einem der alle Innenkreise berührt.

Für mich sieht es so aus, als hätte man erst den Kreis gezeichnet und dann passend die Kleinen eingesetzt.

[Thorn of Roses]

Hmm, also wenn du beispielsweise den kleinsten Kreis in der Zeichnung rausnimmst, und näher zur Mitte wieder einsetzt, ohne die anderen zu verschieben (also quasi "gegenüber"), dann lässt sich diese Kette nichtmehr von einem Kreis umschließen. Jedenfalls nicht von einem der alle Innenkreise berührt.

Für mich sieht es so aus, als hätte man erst den Kreis gezeichnet und dann passend die Kleinen eingesetzt.

Dann ist aber folgende Bedingung nicht erfüllt:

sodass jeder Kreis den Umkreis berührt!

Und wenn eine voraussetzung ist das alle Kreise in der Kette sind und den Umkreis schneiden gehts (bis zu einem gewissen minmalradius der kreise im verhältnis zueinander) schon.

mit konstruierenden Grüssen,

-Thorn-

[AtTheDriveIn]

Dann ist aber folgende Bedingung nicht erfüllt:



Und wenn eine voraussetzung ist das alle Kreise in der Kette sind und den Umkreis schneiden gehts (bis zu einem gewissen minmalradius der kreise im verhältnis zueinander) schon.




Les mal genau. Eigentlich habe ich ja gerade das geschrieben. dann lässt sich diese Kette nichtmehr von einem Kreis umschließen. Jedenfalls nicht von einem der alle Innenkreise berührt. ;)

Mit anderen Worten, die Figur/Kette muß spezielle Kriterien erfüllen, damit man überhaupt so einen Kreis um sie ziehen kann. Für eine allgemeine Formel zu speziell.

Konstant ist die Länge der Verbindungslinie der Mittelpunkte, egal wie man die Kreise anordnet, daraus lassen sich aber imho keine Rückschlüsse auf den großen Kreis ziehen...

[hmx]

Hmmm also ich sehe da keine Möglichkeit. Du wirst nicht drum herum kommen entweder den Umfang oder den Flächeninhalt des äusseren Kreises zu wissen um den Radius zu berechnen. Anders geht es nicht, denn es würde ja bedeuten, dass man ohne Pi den Radius ausrechnen kann.
Aus den Informationen die gegeben sind sehe ich irgendwie nicht wie man an den Umfang oder an den Flächeninhalt kommt...

[1337_H4X0R_d00d]

Schonmal versucht in den inneren Dreiecken zwischen 2 kleinen Kreismittelpunkten und dem Mittelpunkt des grossen Kreises den Kosinussatz oder ähnliches anzuwenden und damit den Winkel auszudrücken. Dann haste auch die Bogenlänge aussen in Abhängigkeit von R. Dann noch die Summe über die Bogenlängen - 1e Gleichung 1e Unbekannte.
Keine Ahnung ob das funzt, hab mir nur 5 Minuten Gedanken gemacht.
Wenns nicht geht hab ich mich nach 2 Jahren umsonst registriert :hammer:

[Demokrit]

Vielleicht kann Dir ja auch jemand dort (http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik?hl=de) weiterhelfen.

[Krisz]

Schonmal versucht in den inneren Dreiecken zwischen 2 kleinen Kreismittelpunkten und dem Mittelpunkt des grossen Kreises den Kosinussatz oder ähnliches anzuwenden und damit den Winkel auszudrücken. Dann haste auch die Bogenlänge aussen in Abhängigkeit von R. Dann noch die Summe über die Bogenlängen - 1e Gleichung 1e Unbekannte.
Keine Ahnung ob das funzt, hab mir nur 5 Minuten Gedanken gemacht.
Wenns nicht geht hab ich mich nach 2 Jahren umsonst registriert :hammer:Naja, rein theoretisch sollte das gehen, aber ich stelle mir das arg unangenehm vor. Grob durchdacht führt das auf eine Gleichung der Form

arccos(x1)+arccos(x2)+...+arccos(xn)=2Pi

wobei R in jedem xi (nichtlinear) vorkommt. Mit meinen bescheidenen mathematischen Kenntnissen würde ich mal behaupten, daß das exakt gar nicht geht und numerisch auch nicht wirklich schön ist.

Eine bessere Idee habe ich aber auch nicht parat...vielleicht fällt mir noch was ein...

[ethrandil]

Also ich habe eine relativ praktikable Möglichkeit um den Radius numerisch anzunähern...

Ich weiß, wie ich mit gegebenem Radius die Kreise arrangieren muss (das kann man mit dem Cosinussatz und den x-y-Koordinaten Ausrechnen).

Ich nehme zwei Startwerte, die garantiert größer und kleiner sind als der gesuchte Radius. Dann berechne ich, ob (größter+kleinster)/2 zu groß oder zu klein ist (indem ich mit diesem Radius die Kreise anordne). Entsprechend tausche ich die größere oder die kleinere Grenze gegen die neue aus und fange von vorne an.
So konvergieren meine Grenzradien zueinander und ich erhalte nach einigen Schritten den gesuchten Radius.

Ich habe grade nicht im Kopf wie viele Iterationen das sind, dürften aber um die zehn bis 15 sein.

mfg
- eth