Mathematikfrage

[Sliver21]

Wie berechnet man bei einer Pyramide den Winkel zwischen den einzelnen Mantelflächen, also zwischen benachbarten Dreiecken, die auf der Grundfläche stehen?

Mit Hilfe der Vektorrechnung lässt sich dieses Problem recht einfach lösen. Fällt jemandem von euch vielleicht eine andere Lösungsmöglichkeit ein?

[radi]

mit trigonometrie sollte das eigentlich auch machbar sein. mach doch mal ne skizze.

[Sliver21]

Skizzen habe ich schon zur Genüge, obwohl ich es mir auch so gut vorstellen kann. Mir fällt dafür leider kein Ansatz ein, der nicht aus stumpfen 'Rumprobieren' besteht.

[tombman]

Hmm, ist der Winkel zwischen zwei Ebenen nicht durch den Winkel der Normalen definiert?

[Sliver21]

Hmm, ist der Winkel zwischen zwei Ebenen nicht durch den Winkel der Normalen definiert?

Genau! Vektoriell kann man das lösen, wie sieht es aber mit einem anderen Weg aus?

[radi]

kommt drauf an was gegeben ist. es gibt sin, cos, tan, sin-satz, cos-satz das sollte eig reichen, ist am ende auch nix anderes als mit vektoren.

[Sliver21]

Danke erstmal.

Radi, du hast schon recht, aber fällt dir denn ein konkreter Ansatzpunkt ohne Vektoren ein?

[Nerothos]

Was hast du denn an Werten gegeben?

[Sliver21]

Ich hab keine Werte gegeben. Dies ist auch keine Schulaufgabe. Bei meinem Kumpel auf dem Dachboden bin ich auf diese Fragestellung gekommen. Das heißt, diese Aufgabe kommt direkt aus der Praxis. Das Ergebnis ist mir im Prinzip egal, viel mehr interessiert mich ein Lösungsweg, der nichts mit Vektoren zu tun hat.

[Sliver21]

Na, wo sind die ganzen Mathematiker, die dieses Problem für trivial halten?

[Hardwaretoaster]

Steh ich auf'm Schlauch oder was??
Du willst die Winkel eines Daches (des Gebälks um präzise zu sein) bestimmen?
Wie willst du das ohne Werte machen? Also geht's ans Messen: Du missteine horizontale Strecke und guckst wie hochdas dach gestiegen ist. Der zweite durch dne ersten Wert ist = tan deines Winkels => arctan und dann??
Was versteh ich falsch, dass es einfach aussieht?

[tombman]

Mach mal eine Skizze welchen Winkel du gemessen haben willst. Dann drücken wir dir das schon in Variablen aus ;)

edit: ok, ich habs ;)

Pyramide, gegeben:

x = Seitenlänge Grundfläche (=quadratisch)
s = Kante vom Eckpunkt der Grundfläche bis SPitze

Jetzt macht man folgendes: man denkt sich eine weitere Ebene hinzu, welche normal zu S steht (alle 4 Kanten heißen S, ich meine natürlich das S welches die beiden untersuchten Mantelflächen verbindet; in der Skizze steht das S bei der anderen Kante, also ned verwirren lassen) und durch den Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche geht. Die Ebene schneidet jetzt die beiden anliegenden Seitenflächen der Pyramide in 2 Geraden. Der Winkel zwischen diesen entstandenen Schnittgeraden IST der Winkel zwischen den beiden Pyramidenflächen, da sie ja in einer Ebene liegen die normal zu S steht. Aufgrund der quadratischen Grundfläche schneidet unsere gedachte Ebene diese genau in der Diagonalen
der Grundfläche. Und jetzt Skizze ansehen ;) ALle Geraden in der gedachten grünen Schnittebene stehen im rechten Winkel zu S. Daher auch der Winkel zwischen "a" und "y".

s² = a² + (s-y)²
x² = a² + y²

--> da s und x gegeben sind, sind nur a und y Variablen -> zwei Gleichungen -> a und y bestimmt.

Für die nachbarliche Seitenfläche gilt das selbe, dort gibts also genau das selbe a. Wir haben also jetzt ein Dreieck im Raum, welches aus 2x a und d besteht. d ist einfach die Diagonale der Grundfläche, welche ja aus x hervorgeht.

Der Winkel zwischen a und a ist der gesuchte, und da von unserem a-a-d Dreieck alle Seiten bekannt sind, sind auch alle Winkel bekannt (mittel Cosinussatz oder ähnlichem zu berechnen). Der Winkel a-a, hier alpha genannt ist damit bestimmt. Fertig ;)

:cool:

[Sliver21]

Hey Jungs, danke!! Tut mir Leid, dass ich so unfreundlich klang.

EDIT: Eine schöne Lösung, tombman! ;-)

[tombman]

EDIT: Eine schöne Lösung, tombman! ;-)
Danke :D

[Grasso]

Hallo!


Pyramide, gegeben:

x = Seitenlänge Grundfläche (=quadratisch)
s = Kante vom Eckpunkt der Grundfläche bis SPitze

Jetzt macht man folgendes: man denkt sich eine weitere Ebene hinzu, welche normal zu S steht (alle 4 Kanten heißen S, ich meine natürlich das S welches die beiden untersuchten Mantelflächen verbindet; in der Skizze steht das S bei der anderen Kante, also ned verwirren lassen) und durch den Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche geht. Die Ebene schneidet jetzt die beiden anliegenden Seitenflächen der Pyramide in 2 Geraden. Der Winkel zwischen diesen entstandenen Schnittgeraden IST der Winkel zwischen den beiden Pyramidenflächen, da sie ja in einer Ebene liegen die normal zu S steht. Aufgrund der quadratischen Grundfläche schneidet unsere gedachte Ebene diese genau in der Diagonalen
der Grundfläche. Und jetzt Skizze ansehen ;) ALle Geraden in der gedachten grünen Schnittebene stehen im rechten Winkel zu S. Daher auch der Winkel zwischen "a" und "y".

s² = a² + (s-y)²
x² = a² + y²

--> da s und x gegeben sind, sind nur a und y Variablen -> zwei Gleichungen -> a und y bestimmt. ...

Für x = 1 gilt dann folgendes:
y = 1 / 2s
a = (1-y^2)^(1/2)
d = 2^(1/2)
alpha = Pi-2*arccos(d/2a)
Die Höhe der Pyramide darf für diese Formel nicht zu hoch sein, weil ansonsten eine der trigonometischen Funktionen "überläuft". Wenn sie 1/2 beträgt, also die Mantelflächen mit beta = Pi/4 von der Grundfläche abgehen, beträgt der Winkel alpha zwischen zwei benachbarten Mantelflächen 2Pi/3.

Uli

[ux-3]

Tombman kann das nicht mehr lesen. :cool: Lies mal das Datum und seinen Status.

[Grasso]

Ja, der Mann ist leider tot. Ich habe es jetzt aber heraus und kann sagen, daß der Winkel zwischen zwei benachbarten Mantelflächen etwa 153° beträgt, wenn die eine Mantelfläche mit Pi/6 und die andere mit Pi/8 von der Grundfläche abgeht. Wenn die eine Fläche mit 3Pi/8 und die andere mit Pi/3 abgehen soll, bekomme ich aber einen Überlauf und müßte das Formelwerk wieder aufdröseln, um es für den großen Winkel zu korrigieren.

Etwas abstrahiert ist die erste Mantelfläche einer Pyramide mit rechteckiger Grundflaeche die Ebene, die mit dem Zeiger (0,1,x) abgeht. Die rechte benachbarte Ebene geht mit dem Zeiger (1,0,y), die linke mit dem Zeiger (-1,0,y) ab. So konnte mein Vater eine einfache Formel fuer den gesuchten Winkel herleiten: gamma = arccos(cos(alpha)*cos(beta)). Das ist auch als Sonderfall der sphaerischen Trigonometrie bekannt.