Stochastik

[cr33per]

Hallo,

wir haben im neuen Halbjahr gerade mit Stochastik angefangen und ich weiß bei einer Aufgabe nicht weiter, die auf den ersten Blick recht einfach schien.

Bei einem Multiple-Choice-Test werden zu jeder der drei Fragen drei Antwortmöglichkeiten angeboten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Der Test ist bestanden, wenn 2 von 3 Fragen richtig sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, den Test zu bestehen?


Wenn ich jetzt z.B. die erste Frage einzeln betrachte, beträgt die Wahrscheinlichkeit durch Raten die richtige Antwort anzukreuzen 1/3.

Wie schließe ich jetzt aber auf die 3 Fragen und 9 Antworten? Beträgt die Wahrscheinlichkeit immer noch 1/3?

MfG, Christian

[Pinoccio]

Pures Raten?
Bestimme doch zB einfach alle Ankreuzmöglichkeiten und zähle dann jene, bei denen man bestanden hat.

mfg Sebastian

[Kladderadatsch]

*edit*
*lieber ruhig bei mathe*

[Master3]

2/9 vielleicht?

Habs nur kurz überschlagen. Lösen würde ih das wahrscheinlich mit einem Baumdiagramm.

[Elladan]

Es handelt sich dabei um ein mehrstufiges Zufallsexperiement.

Zeichne doch lieber ein Baumdiagramm!
Alle Werte auf einem "Ast" werden miteinander multipliziert, alle relevanten "Äste" miteinander addiert.
Bei größeren Zahlen wird dies jedoch schnell unübersichtlich, gerade die riesige Anzahl der Äste ist kaum noch zu zeichnen, problematisch ist insbesondere die Frage, wie viele Äste ("n über k" -> Binominialkoeffizient) denn überhaupt "zum Ziel" führen.
Dies kannst du auch folgendermaßen lösen:

Rechenweg:

X: Anzahl der richtig gelösten Fragen
X: Binominial verteilt

p = 1/3

n = 3 (Anzahl der Fragen)
k >= 2 (Anzahl der Fragen, die richtig beantwortet werden müssen)

Formel für binominialverteilte Zufallsvariable eines mehrstufigen Zufallsexperimentes:
P(X = k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)

-> Einsetzen und Ausrechnen.

Dieses "n über k" ("Binominialkoeffizient") bedeutet:
n!/( (n-k)!*k!)
Auf dein Baumdiagramm hin übertragen sind dies quasi die Anzahl der Wege / Äste, die zum Ziel hin führen! =)
Oder, anders betrachtet: Stelle dir die Zahl der Äste als Kugeln vor, die "richtigen" Äste sind rote Kugeln, die Falschen blaue.
Jetzt versuche herauszufinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, die roten Kugeln herauszusuchen, ohne die Reihenfolge des Ziehens zu beachten.
-> Anzahl der Möglichkeiten, aus n Elementen k Elemente ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen.
(Bei einer Berücksichtigung der Reihenfolge würde im Bruch das "*k!" wegfallen.)

Rechnung:
P(X >= 2)
= P(X = 2) + P (X = 3)
= [(3 "C" 2) * (1/3)^2 * (2/3)] + [(3 "C" 3) * (1/3)^3 * 1]
= [(3*2*1)/(1*(2*1)) * (1/9) * (2/3)] + [1 * (1/9)]
= [3 * (2/27)] + [(1/9)]
= 6/27 + 3/27
= 9/27 = 1/3 = 0,3333 = 33,33%


P.S. Weil du so nett bist: Besuche:
http://webmaster-page.com/lager/mathe/
Insbesondere diese Sektion hier beschäftigt sich mit deinem Problem.
Mein Lösungsweg wird dort auch hergeleitet!
http://webmaster-page.com/lager/mathe/11/index.html

[Pinoccio]

2/9 vielleicht?

Habs nur kurz überschlagen. Lösen würde ih das wahrscheinlich mit einem Baumdiagramm.Wenn du es mit einem Baumdiagramm löst, sollte nicht 2/9 rauskommen. ;-)P(X = k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(p-k)
(uneditierte Fassung)Ob er das vertsteht? Ich mein, er hat ja mit der Aufgabe Probleme, da kann ich mir nicht vorstellen, daß er damit was anfangen kann.
(Zumal deine Formel fehlerhaft ist)

mfg Sebastian

[Elladan]

;(

[AlSvartr]

Ich seh jetzt auch den Fehler nicht? :S
<edit> Ok, jetzt seh ichs auch..wieso faellt mir sowas nie auf? :(

[Pinoccio]

edit: okay, es war ein Tippfehler...Das ist immer schwer zu sehen, aber naheliegend ;-)
IstP(X = 3) = (3 "C" 2) * (1/3)^2 * (2/3)
= (3*2*1)/(1*(2*1)) * (1/6) * (2/3)
= 6/24
= 0,25auch einer? ;-)
(BTW: Tabs nimmt vBulletin nicht am Zeilenanfang)

mfg Sebastian

[Master3]

Wenn du es mit einem Baumdiagramm löst, sollte nicht 2/9 rauskommen. ;-)Ob er das vertsteht? Ich mein, er hat ja mit der Aufgabe Probleme, da kann ich mir nicht vorstellen, daß er damit was anfangen kann.
(Zumal deine Formel fehlerhaft ist)

mfg Sebastian

Ja Sorry. Wie gesagt habs nur kurz überschlagen. Stochastik war schon immer meine Niederlage. Aber beim Abi hats seltsamer Weise geklappt :biggrin:

[Elladan]

Istauch einer? ;-)
Nein ;(

[Pinoccio]

/edit: hier stand Quatsch.

mfg Sebastian

[cr33per]

Danke für die Formel, Elladan, allerdings sollen wir durch Überlegen aufs Ergebnis kommen und die Formel hatten wir noch nicht.

Kann man vereinfacht sagen: (1/n)^k wobei k=Fragen, die richtig sein müssen und n=Möglichkeiten
dann kommt man nämlich auch auf das Ergebnis: (1/3)^2=1/9


Nach Sebastian wäre die Wahrscheinlichkeit also 1/3, den Test zu bestehen?

Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit, alle Fragen richtig zu beantworten? Nach meiner Formel wäre das ja 1/27, scheint mir aber zu gering.

[Pinoccio]

/edit: hier stand Quatsch, sry für den Ton.
/edit2: habe mal alles in meinen folgenden Beitrag geschrieben.

mfg Sebastian

[Elladan]

Nach Sebastian wäre die Wahrscheinlichkeit also 1/3, den Test zu bestehen? g.
Ja, ich habe es endlich auch einmal raus... :mad:

[Pinoccio]

'tschuldigung erstmal an alle, die sich durch meine beiden nun editierten Beiträge angegriffen fühlten, mir ist ein selten dämlicher Fehler passiert, ich hab übersehen, daß man ja 3 mögliche Lösungen je Aufgabe hat.Wir nehmen folgende Dinge an:
1. keine Vorwissen, d.h. die Antworten a), b) und c) werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit (nämlich 1/3) angekreuzt.
2. Unabhängigkeit, d.h. die Kreuze werden unabhängig voneinander gesetzt.
3. Man hat mit mindestens zwei richtigen Antworten bestanden, so würde ich die Aufgabenstellung jedenfalls verstehen.

Die Chance, daß ich bei einer Aufgabe die richtige Antwort ankreuze ist 1/3. Die Chance, daß ich eine der falschen erwische ist 2/3.
Nun kann ich mir folgende Fälle überlegen:Aufg. 1 2 3 P bestanden
Fall
1 r r r 1/27 ja
2 r r - 2/27 ja
3 r - r 2/27 ja
4 r - - 4/27
5 - r r 2/27 ja
6 - r - 4/27
7 - - r 4/27
8 - - - 8/27Nehmen wir als Beispiel den Fall 3: Die Chance Aufgabe 1 bzw 3 richtig zu beantworten ist jeweils 1/3, die Chance Aufgabe 2 falsch zu beantworten ist 2/3. Da, wie oben gefordert, die drei Dinge unabhängig sind, gilt P(r,f,r)=1/3 * 2/3 * 1*3=2/27. Diese Wahrscheinlichkeit steht in der Spalte P.
Bestanden hat man in den Fällen 1, 2, 3 und 6. Da diese Fälle disjunkt sind (also nie zwei gleichzeitig auftreten können) ist P(bestanden)=P(Fall 1)+P(Fall 2)+P(Fall 3)+P(Fall 6)=1/27+2/27+2/27+2/27=7/27.
Zählt man zur Probe die andern Fälle zusammen so ergibt sich dort erwartungsgemäß 20/27.

In der Hoffnung nicht schon wieder einen Fehler gemacht zu haben
mfg Sebastian