[Mathematik] Grundlegende Frage zu Eindeutigkeitsgesetz

[Kabelsalat]

Hallo,

Ich bräuchte Unterstützung beim Beleg des Eindeutigkeitsgesetzes (bitte nicht am Namen festklammern):

(Hinweis zur Syntax: E enstpricht "Element"; N entspricht der Menge der natürlichen Zahlen)

Ich behaupte a + c = b + d mit a,b,c,d E N und a = b, c = d - diese Aussage muss nun belegt werden, ich kämpfe jedoch mit dem Problem, dass mir die Behauptung grundlegend logisch erscheint und ich daher keinen Ansatz für einen Beweis finde: Aus der genannten Behauptung folgt b + d = b + d was man mit folgenden Vorraussetzungen auch als p = p ausdrücken kann - nun sehe ich keine Möglichkeit diese Aussage mit den gegebenen Aspekten zu belegen....

Vorrausetzen kann ich folgendes
-> a + b E N mit a,b E N (bereits belegt)

Ansonsten gilt:

(1) | E N
(2) n E N => n| E N
(3) n = m => n| = m| (m ebenfalls Element der nat. Zahlen)
(4) n| = m| => n = m
(5) n| != |
(6) [Vollständige Induktion]

Ebenfalls konstruiert:

-> m + 1 = m|
-> m + n = p, m + n| = p| => m + n| = (m + n)|

Danke für eure Hilfe

Kabelsalat

[Wanginator]

Das ist nicht so ganz einfach. Es kommt halt darauf an, was du alles schon belegt hast. Solltest du Addition und Gleichheit bei Addition bereits bewiesen hast, kannst du das Gesetz als trivial abstufen. Wenn du, aber wie du beschreibtst, nur die Peano-Axiome und die Induktion als Werkzeuge hast, würde ich es mit zweifacher geschachtelter Induktion (über a,b und dann über c,d) versuchen (also 4 Induktions-Beweise)

Hier mal ein Ansatz: Ich weiß nicht obs richtig ist und wie tief du beweisen musst.

Falls du 0 elem. N definiert hast dann beginne mit IA a = 0, ansonsten mit IA a = 1. Hier als Bsp mit IA a = 1:

IA für a = b = 1:

IA für c = d = 1:
1 + 1 = 1 + 1
<=> 1 | = 1 |
<=> 1 = 1
=> wahr

IV: 1 + c = 1 + d für c = d

IS: 1 + (c+1) = 1 + (d+1)
<=> 1 + c| = 1 + d|
<=> (1 + c)| = (1 + d)|
<=> 1 + c = 1 + d
=> einsetzen von IV ergibt wahr

IV: a + 1 = b + 1

IS: (a + 1) + 1 = (b + 1) + 1
<=> (a + 1)| = (b + 1)|
<=> a + 1 = b + 1
<=> einsetzen von IV ergibt wahr

dann hast du schon 3 Fälle und nun noch für
IV: a + c = b + d

IS: (a + 1) + (c + 1) = (b + 1) + (d + 1)
<=> ...

[Kabelsalat]

Vielen Dank! Jetzt ist mir das ganze um einiges klarer....