Kurze Mathe-Frage zu Numb3rs [Archiv]

Senior Sanchez

2005-12-19, 22:27:03

Hat jemand das gerade mit der Ziege und dem Auto gesehen?

Da waren drei verdeckte Karten, unter einer war ein Auto, unter den anderen beiden jeweils ne Ziege.
Nun sollte ne Frau (die ja gerne das Auto hätte), sich ne Karte aussuchen. Das tat sie und eine andere Karte wurde anschließend aufgedeckt, unter der sich eine Ziege befand.
Nun wurde sie gefragt, ob sie gerne die andere Karte nehmen möchte und sie verneinte. Der Typ meinte dann aber, sie solle es besser tun, weil wenn sie die Karte wechselt wäre ihre Gewinnchance jetzt doppelt so groß. Kann das jemand erklären?

Ich kanns mir nur erklären, dass die Wahrscheinlichkeit jetzt ne Ziege zu ziehen nur noch 1/3 beträgt (weil eine Ziege ja schon aufgedeckt wurde), aber die Auto-Karte dann ja somit zu 2/3, also doppelt so hoch wie zum Anfang, gezogen werden kann. Dabei würde aber halt die erste aufgedeckte Karte miteinbezogen werden, würde ich das dagegen nicht machen ständen die chancen ja 1:1.

Kann mir da jemand weiterhelfen wie das nun gemeint war?

Senior Sanchez

2005-12-19, 22:36:31

Wieso man sich umentscheiden sollte, weiß ich nun, allerdings, habe ich kein Plan wie man auf die Verdopplung der Chance kommt.

Sephiroth

2005-12-19, 22:43:26

Senior Sanchez[/POST]']Wieso man sich umentscheiden sollte, weiß ich nun, allerdings, habe ich kein Plan wie man auf die Verdopplung der Chance kommt. Verdopplung is nich, aber höher als vorher ist sie jedenfalls.

zu Beginn: 2/3 für Ziege, also 1/3 für Auto
nachdem eine Ziegen-Karte aufgedeckt wurde: 1/2 für beides

Senior Sanchez

2005-12-19, 22:47:19

Verdopplung is nich, aber höher als vorher ist sie jedenfalls.

zu Beginn: 2/3 für Ziege, also 1/3 für Auto
nachdem eine Ziegen-Karte aufgedeckt wurde: 1/2 für beides

Japs, genau, deshalb sollte man sich umentscheiden, weil man die Entscheidung aus einer größeren Wahrscheinlichkeit heraus trifft.

Aber wie der auf die Verdopplung kommt, ich habe keinen Plan!

Spasstiger

2005-12-20, 00:31:49

Sephiroth

2005-12-20, 00:56:57

Unfug

2005-12-20, 01:13:33

vllt haben die ja 1/3 + 1/2 zusammenaddiert:-)
Am Anfang hatte sie eine chance von 1/3 .. nach den Ereignissen + die Wahrscheinlichkeit am Anfang = 5/6

http://de.wikipedia.org/wiki/Monty-Hall-Dilemma

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt anfangs 1/3. Nach dem Öffnen eines Nieten-Tores ist die Wahrscheinlichkeit für das gewählte Tor immer noch 1/3 (wieso sollte sie sich auch ändern?!).
Logischerweise ist dann die Gewinnwahrscheinlichkeit für das andere Tor 2/3 (Summe muss 1 ergeben und hinter einem der beiden Tore ist ja auf jeden Fall der Gewinn).

Erzähl das mal einem Mathematiker oder ähnliches (E-techniker z.b) die springen Dir mit nacktem Hintern ins Gesicht. Im ersten Sem. lernt man das es nicht so ist :|

tombman

2005-12-20, 03:29:09

Also ich versteh das so: das Auto zu gewinnen liegt bei 1/3. Nicht zu gewinnen also 2/3.
Dh, auf DEINER WAHL liegen schon mal 1/3 Wahrscheinlichkeit, auf DEN BEIDEN ANDEREN WAHLEN liegen 2/3. Wenn der Mod. jetzt EINE DER ANDEREN WAHLEN aufmacht, fallen die ganzen 2/3 auf die, die er nicht aufgemacht hat. Also liegen 2/3 auf der ungeöffneten und 1/3 auf deiner. Der Mod. verschiebt also nur die 2/3 von 2 Wahlen auf 1 Wahl --> deshalb doppelt so hohe Wahrscheinlichkeit wenn du wechselst ;)

123456

2005-12-20, 06:14:05

http://de.wikipedia.org/wiki/Monty-Hall-Dilemma

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt anfangs 1/3. Nach dem Öffnen eines Nieten-Tores ist die Wahrscheinlichkeit für das gewählte Tor immer noch 1/3 (wieso sollte sie sich auch ändern?!).
Logischerweise ist dann die Gewinnwahrscheinlichkeit für das andere Tor 2/3 (Summe muss 1 ergeben und hinter einem der beiden Tore ist ja auf jeden Fall der Gewinn).

Meiner Meinung nach ist das vollkommen unsinnig, auch wenn es laut Wikipedia stimmen mag, was ich persönlich bezweifle.

Das Experiment ist doch nichts anderes als: Drei Kugeln sind in einer Urne. Zwei davon sind rot (= Niete), eines ist blau (= Gewinn). Es ist ein Versuch - um es mit 11. Klasse-Mathe-Basiskurs-Ausdrücken zu beschreiben - ohne Zurücklegen. Dementsprechend sieht das Baumdiagramm doch so aus:

http://img471.imageshack.us/img471/2319/unbenannt12gd.jpg

Eine rote Kugel wird gezogen. Es bleiben zwei Kugeln übrig. Ergo hat man jetzt eine Chance von 50 % die richtige Kugel zu ziehen.

Verstehe das Problem ehrlich gesagt nicht.

Logische Überlegung: Wenn man zwei Tore hat - eins mit einem Preis, eins mit einer Niete -, man weiß nicht, hinter welchem Tor was ist - wie kann die Wahrscheinlichkeit dann ungleich verteilt sein? Wenn ich bei "Wer wird Millionär?" den 50-50-Joker benutze, liegt die Wahrscheinlichkeit anschließend die richtige Antwort zu erwischen auch bei 50 %, oder nicht?

tombman

2005-12-20, 07:38:38

Lies dir das wikipedia noch mal genau durch. Es kann nicht sein, daß die Information des Aufdeckens völlig unbeachtet bleibt. Das muß sich auf die Wahrscheinlichkeit auswirken. Allein aus dieser Überlegung heraus kann es nicht egal sein, was vorher passiert ist.
Wikipedia hat schon Recht.

Außerdem muß man genau auf die Fragestellung achten. Es heißt NICHT "was vorher passiert interessiert keinen, und JETZT wähle einfach zwischen zwei Toren", SONDERN es heißt "ZUERST WÄHLST du eine TOR, DANN deckt der Mod auf, und JETZT wollen wir wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist bei Wechsel oder Nichtwechsel, daß du gewinnst".. das sind nun mal andere Fragestellungen.

Haarmann

2005-12-20, 07:40:03

Senior Sanchez

Wenn der Moderator diese Option unabhängig vom Inhalt des gewählten Tores anbietet, das ist die zentrale Bedingung, dann gewinnt man bei einem Wechsel tatsächlich mit 2/3 statt 1/3 im Schnitt. Du verlierst nämlich nur dann, wenn Du am Anfang den Gewinn gewählt hast und das tust bekanntlich mit 1/3. Falls Du aber auf einer Niete stehst, was in 2/3 der Fälle zu erwarten ist, dann stehst bei einem Wechsel ganz automatisch auf dem Gewinn.

Hesky

2005-12-20, 10:01:16

Für mich ist das alles Käse. Wenn man was erraten soll, kann man soviel ausrechnen wie man will. Die Berechnung bringt glaub ich nur dann etwas wenn man so einen 3-Türen-Test mit 100 Leuten durchführt und am Ende eine Statistik aufstellen will. Warum sollte man durch eine Berechnung mehr Glück haben die richtige Tür zu erwischen ?

spike.sp.

2005-12-20, 10:07:19

logik, es ist so...

sepperator

2005-12-20, 10:29:19

Vor Jahren kann ich mich an die selbe Diskussion erinnern und darum hab ich damals das tool geschrieben:

Becherspiel (http://www.usv-stmarein.com/public/becherspiel.zip)

Also wenn ihr es nicht glauben könnt, das Programm berechnet die Wahrscheinlichkeiten.

noid

2005-12-20, 10:43:32

Nehmt doch mal mehr Türen!

Dann wird die Sache einfacher.
Nehmen wir 100 Türen. Ihr bleibt immer bei einer Tür, dann ist die Chance, dass ihr gleich richtig liegt bei 1%. Klingelt es jetzt?

50% Chance ist falsch, da erworbenes Wissen nicht angewandt wird. Da sagt der Mathematiker auch nicht "faaaalsch!" (außer er hat nicht aufgepasst). Wer es nicht glaubt, der soll sich den Baum nochmal richtig aufzeichnen und dann zusammenzählen ,)

AlSvartr

2005-12-20, 11:02:53

Hmm..also das ist vielleicht etwas verwirrend, aber ich seh das so:
http://root.alsvartr.de/forum/3dc/3tore.png

Wenn wir jetzt mittels der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit alle Faelle betrachten, in denen wir uns umentscheiden, dann kommen wir auf P(c|c1a,ob)*P(ob|c1a)+P(b|c1a,oc)*P(oc|c1a)+P(c|c1b,oa)*P(oa|c1b)+P(a|c1b,oc)*P( oc|c1b)+P(b|c1c,oa)*P(oa|c1c)+P(a|c1c,ob)*P(ob|c1c)

Dabei entspricht jeder der Summanden (1/3)^2, also 1/9, womit wir 6*1/9=6/9=2/3 fuer alle Faelle erhalten, in denen wir uns nach dem Oeffnen des Nietentores umentscheiden.

Natuerlich alles ohne Gewaehr..und ja, ich weiß, dass das Ding nicht gerade ideal beschriftet ist und so ;)

alkorithmus

2005-12-20, 11:46:22

Bist du jetzt von 3 verschiednen möglichen Lösungen ausgegangen?
Das verwirrt mich zutiefst :usad:

noid

2005-12-20, 11:53:41

Bist du jetzt von 3 verschiednen möglichen Lösungen ausgegangen?
Das verwirrt mich zutiefst :usad:

ja, ist er. 2/3 ist vollkommen korrekt.

josefYY

2005-12-20, 13:33:39

vllt haben die ja 1/3 + 1/2 zusammenaddiert:-)
Am Anfang hatte sie eine chance von 1/3 .. nach den Ereignissen + die Wahrscheinlichkeit am Anfang = 5/6

Erzähl das mal einem Mathematiker oder ähnliches (E-techniker z.b) die springen Dir mit nacktem Hintern ins Gesicht. Im ersten Sem. lernt man das es nicht so ist :|

Das sehe ich nicht so, und ich bin Mathematiker.
Wer den Sachverhalt verstehen will, sollte sich den Kommentar von Spasstiger mal in Ruhe durchlesen. Er hat nämlich völlig recht.
Gruss

p]A[n

2005-12-20, 16:40:00

Ich sehe das so:

http://img284.imageshack.us/img284/9395/balbla4vm.th.jpg (http://img284.imageshack.us/my.php?image=balbla4vm.jpg)

Schön aufgezeichnet mit Kugeln und Ereignissbaum :)
Passt doch so, oder?

/Edit Nein, blödsin genauso stimmts nicht ^^

Sry, naja zumindest ein bildliches Bsp fürs Falschedenken :)=

Mfg Pan

SethGecko

2005-12-20, 16:54:13

Gute Erklärung des "Ziegenproblems"

http://www.remote.org/frederik/projects/ziege/index.html.de

mfg Seth

Spasstiger

2005-12-21, 18:29:27

Erzähl das mal einem Mathematiker oder ähnliches (E-techniker z.b) die springen Dir mit nacktem Hintern ins Gesicht. Im ersten Sem. lernt man das es nicht so ist :|

Ich studiere Elektrotechnik (drittes Semester) und bin voll überzeugt, dass meine Lösung richtig ist. Auch empirisch lässt sich zeigen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit nach einem Wechseln höher ist. Mach doch einfach mal das Spiel mit einem Kumpel über sagen wir 50 Runden - einmal nur mit Wechseln, einmal nur ohne.
Du kannst dafür auch Computerprogramme verwenden bzw. selber schreiben. Wenn du willst, setz ich dir kurz ein Excel-Dokument auf, was das Problem simuliert.

Spasstiger

2005-12-21, 20:22:06

http://www.junk.paulm.com/Monty_Hall_Dilemma.xls

Hier habe ich mal eine Excel-Tabelle erstellt, die das Monty-Hall-Dilemma simuliert.
Kurze Erklärung
--------------
Es werden dabei 500 Spiele erzeugt und bestimmt, wie oft der Kandidat mit und ohne Wechseln des Tores gewonnen hat.
Die Gewinntore und die Tore, die der Kandidat wählt, werden dabei per Zufallszahl erzeugt.
Das Tor, das der Moderator öffnet, wird abhängig von den Randbedingungen gewählt: Hat der Kandidat schon das Gewinntor gewählt, öffnet der Moderator per Zufall eins von den verbleibenden Toren. Hat der Kandidat ein Nietentor gewählt, öffnet der Moderator das andere Nietentor.
Dann wird für jedes Spiel bestimmt, ob der Kandidat gewinnt, wenn er wechselt und wenn nicht wechselt, nachdem der Moderator ein Tor geöffnet hat.
Rechts steht die Gesamtauswertung der Gewinne mit und ohne Wechseln.

Man sieht, dass der Anteil der Gewinne mit Wechseln stets zwischen ~65-70% liegt, während der Anteil der Gewinne ohne Wechseln nur bei ~30-35% liegt.

Um eine erneute Simulation zu starten, müsst ihr das Dokument aktualisieren. Dazu könnt ihr einfach in ein freies Feld was reinschreiben und mit Enter bestätigen.

P.S.: Was hat der Thread im Kunst/Musik/Film-Forum zu suchen?

josefYY

2005-12-21, 23:02:52

Ich studiere Elektrotechnik (drittes Semester) und bin voll überzeugt, dass meine Lösung richtig ist. Auch empirisch lässt sich zeigen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit nach einem Wechseln höher ist. Mach doch einfach mal das Spiel mit einem Kumpel über sagen wir 50 Runden - einmal nur mit Wechseln, einmal nur ohne.
Du kannst dafür auch Computerprogramme verwenden bzw. selber schreiben. Wenn du willst, setz ich dir kurz ein Excel-Dokument auf, was das Problem simuliert.
Ich kann das bezeugen. Ich gehöre zum 'Rat der Weisen' im Club der 3D-Center-Mathefreaks. :smile:
Scherz beiseite. Ich habe Mathe studiert, und ich kann dir versichern das Spasstiger recht hat.
Lies mal den Link den er angegeben hat genau durch, oder geh mal das Beispiel was Noid angegeben hat durch "Nehmt doch mal mehr Türen! Dann wird die Sache einfacher.
Nehmen wir 100 Türen. Ihr bleibt immer bei einer Tür, dann ist die Chance, dass ihr gleich richtig liegt bei 1%. Klingelt es jetzt?"

WedgeAntilles

2005-12-22, 02:07:24

Der Kardinaldenkfehler liegt bei folgendem:
Zwei Türen, Chance 50-50.
Dies unterstellt aber, dass die Türen völlig identisch sind.
Dies ist jedoch nicht der Fall, da die erste Runde des Spiels (der Moderator öffnet eine Ziegentür) außer acht gelassen wird.

Da die Türen nicht identisch sind ist auch ihre Wkeit das Auto zu enthalten nicht identisch.

Schön wird das auch an dem Gedankenspiel mit mehr Türen - sagen wir 1 Million.
Man wählt eine Tür.
Bleiben 999 999 Türen.
Der Moderator öffnet 999 998 Ziegentüren.
Bleibt eine davon übrig
Und die am Anfang gewählte.
Eine enthält das Auto.
2 Türen, die - ohne die erste Runde - gleich sind. Fifty Fifty.
Aber es GAB eben eine erste Runde.
Keiner wird jetzt sagen dass es egal ist welche Tür man nimmt, denn es ist einsichtig, dass die Wkeit beim ersten mal die richtige Tür zu erwischen 1:1 000 000 war.

Die Türen sind eben nicht mehr identisch, durch das wechseln wechselt man auf eine Tür deren Chance durch die erste Runde kummuliert wurde. Auf 999 999:1

Aber ist ein sehr interessantes Problem, so was kann man immer gut in ner Diskussionsrunde bringen :)

kevsti

2007-09-09, 23:02:05

Also ich habe mir am Anfang gedacht "Sind den hier alle, die glauben, das, dass mit den Wechseln sinn macht nur blöd?", aber meine ersten bedenken gabs durch diesen kleinen PC Tool, aber ich kannte ja den Quellcode nicht, daher war ich immer noch überzeugt.. nachdem ich mit dem Thread fertig war, habe ich mir aber nochmal den Wikipedialink durchgeschaut.. und dachte auch das Wikipedia blöd ist ;) habs aber versucht mal ernst zu nehmen.. und als ich dann beim 1. Bildschema (Schema für die (richtige) „Immer-Wechsel“-Strategie) angekommen bin und es ne minute auf mich einwirken gelassen habe, ist mir aufgefallen, das ihr echt recht habt ;) Wäre die sache nicht so kompliziert, wäre es echt nen schöner Trick um leute reinzulegen bzw. ihre sinne

Henry

2007-09-10, 00:29:09

der unterschied zwischen ergebniss-1/2 und ergebniss-1/3 liegt darin, dass bei 1/2 eine zufällige auswahl getroffen wird. bei 1/3 ist dies aber nicht der fall, denn der moderator weiß wo die lösung ist und "manipuliert" somit die auswahl. er wird niemals die lösung vorzeitig ausdecken.

Alchemist

2007-09-11, 19:14:54

Demnach ist das aber auch nur eine mathematische Spielerei, die in der Realität keine Entsprechung findet, es also keinen Vorteil bringt die Tür zu wechseln?

rotalever

2007-09-11, 19:45:56

Demnach ist das aber auch nur eine mathematische Spielerei, die in der Realität keine Entsprechung findet, es also keinen Vorteil bringt die Tür zu wechseln?
Natürlich bringt es was. Man erhöht die Wahrscheinlichkeit auf den Gewinn. Wie es einige schon korrekt zusammengefasst haben. Und wenn man mit mehr Türen spielt, wird das ganze sogar besser.

#44

2007-09-11, 19:59:26

Leichenschänder :biggrin:

Haarmanns Post auf der 1. Seite hat bei mir sehr zum Verständniss beigetragen:
Wenn der Moderator diese Option unabhängig vom Inhalt des gewählten Tores anbietet, das ist die zentrale Bedingung, dann gewinnt man bei einem Wechsel tatsächlich mit 2/3 statt 1/3 im Schnitt. Du verlierst nämlich nur dann, wenn Du am Anfang den Gewinn gewählt hast und das tust bekanntlich mit 1/3. Falls Du aber auf einer Niete stehst, was in 2/3 der Fälle zu erwarten ist, dann stehst bei einem Wechsel ganz automatisch auf dem Gewinn.

Spasstiger

2007-09-11, 20:20:09

Dieses mathematische Problem ist echt der Dauerrenner. In fast jedem Semester kommt das an der Uni in irgendeinem Zusammenhang, dieses Semester z.B. in der Systemtheorie (bei stochastischen Signalen).

rotalever

2007-09-11, 21:15:59

Dieses mathematische Problem ist echt der Dauerrenner.
Das liegt wahrscheinlich daran, dass eigentlich das Problem an sich sehr verständlich ist, wer kennt halt keine Quizshow? Aber dafür eben doch etwas mehr logik dahintersteckt und man ein wenig mehr nachdenken muss.

Actionhank

2007-09-11, 21:24:22

es gibt ja sogar die anekdote, dass ein matheprof das nicht einsehen wollte und erst von seinen mitarbeitern mittels computerprogramm davon "überzeugt" werden musste.

insgesamt verstehe ich das verständnisproblem nicht so ganz. weil im endeffekt hab ich die wahl zwischen 2 mengen, wobei die wahrscheinlichkeit, dass der gewinn in der einen ist, 1/3 ist und die der anderen 2/3

Alchemist

2007-09-11, 22:06:56

Naja, es widerspricht schon dem gesunden Menschenverstand. Ich weiss: Da sind nun nur noch zwei Türen, eine Niete, ein Gewinn. Also Chance 50:50. Doch habe ich zuvor mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 die Niete gewählt. Mathematisch ist das schon einsichtig. Aber letztlich ist das doch einfach schrecklich seltsam. Eine 50:50-Situation die keine 50:50 Situation ist. Ist zum Verrücktwerden.

Spasstiger

2007-09-12, 16:01:42

rotalever

2007-09-12, 16:10:14

jede mögliche Ziehung hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.
Mathematisch ja...

Thomas(:

2007-09-12, 17:12:30

Es gibt ja auch Leute, die meinen, sie spielen Lotto nach System, wenn sie Zahlen tippen, die noch nie gezogen wurden. Aber mathematisch gesehen ist das Quatsch, jede mögliche Ziehung hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Dabei gehts vor allem darum, Zahlen zu tippen, die andere nicht tippen (da gibts ja Statistiken, was beliebt ist). Wenn man dann gewinnt ist die Wahrscheinlichkeit geringer, dass noch jemand einen 6er hat.

Das mit den Toren ist doch einleuchtend:
Anfangs wählt man zu 1/3 das Auto aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto unter einer der anderen Karten liegt ist 2/3. Da die Zeige aufgedeckt wird, liegt das Auto zu 2/3 unter der anderen Karte. Ich liebe solchen theoretischen Mist ;)

pt3

2007-09-12, 18:50:37

Wenn ihr das Problem nicht versteht, müsst ihr euch das Problem größer vorstellen als nur mit 3 Türen.
Stellt euch z.B. 1mio Türen vor. Nur hinter einer Tür verbirgt sich das Auto. Daraus dürft ihr eine Tür auswählen. Anschließend streiche ich 999998 definitiv falsche Türen und ihr habt die Wahl die eine noch verbliebene Tür zu nehmen oder eure zu behalten. Und? Würdet ihr tauschen?;)