Stochastik Klausuraufgaben: Brauche Lösungsweg

[mobius]

Hallo Leute,

ich bereite mich momentan auf mein Abitur vor und habe noch ein paar Fragen bezüglich Stochastik (vllt nächste Woche noch andere :D). Meine letzte Klausur hab ich nachgeschrieben und habe deshalb keine Lösungen der Aufgaben und meine Ansätze sind völlig falsch. Ein korrekter Ansatz ist aber sehr wichtig fürs Lernen, deshalb wende ich mich an euch.

Hier mal die Aufgabe:

Eine Firma stellt Sicherungen mit einer Ausschussquote von 10% her.

4.3 Die unbrauchbaren Sicherungen haben mindestens einen der beiden Fehler F1 und F2. Andere Fehler kommen nicht vor. F1 und F2 treten unabhängig voneinander auf. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler F1 ist 0,04. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt Fehler F2 auf?

4.4 Ein Händler erhält von der Firma 10 Sendungen mit Sicherungen. Jeder Sendung entnimmt er zufällig 3 Sicherungen und überprüft sie. Er nimmt eine Sendung nur dann an, wenn er bei der Kontrolle einwandfreie Sicherungen findet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Sendung angenommen wird? Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 9 Sendungen angenommen?

Danke für eure Hilfe.

[KinGGoliAth]

kennst du wenigstens die offiziell richtigen lösungen? sonst kann man dir ja das blaue vom himmel erzählen :udevil:

also zum ersten würde ich sagen, dass die wahrscheinlichkeit von F2 = 0,06 ist. F1 <> F2 , da sie unabhängig von einander sind. ergibt zusammen mit F1 genau die geforderten 10% (=0,1) gesamtausschuß.

[mobius]

kennst du wenigstens die offiziell richtigen lösungen? sonst kann man dir ja das blaue vom himmel erzählen :udevil:

Leider nicht, deshalb hätte ich gerne soviele Kommentare wie möglich. Vielleicht besteht noch kurz vor der Klausur meinen Lehrer zu erwischen und ihn auszufragen, aber allein darauf will ich mich nicht verlassen.

[Oberon]

Zu 4.4 ein Tipp: BINOMIALVERTEILUNG ;)

[KinGGoliAth]

zum zweiten:

eigentlich ist die frage schwachsinn. die firma wird die sicherungen überprüfen und aussortieren bevor sie verkauft und verschickt werden. da hat wohl jemand zuviel "ungetestetes" bei ebay gekauft. :ucrazy3:

aber nun gut.

10% ausschuß -> die chance eine heile sicherung zu greifen liegt bei 90%.
(rein rechnerisch ist also in einer packung genau eine sicherung defekt aber ich denke, dass man das ausser acht lassen sollte.)

die wahrscheinlichkeit, dass bei 3 mal reingreifen keine defekte dabei ist:
0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,729
multiplikation, da alle erfüllt werden müssen und nicht nur eine beliebige.

bei solchen relativ einfachen dingen ist auch ein baumdiagramm eine schöne sache. bei drei versuchen mit jeweils nur "defekt" oder "heil" ist das sehr übersichtlich.
http://666kb.com/i/11dmgx0r4i7lt.jpg


€:
nur so am rande:
wenn du aber genau weißt, dass in einer packung definitiv eine sicherung defekt ist wäre die wahrscheinlichkeit ein wenig anders:
9/10 (9 von 10 sind ok) * 8/9 (8 von 9 sind ok [eine funktionierende bereits gezogen]) * 7/8 (7 von 8 sind ok [zwei funktionierende bereits gezogen]) = 0,7
da du aber nicht mit sicherheit weißt, dass definitv eine in der packung defekt ist sollte die erste lösung korrekt sein (0,729)

[superdash]

ohne Gewähr - Stochastik ist schon ein wenig her.

Zuerst mal ist glaub ich wichtig, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein defektes Teil "zieht" immer konstant bleibt. Das ist ja bei Ziehen ohne Zurücklegen eigentlich nicht so, aber bei Fließbandproduktionen geht man davon aus, dass es unabhängig davon ist.

1.1: so wie Goliath
1.2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Sendung angenommen wird?
Er nimmt sich also die erste Schachtel und nimmt drei beliebige Teile raus. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit ein Funktionierendes Teil zu erwischen 0,9. Da er dreimal zieht: 0,9*0,9*0,9=0,729. Für eine beliebige Schachtel mit drei maligem Ziehen ist also die Wahrscheinlichkeit auch drei funktionierende Teile zu ziehen 72,9%.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 9 Sendungen angenommen?
Alternative Frage: 9 oder 10 sendungen?

P("9 Sendungen")=0,729^9=5,81..%
P("10 Sendungen")=0729^10=4,24..%

P("mind. 9 Sendungen werden akzeptiert")=P(9)+P(10)=10,05..%

Hätte ich jetzt mal gesagt...

MfG

Superdash

[KinGGoliAth]

zum zweiten teil der zweiten aufgabe:

ist schon fieser, da man kombinieren muß. :D

mindestens 9 sendungen sollen angewnommen werden also müssen wir 2 fälle betrachten: 9 sendunden werden angenommen und 10 sendungen werden angenommen.

für 9 sendungen: 0,729^9 ~ 0,058
für 10 sendungen: 0,729^10 ~ 0,04

da hier aber entweder 9 oder 10 sendungen angenommen werden sollen müssen wir addieren.
also zusammen ~0,1
wenn beide fälle eintreten sollten müßte man addieren multiplizieren (zu schnell getippt) aber es ist einleuchtend, dass man nicht 9 und 10 sendungen annehmen kann. :D


damit wäre die sache wohl erledigt. oder hat wer einwände? ;)

[superdash]

zwei leute - gleiches Ergebnis: Das spricht für die Richtigkeit.

[Oberon]

ohne Gewähr - Stochastik ist schon ein wenig her.

Zuerst mal ist glaub ich wichtig, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein defektes Teil "zieht" immer konstant bleibt. Das ist ja bei Ziehen ohne Zurücklegen eigentlich nicht so, aber bei Fließbandproduktionen geht man davon aus, dass es unabhängig davon ist.

1.1: so wie Goliath
1.2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Sendung angenommen wird?
Er nimmt sich also die erste Schachtel und nimmt drei beliebige Teile raus. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit ein Funktionierendes Teil zu erwischen 0,9. Da er dreimal zieht: 0,9*0,9*0,9=0,729. Für eine beliebige Schachtel mit drei maligem Ziehen ist also die Wahrscheinlichkeit auch drei funktionierende Teile zu ziehen 72,9%.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 9 Sendungen angenommen?
Alternative Frage: 9 oder 10 sendungen?

P("9 Sendungen")=0,729^9=5,81..%
P("10 Sendungen")=0729^10=4,24..%

P("mind. 9 Sendungen werden akzeptiert")=P(9)+P(10)=10,05..%

Hätte ich jetzt mal gesagt...

MfG

Superdash
1.2 Ack
1.1 bin ich mir irgendwie nich sicher, das scheint so verdächtig einfach... :|

[KinGGoliAth]

darunter ein diplom mathematiker im 2. semester aber pssst. für stochastik hatte ich eh immer eine schwäche

[crusader4]

kennst du wenigstens die offiziell richtigen lösungen? sonst kann man dir ja das blaue vom himmel erzählen :udevil:

also zum ersten würde ich sagen, dass die wahrscheinlichkeit von F2 = 0,06 ist. F1 <> F2 , da sie unabhängig von einander sind. ergibt zusammen mit F1 genau die geforderten 10% (=0,1) gesamtausschuß.Ich würde sagen das ist falsch.

Eine defekte Sicherung hat entweder F1 oder F2 oder (F1 und F2).

Mathematisch ausgedrückt: p(F1)+p(F2)+p(F1 and F2)=0,1

Da F1 und F2 unabhängig voneinander sind, ergibt sich p(F1 and F2) zu p(F1)*p(F2), ansonsten wäre bedingte Wahrscheinlichkeit fällig.

ungelöste Formel also: p(F1)+p(F2)+p(F1)*p(F2)=0,1

So würde ich das rechnen. Kann aber auch falsch sein, Stochastik konnte ich noch nie (hab die Ergebnisse sowohl im Abi als auch im Studium quasi ausgewürfelt).

Grüße, Crusader

[KinGGoliAth]

der ertste teil kommt mir auch zu einfach vor und jetzt weiß ich auch wieder warum:
dort muß man auch kombinieren. es reicht nicht nur die fälle F1 und F2 zu betrachten sondern es muß auch F1+F2 betrachtet werden.
die 10% setzen sich also aus F1 und f2 und F1+F2 zusammen.

aber das rechnet nun mal bitte jemand anderes. :cool:

€:
ah crusader hat es schon gemacht.
€2: doch nicht. fauler sack. :D

[crusader4]

€:
ah crusader hat es schon gemacht.
€2: doch nicht. fauler sack. :DNaja, ich traue euch schon noch zu solch eine simple Formel korrekt umzustellen und p(F2) auszurechnen. Ergebnis: p(F2)=0,0576..., wenn ich mich nicht beim Eintippen in den Taschenrechner vertippt habe.

[KinGGoliAth]

(y)

wenn ich mich nicht beim Eintippen in den Taschenrechner vertippt habe.
falls doch bist wenigstens du schuld und nicht ich. :D


dann kann ich ja nun auch ruhigen gewissens ins bett gehen...


...aber vorher nochmal gaaanz kurz bei ebay was gucken. :sneak:

[Oberon]

der ertste teil kommt mir auch zu einfach vor und jetzt weiß ich auch wieder warum:
dort muß man auch kombinieren. es reicht nicht nur die fälle F1 und F2 zu betrachten sondern es muß auch F1+F2 betrachtet werden.
die 10% setzen sich also aus F1 und f2 und F1+F2 zusammen.

aber das rechnet nun mal bitte jemand anderes. :cool:

€:
ah crusader hat es schon gemacht.
€2: doch nicht. fauler sack. :D
Jap. So hätt ich das auch gedacht. Ich komme auf P(F2) = 0,0577. Bitte jemand nachrechnen.
Edit: Mist, viel zu lahm...

[Spasstiger]

ungelöste Formel also: p(F1)+p(F2)+p(F1)*p(F2)=0,1

So würde ich das rechnen. Kann aber auch falsch sein, Stochastik konnte ich noch nie (hab die Ergebnisse sowohl im Abi als auch im Studium quasi ausgewürfelt).
Sieht ganz gut aus, wobei ich die Lösung auch nicht sicher weiß. Auf jeden Fall kann F2 auch mit einer Wahrscheinlichkeit höher als 6% auftreten. Denn wenn ein Teil wegen F1 defekt ist, kann dennoch F2 auftreten. Wenn dagegen eine Sicherung nicht wegen F1 defekt ist, dann muss sie wegen F2 defekt sein (also mind. 6% Wahrscheinlichkeit für F2).
Das Problem an deiner Gleichung ist leider, dass man weder p(F1) noch p(F2) direkt kennt. Denn p(F1) bzw. p(F2) steht ja für den Fall, dass nur F1 alleine bzw. nur F2 alleine auftritt (sonst könnte man die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach addieren). Und die Angabe "F1 tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,04 auf", beinhaltet ja auch den Fall F1+F2. Allerdings kann man daraus schlussfolgern, dass F2 alleine mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,06 auftritt.
Und somit lässt sich deine Gleichung doch verwenden und lösen.
Konkret:
p(F1)+p(F2)+p(F1)*p(F2)=p(F1)+0,06+p(F1)*0,06=0,1
=> 1,06*p(F1)=0,04
=> p(F1)=0,0377 (gerundet)
Jetzt weiß man, dass F1 alleine mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 0,0377 auftritt. Der Fall, dass F2 auftritt, ist jetzt also einfach 0,1-0,0377=0,0623.

[crusader4]

Nun, ich würde die Angabe "Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler F1 ist 0,04" schon als p(F1)=0,04 interpretieren. Was du meinst verstehe ich grade nicht. Wofür sollte Deiner Meinung nach der Zahlenwert von 0,04 konkret stehen?
Die Wahrscheinlichkeit für F1 ändert sich ja nicht, nur weil auch F2 auftritt. Das ist ja gerade der Witz an der Unabhängigkeit.

[Spasstiger]

Nun, ich würde die Angabe "Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler F1 ist 0,04" schon als p(F1)=0,04 interpretieren. Was du meinst verstehe ich grade nicht. Wofür sollte Deiner Meinung nach der Zahlenwert von 0,04 konkret stehen?
Die Wahrscheinlichkeit für F1 ändert sich ja nicht, nur weil auch F2 auftritt. Das ist ja gerade der Witz an der Unabhängigkeit.
Du rechnest ja die Wahrscheinlichkeiten zusammen und zwar F1 alleine + F2 alleine + F1 und F2 zusammen. Gegeben ist aber die Wahrscheinlich für das Auftreten von F1 generell, egal ob alleine oder zusammen mit F2.