Konvergenz/Divergenz einer komplexen Potenzreihe

[pippo]

Hab grad ein kleines Problem, wobei ich nun schon 2 Stunden hänge! Gegeben ist folgende Potenzreihe:

Summe von n=0 bis unendlich von (3n+4)(z+j)^n /2^n
Nun hab ich den Radius ausgerechnet und muss 2 Punkte überprüfen, die sich auf der Kreislinie befinden (+/- Wurzel aus 3)

Setze ich nun z.B. +Wurzel3 ein, erhalte ich:
Summe von n=0 bis unendlich von (3n+4)(Wurzel3+j)^n /2^n

Mit Hilfe des Quotienten- und Wurzelkriteriums lassen sich keine aussagen treffen, da das Ergebnis jeweils 1 ist. Eine alternierende Reihe ist es ja auch nicht, somit fällt Leibniz flach. Wie prüf ich das nun?

[Plutos]

Sorry wenn ich mal so blöd frag, aber ich meine, mit daran zu erinnern, dass ich in meinem Studium gehört hab, dass auf den Komplexen Zahlen keine Ordnungsrelation definiert ist (und das auch nicht ohne weiteres möglich ist). Kann aber auch sein, dass ich da total aufm Schlauch steh.

[pippo]

Was meinst du mit Ordnungsrelation? also definiert ist jeder Punkt auf dem Kreis. Entweder als konvergent oder divergent. In allen Büchern ergibt es nur zufällig immer alternierende Reihe oder es ist offensichtlich, dass es keinen Grenzwert gibt. Wie es zu erwarten war, ists in der Prüfung wieder anders

[Plutos]

Was meinst du mit Ordnungsrelation? also definiert ist jeder Punkt auf dem Kreis. Entweder als konvergent oder divergent. In allen Büchern ergibt es nur zufällig immer alternierende Reihe oder es ist offensichtlich, dass es keinen Grenzwert gibt. Wie es zu erwarten war, ists in der Prüfung wieder anders

Die Ordnungsrelation ">" (bzw. "<") als "größer" bzw. "kleiner". Die gibt es nur bis hin zu den rationalen Zahlen (war das nicht auch einer der Gründe dafür, dass die Menge der komplexen Zahlen C kein Körper ist?). Diese Relation brauchst du ja eigentlich zwingend mal, wenn du Konvergenz beweisen sollst. Daher kann ich mir nicht so ganz vorstellen, wie das gehen soll.

Andererseits, nach nochmaligen Lesen der Aufgabe, bleibt dir wohl nur noch die Möglichkeit, die Potenzreihe auf eine zurückzuführen, von der bekannt ist, ob sie konvergiert oder divergiert. Dazu bräuchtest du dann aber wie gesagt o.g. Ordnungsrelation (und bei komplexen Zahlen u, v gibt es nunmal kein u>v oder u<v).

[pippo]

So genau kenn ich mich jetz auch nicht aus :) Der Prof hat nur gemeint, dass es machbar ist und in den Büchern wird es auch überall berechnet. Leider werden im Script und in den Büchern immer so offensichtliche Lösungen verwendet :(

[Pinoccio]

Komplexen ZahlenGroßer Schlauch.
a) C (die komplexen zahlen) bilden einen Körper. (Ordnungs-)Relationen sind dafür nämlch egal.
b) Natürlich gibt es eine Ordnungsrelation (das sagt uns das Auswahlaxiom), aber diese muss weder angebbar noch sinnvoll sein.
c) Inwiefern steht das mit er Aufgabenstellung in einem Zusammenhang?

Diese Relation brauchst du ja eigentlich zwingend mal, wenn du Konvergenz beweisen sollst.Nein. Du brauchst einen "Abstand", eine Abbildung K->R* (R*=R+ mit 0), keinen Betrag auf dem Körper selber

Zum Thema: Die Definition einer Potenzreihe so wie ich sie gelernt habe, verlang, daß sie innerhalb des Kreises konvergiert, soll heißen, auf der Kreislinie nicht. Daß die Reihe dann sowohl im Quotienten- als auch im Wurzel-Kriterium 1 liefert ist imho ja schon ein Hinweis darauf.

hth, mfg Sebastian

[pippo]

Ne, es ist so: Im Kreis ist die Konvergenz sicher, ausserhalb die Divergenz. Vom Kreis braucht jeder Punkt einzeln untersuchen. So steht es sogar im Papula und den andern Büchern die ich hab. Dass das Quotienten- und Wurzelkriterum 1 liefern ist für mich eher ein Hinweis darauf, dass eben keine genaue aussage getroffen werden kann und die Reihe näher untersucht werden muss. Wäre die Kreislinie bereits Divergent, dann würden die beiden Kriterien ein Ergebnis >1 liefern

[Pinoccio]

Ne, es ist so: Im Kreis ist die Konvergenz sicher, ausserhalb die Divergenz. Vom Kreis braucht jeder Punkt einzeln untersuchen. [...]
Dass das Quotienten- und Wurzelkriterum 1 liefern ist für mich eher ein Hinweis darauf, dass eben keine genaue aussage getroffen werden kann und die Reihe näher untersucht werden muss. Wäre die Kreislinie bereits Divergent, dann würden die beiden Kriterien ein Ergebnis >1 liefernKann sein, daß es auch so war. (Ich mag Analysis nicht, dementsprechend sicher bin ich mir.)
Was daß WK und das QK betrifft, so ist es ein Irrtum zu glauben, daß aus der Divergenz folgt, daß das Kriterium >1 liefert. Populärstes (Gegen-)Beispiel ist die harmonische Reihe.
Was bleibt ist, daß bei =1 man sich was überlegen muss.
Der Ausdruck (2^n) unterm bruchstrich lässt mich aufs Reihenverdichtungslemma (http://www.matheraum.de/read?t=34036&v=t)* schielen ...

Im Missverständnisse zu vermieden: Ist j deine Imaginäre Einheit?

mfg Sebastian

* Unter diesem Namen habe ich es gelernt, k.A. wie es "richtig" heißt.

[Plutos]

Großer Schlauch.
a) C (die komplexen zahlen) bilden einen Körper. (Ordnungs-)Relationen sind dafür nämlch egal.
b) Natürlich gibt es eine Ordnungsrelation (das sagt uns das Auswahlaxiom), aber diese muss weder angebbar noch sinnvoll sein.
c) Inwiefern steht das mit er Aufgabenstellung in einem Zusammenhang?

Nein. Du brauchst einen "Abstand", eine Abbildung K->R* (R*=R+ mit 0), keinen Betrag auf dem Körper selber

Zum Thema: Die Definition einer Potenzreihe so wie ich sie gelernt habe, verlang, daß sie innerhalb des Kreises konvergiert, soll heißen, auf der Kreislinie nicht. Daß die Reihe dann sowohl im Quotienten- als auch im Wurzel-Kriterium 1 liefert ist imho ja schon ein Hinweis darauf.

hth, mfg Sebastian

ad a) Letzeres stimmt, bei ersteren bin ich mir jedoch immer noch nicht sicher...ist auf C tatsächlich die Assoziatitvität/Kommutativität der Multiplikation gegeben? Oder verwechsel ich das jetzt mit den Hamiltonschen Quaternionen?
ad b) natürlich kann man eine Ordnungsrelation basteln, aber die ist dann nicht wohldefiniert und damit sinnlos...
ad c) wenn du zeigen willst, dass die Reihe analog zu einer Reihe, von der Konvergenz/Divergenz bekannt ist, brauchst du an irgendeinem Punkt eine Ordnungsrelation.

[Pinoccio]

ad a) Letzeres stimmt, bei ersteren bin ich mir jedoch immer noch nicht sicher...ist auf C tatsächlich die Assoziatitvität/Kommutativität der Multiplikation gegeben? Oder verwechsel ich das jetzt mit den Hamiltonschen Quaternionen?
ad b) natürlich kann man eine Ordnungsrelation basteln, aber die ist dann nicht wohldefiniert und damit sinnlos...
ad c) wenn du zeigen willst, dass die Reihe analog zu einer Reihe, von der Konvergenz/Divergenz bekannt ist, brauchst du an irgendeinem Punkt eine Ordnungsrelation.a) Stimmt beides ;-) Und ja, bei H fehlt die Kommutativität der Mutliplikation.
b) Was heißt "nicht wohldefiniert" in Bezug auf eine Ordnungsrelation? Meinst du wohlgeordnet? Wenn ja, auch das geht.
c) Fürs Minoranten-/Majoranten-Kriterium benötigt man in der Tat eine Ordnungsrelation, die sich dazu auch noch mit der, unter der man Konvergenz betrachtet, vertragen muss. Diese Kriterien hat hier aber noch keiner vorgeschlagen.

mfg Sebastian

[General_db]

natürlich ist C ein körper, zwar kein angeordneter, aber es ist ein körper.

[Plutos]

a) Stimmt beides ;-) Und ja, bei H fehlt die Kommutativität der Mutliplikation.
b) Was heißt "nicht wohldefiniert" in Bezug auf eine Ordnungsrelation? Meinst du wohlgeordnet? Wenn ja, auch das geht.
c) Fürs Minoranten-/Majoranten-Kriterium benötigt man in der Tat eine Ordnungsrelation, die sich dazu auch noch mit der, unter der man Konvergenz betrachtet, vertragen muss. Diese Kriterien hat hier aber noch keiner vorgeschlagen.

mfg Sebastian

a) Ok, seh ich ein :)
b) Naja, es gibt ja im Grunde beliebig viele Möglichkeiten, eine Ordnungsrelation zu definieren, eine Ordnungsrelation ist ja auch nur eine Abbildung. Bei dieser Abbildung musst du dann aber die Wohldefiniertheit zeigen. Beispiel: nehmen wir R+ als positive reelle Zahlen. Dann ist g: R+ -> R, x -> wurzel(x) wohldefiniert. Die Abbildung g: R -> R, x -> wurzel(x) ist jedoch nicht wohldefiniert, da sie nur für nichtnegative Werte von x Ergebnisse liefert.
c) genau das hab ich ja gemeint, ich hab nur vergessen dass es so heisst ;)

[Pinoccio]

b) Naja, es gibt ja im Grunde beliebig viele Möglichkeiten, eine Ordnungsrelation zu definieren, eine Ordnungsrelation ist ja auch nur eine Abbildung. Bei dieser Abbildung musst du dann aber die Wohldefiniertheit zeigen. Beispiel: nehmen wir R+ als positive reelle Zahlen. Dann ist g: R+ -> R, x -> wurzel(x) wohldefiniert. Die Abbildung g: R -> R, x -> wurzel(x) ist jedoch nicht wohldefiniert, da sie nur für nichtnegative Werte von x Ergebnisse liefert.Hm, ich glaube mich erinnern zu können, daß du eher Praktiker bist (im Bezug auf Mathematik), insofern sei dir verziehen. Denn: eine Relation ist keine Abbildung! Auch dein Beispiel für Wohldefiniertheit bzw. Nicht-Wohldefiniertheit ist unzutreffend. Möglicherweise reden wir aber auch etwas aneinander vorbei, schließlich kann man auch völlig vershchieden Dinge mit ein und demselben Begriff benennen.

mfg Sebastian
(Vielleicht schreib ich morgen noch was dazu, aber um 0315 muß ja nicht sein ...)

[Plutos]

Hm, ich glaube mich erinnern zu können, daß du eher Praktiker bist (im Bezug auf Mathematik), insofern sei dir verziehen. Denn: eine Relation ist keine Abbildung! Auch dein Beispiel für Wohldefiniertheit bzw. Nicht-Wohldefiniertheit ist unzutreffend. Möglicherweise reden wir aber auch etwas aneinander vorbei, schließlich kann man auch völlig vershchieden Dinge mit ein und demselben Begriff benennen.

mfg Sebastian
(Vielleicht schreib ich morgen noch was dazu, aber um 0315 muß ja nicht sein ...)

Das verstehe ich jetzt mal als "eher Physiker" ;)

Als ich obiges Post gelesen hab, hätt ich mir echt eine Klatschen können...als einer derer, die schon in der Schule über die gelacht haben, die den Unterschied zwischen Funktion und Relation nicht verstanden haben, und jetzt sowas...argh. Naja, tun wir jetzt einfach so, als wäre "Ordnungsrelation" nie erwähnt worden, vielleicht kriegt pippo dann doch noch nen brauchbaren Lösungsansatz :)

[pippo]

So, die Prüfung ist rum und wie es kommen musste, kam es dran :) Hab jetz einfach mal hingeschrieben, dass es offensichtlich ist, dass die Reihe keinen Summenwert besitzt. Mal schaun was der Prof meint :D