Eine Aufgabe für den Club der 3DC-Mathefreaks

[123456]

Unser Physikdoktor hat in Italien einen ehemaligen Kampfpiloten kennengelernt, der ihm folgende Mathematik-Aufgabe stellte.

(Bilder sagen mehr als Worte)

http://img139.imageshack.us/img139/7884/unbenannt11mo.jpg

Ein Kasten mit den Seitenlängen 1 m, der an der Wand steht und eine 5 m lange Leiter, die (wie auf dem Bild) gegen die Mauer gelehnt ist. Wie hoch ist die (rot markierte) Wand?

Das Lustige ist ja, dass diese Aufgabe selbst von unserem Matheprof. nur ansatzweise gelöst worden ist (eine Lösung hat sie noch nicht; sie beißt sich seit Tagen die Zähne dran aus). Unser Physikdoktor zieht sie mit der Aufgabe gerne auf. :tongue:

Wie auch immer. Einer der Mathefreaks hier eine Idee?

Unser Physikdoktor wollte uns das Ergebnis nicht sagen, bis unser Matheprof. die Aufgabe gelöst hat. Genau das macht die Aufgabe so interessant, finde ich. :biggrin:

Sieht extrem simpel aus, ich weiß, aber die Aufgabe hat's in sich.

Kleiner Tipp: Strahlensätze und der Pythagoras gehen nicht, alles schon ausprobiert. Ein Extremalproblem scheint es auch nicht zu sein. ;(

[MooN]

Ich bin mir sicher, die Aufgabe stand so schonmal im Forum...

[Marscel]

Soll die Leiter, bzw. die Hypothenuse denn den Eckpunkt des Würfels berühren?

Anlässlich der anstehenden Prüfungen stürze ich mich sonst mal rein. :D

[Kryp7on]

hey, mal was herausforderndes: ^^

ich nehme mal an die Leiter soll die Kiste berühren, sonst würde es ja keinen Sinn machen

mhm, also das ist verdammt knifflich.
Nach einigen ergebnislosen Ansätzen, hab ich glaub ich was:

Ich verleg das Problem in ein Koordinatensystem, Ursprung ist der linke untere Punkt des Quadrates.
Dann wird die Hypothenuse durch folgende Gerade dargestellt:
g(x)=mx+h wobei h der y-Achsenabschnitt ist
die Steigung lässt sich durch den Punkt P(1/1) der auf der Gerade liegen muss ermitteln: m=1-h

also ist g(x)=(1-h)x +h
weiterhin gilt für die Strecke zwischen y-Achsenschnittpunkt und Nullstelle die Länge 5, also:
h²+(h/(h-1))²=25

das müsste man jetzt numerisch lösen

Edit:
mögliche Wandhöhen sind 0,831 und 1,261 sowie 4,389.
Da m=1-h gilt, und m offensichlich < 0 sein muss, fällt die 1. Lösung schon mal weg.
Jo und das zwei Lösungen herauskommen, ist ja klar, man kann ja x und y-Achse vertauschen (h des einen ist Nullstelle des anderen)

[123456]

Ich bin mir sicher, die Aufgabe stand so schonmal im Forum...

Möglich. Die Aufgabe ist auch ziemlich "berühmt". Hat's jemand gelöst damals?

[123456]

Soll die Leiter, bzw. die Hypothenuse denn den Eckpunkt des Würfels berühren?

Anlässlich der anstehenden Prüfungen stürze ich mich sonst mal rein. :D

Na klar. Die Zeichnung ist mir nicht so gut gelungen, tut mir leid.^^

[Dexter]

http://img232.imageshack.us/img232/8738/dreieck7fq.th.jpg (http://img232.imageshack.us/my.php?image=dreieck7fq.jpg)

a/1 = 1/b => b=1/a (1)

c²=a²+1
d²=b²+1

d=5-c

=>(5-sqrt[a²+1])²=b²+1

mit (1) folgt: (5-sqrt[a²+1])²=1/a² + 1

das nach a auflösen, dann ist die höhe h=a+1

nur mit dem auflösen haperts etwas ;)

[Omnicron]

Also ich hätts jetzt einfach so gemacht, aber bestimmt was übersehen ;D

http://img518.imageshack.us/img518/5439/aa5vc.gif

[Kryp7on]

Also ich hätts jetzt einfach so gemacht, aber bestimmt was übersehen ;D

http://img518.imageshack.us/img518/5439/aa5vc.gif
sieht richtig aus, aber ne Gerade die die Hypothenuse beschreiben würden, wäre:
f(x)= - Sqrt(21)/2 * x + Sqrt(21)
und diese passiert den Punkt P(1/1)

[sei laut]

Wie kann x=2 sein? Also dein Ansatz ist mir klar, aber das Ergebnis weicht extrem von der Skizze ab.
Edit: Oh, ich hab erst jetzt gesehen, dass der Winkel der Leiter zum Boden hin variabel ist.

[tombman]

hmm, ich bin bis auf das hier gekommen

cos a * cos a + sin a * sin a = 1

Wer mir das hier nach a auflösen kann --> dann hab ich die Lösung :)

[Aqualon]

@tombman: cos²a+sin²a ist immer gleich 1, egal für welchen Winkel ;)

@Dexter: aufgelöst ist a = 5.930396730, was aber nicht sein kann, weil sonst c länger als 5 sein müsste.

Aqua

[Dexter]

hmm, ich bin bis auf das hier gekommen

cos a * cos a + sin a * sin a = 1

Wer mir das hier nach a auflösen kann --> dann hab ich die Lösung :)

das gilt für alle a ;)

[Kryp7on]

http://img232.imageshack.us/img232/8738/dreieck7fq.th.jpg (http://img232.imageshack.us/my.php?image=dreieck7fq.jpg)

a/1 = 1/b => b=1/a (1)

woraus folgt das? und müsste das nicht (a+1)/1=1/(b+1) heissen?!

gibt man comments über meine Lösung ab ^^

[Dexter]

woraus folgt das? und müsste das nicht (a+1)/1=1/(b+1) heissen?!

gibt man comments über meine Lösung ab ^^

für den tangens des winkels zwischen leiter und erdboden gilt sowohl tan(alpha)=a/1 als auch tan(alpha)=1/b

[Marscel]

Also ich hätts jetzt einfach so gemacht, aber bestimmt was übersehen ;D

Ja, woran ich im vollen Eifer auch gestoppt bin. h² = p * q hatte ich auch, aber diese Formel lässt sich einzig bei einem rechtwinkligem Dreieck aufstellen.

Und der Winkel ist definitiv nicht 90° (etwas weniger), wenn man das Lot fällt (roter Strich), sieht das anders aus:

http://pcreact.de/misc/aa5vcs.gif

Kry7pon's Anasatz hab ich jetzt nicht angeschaut (da standen verräterische Zahlen drin *g*), das will ich eben selber probieren.

[Kryp7on]

für den tangens des winkels zwischen leiter und erdboden gilt sowohl tan(alpha)=a/1 als auch tan(alpha)=1/b
aber nur wenn alpha=beta=45° ist

du kannst höchstens a/1=(b+1)/(a+1) sagen

Ja, woran ich im vollen Eifer auch gestoppt bin. h² = p * q hatte ich auch, aber diese Formel lässt sich einzig bei einem rechtwinkligem Dreieck aufstellen.

Und der Winkel ist definitiv nicht 90° (etwas weniger), wenn man das Lot fällt (roter Strich), sieht das anders aus:

http://pcreact.de/misc/aa5vcs.gif

Kry7pon's Anasatz hab ich jetzt nicht angeschaut (da standen verräterische Zahlen drin *g*), das will ich eben selber probieren.
ah ja, da bin ich jetzt nicht drauf gekommen, aber das erklärt warum meine "Probe" des Ansatzes nicht aufgeht

[Matrix316]

Irgendwie wenn kein Winkel Angegeben ist, kann doch die schräge Linie in Zig Variationen an der Wand stehen, so dass es quasi unendlich viele Lösungen gibt. Es sei denn es gibt nur eine Möglichkeit so dass die Linie das Quadrat berührt, aber dafür sieht mir die Linie etwas lang aus... :|

Edit: Ok, es gibt nur 2 Lösungen, wobei der Wert bei ca. 4.8 oder ungefähr 1.2 sein könnte. (Zeichnerisch grob abgelesen ;))

[Dexter]

aber nur wenn alpha=beta=45° ist

du kannst höchstens a/1=(b+1)/(a+1) sagen

nein, das ist immer so. den winkel alpha findest du in beiden kleinen(!) dreiecken jeweils unten rechts. im oberen gilt tan(alpha)=a/1 im unteren tan(alpha)=1/b.

[Matrix316]

Nehmen wir mal an, die 5 m Leiter steht unten (also der X Achsenwert) bei Wurzel 2 was ungefähr 1.414 ist. Mit diesem Wert als Annahme wäre die Y Achse bei 4.85625 und das kommt eigentlich ganz gut hin wenn mans so zeichnet...oder ist es zu einfach? ;)

EDIT: Stimmet doch net. :(

[{655321}-Hades]

Argh, verdammt. Ich habe genau diese Aufgabe mal mit meinem Mathelehrer gelöst, obwohl ich total die Mathematik-0 bin. Ich hoffe, ich komme wieder drauf...

[Aqualon]

Nehmen wir mal an, die 5 m Leiter steht unten (also der X Achsenwert) bei Wurzel 2 was ungefähr 1.414 ist. Mit diesem Wert als Annahme wäre die Y Achse bei 4.85625 und das kommt eigentlich ganz gut hin wenn mans so zeichnet...oder ist es zu einfach? ;)

EDIT: Stimmet doch net. :(
Kannst ja mal nachrechnen, dann wirst draufkommen, dass die Kante zwischen Schnittpunkt x-Achse und Spitze des Quadrats nicht die richtige Länge hat.

Edit: Den EDIT hab ich irgendwie verpasst ;)

Aqua

[tombman]

bin gerade auf ner genialen Spur....stay tuned

[Zesotu]

4.8507 m :confused: Lösungsweg schreibe ich nur wenn es richtig ist, damit ich mich nicht blamieren muss (war in Mathe nie gut))

[mofhou]

4.8507 m :confused: Lösungsweg schreibe ich nur wenn es richtig ist, damit ich mich nicht blamieren muss (war in Mathe nie gut))
Von der Größenordnung stimmts. Wir haben das mal in der Schule gerechnet bzw gerechnet bekommen...
[edit] ich geb einfach die Lösungen mal an:
y-Wert:4,8385 X-Wert:1,2605

[RuteniuM]

Edit: verrechnet :(

[Zesotu]

Oh man, der Lösungsweg ist so einfach, wenn man darauf kommt. :D

Die höhe beträgt ungefähr ****.

Der Threadsteller hat mich in die Irre geführt, denn man verwendet ausschließlich Strahlensätze und den Sazt des Pytagoras. ;(

Rechnung:

Edit: wurde korrigiert

[tombman]

egal was ich mach, ich komme immer auf eine Gleichung 4ten Grades... und die geht doch nur numerisch zu lösen, oder?

[nalye]

die rote wand müßte etwa 2,87228m hoch sein, oder?

[mofhou]

egal was ich mach, ich komme immer auf eine Gleichung 4ten Grades... und die geht doch nur numerisch zu lösen, oder?
jo, Alternativ Polynomdivision machen.

[Spasstiger]

http://img232.imageshack.us/img232/8738/dreieck7fq.th.jpg (http://img232.imageshack.us/my.php?image=dreieck7fq.jpg)

a/1 = 1/b => b=1/a (1)

c²=a²+1
d²=b²+1

d=5-c

=>(5-sqrt[a²+1])²=b²+1

mit (1) folgt: (5-sqrt[a²+1])²=1/a² + 1

das nach a auflösen, dann ist die höhe h=a+1

nur mit dem auflösen haperts etwas ;)
Das passt, hab deinen Rechenweg nachvollzogen und die Gleichung mit Maple gelöst. Dabei ergeben sich für a folgende sechs mögliche Lösungen (gerundet auf 5 Stellen hinterm Komma):
a1=-3.8385
a2=-0.26052
a3=5.9304
a4=-5.9304
a5=0.26052
a6=3.8385
Dazu muss man jeweils noch 1 addieren, um auf die gesuchte Höhe zu kommen. a1 und a4 fliegen dabei schon mal gleich weg, da negatives Ergebniss, a3 kann ebenfalls nicht sein, da die Leiter dann in der Luft schweben würde.
a2 fliegt raus, weil sich damit 0,73948 als Lösung ergibt, was ja niedriger als das Quadrat wäre.
Somit bleiben a5 und a6 und damit die Lösungen 1,26052 m und 4,8385 m.

[Kryp7on]

Von der Größenordnung stimmts. Wir haben das mal in der Schule gerechnet bzw gerechnet bekommen...
[edit] ich geb einfach die Lösungen mal an:
y-Wert:4,8385 X-Wert:1,2605
ok, euer Ergebnis ist richtig, ich habe bei 4.839 nen Zahlendreher gemacht ^^

[Pinoccio]

egal was ich mach, ich komme immer auf eine Gleichung 4ten Grades... und die geht doch nur numerisch zu lösen, oder?Nein, es gibt eine Lösungsformel, aber da sie a) sher kompliziert aufgebaut ist und b) sich mit Schulmathematik nicht begründen lässt wird sie meist nur im Stuidum gelehrt.
Ab 5ten Grades geht es im allgemeinen Fall dann aber wirklich nicht mehr.

mfg Sebastian

[tombman]

Nein, es gibt eine Lösungsformel, aber da sie a) sher kompliziert aufgebaut ist und b) sich mit Schulmathematik nicht begründen lässt wird sie meist nur im Stuidum gelehrt.
Ab 5ten Grades geht es im allgemeinen Fall dann aber wirklich nicht mehr.

mfg Sebastian
Ok, aber bis jetzt hat noch keiner einen Lösungsweg ohne cheaten gebracht, denn die Gleichung 4ten Grades per maple lösen lassen ist cheating ;)

Tjo, da wird sich wohl jemand die Mühe machen müssen und das numerisch (oder mit der leeten Formel) lösen ;) (ich bins ned ;))

[Rooter]

Wie wär's wenn es jemand aufbaut und nachmißt !? :D Oder wäre das auch cheating ? :redface:

MfG
Rooter

[P2oldi]

Wie wär's wenn es jemand aufbaut und nachmißt !? :D Oder wäre das auch cheating ? :redface:

MfG
Rooter

das wäre auch mein Ansatz gewesen, was soll ich mich mit Mathe rumschlagen (wo ich ne ziemliche 0 bin), wenn ich mir doch schnell den Versuch in nem kleineren Massstab nachbauen und dann messen kann :D Schon die grauen Zellen und das Ergebnis ist das Gleiche :)

Und nein, das ist kein Cheating, sondern ein alternativer Lösungsansatz ;)

[Spasstiger]

Und nein, das ist kein Cheating, sondern ein alternativer Lösungsansatz ;)
Das Basteln dauert länger als das Rechnen, wenn man ein Computeralgebrasystem zur Verfügung hat, und liefert ungenauere Ergebnisse. ;)
Man muss sich ja das Leben nicht unnötig schwer machen.