Paradoxon "Alle Marsianer sind Lügner" aufgelöst?

[Weyoun]

Hi,

ich hatte vor einigen Minuten wieder an dieses Paradoxon gedacht und mir ist möglicherweise die Auflösung gelungen. Da ich nicht daran glaube, frage ich ich euch mal, wo der Fehler liegt.

Paradoxon:
Ein Marsianer kommt auf die Erde und sagt "Alle Marsianer sind Lügner!"

Normalerweise würde sich ein Paradoxon ergeben: Wenn er ein Lügner ist, dann sind Marsianer keine Lügner, wenn er kein Lügner ist, dann stimmt die Aussage, und er hätte gelogen.

Dieses Paradoxon ist eigentlich keins, da es sich auflösen lässt.
Die Lösung lautet: Der Marsianer ist ein Lügner.

Wie komme ich nun drauf?
Ganz einfach: Das Paradoxon sagt nicht, was an dem Satz "Alle Marsianer sind Lügner" falsch ist.

Es wird hier im Schema "Alle sind Lügner" und "Keiner ist Lügner" gedacht.
D.h. im Schema alles oder nichts. Das wird aber vom angeblichem Paradoxon nicht impliziert! Es wird hier übersehen, dass es noch eine dritte Möglichkeit gibt: "Fast alle Marsianer sind Lügner!"

Daher gilt folgendes:
Der Marsianer kommt und sagt: "Alle Marsianer sind Lügner".
Wenn der Satz wahr wäre, dann hat er gelogen.
Wenn der Satz nicht wahr wäre, dann hat er auch gelogen.

Das einzige was sich hier immer beißt ist folgende Annahme:
Der Marsianer hat die Wahrheit gesagt, und alle Marsianer sind Lügner.
D.h. der Marsianer KANN in keinem Fall die Wahrheit gesagt haben.

Er hat also in jedem Fall gelogen. Doch was wäre der richtige Satz?
Zur Auswahl stehen "Fast alle Marsianer sind Lügner" oder "Kein Marsianer ist ein Lügner". "Kein Marsbewohner ist ein Lügner" kann aber auch nicht wahr sein, denn mindestens einer von denen hat gerade gelogen. D.h. Wahre Aussage ist demnach "Fast alle Marsianer sind Lügner".

Wo liegt der Fehler?

MfG,
Weyoun

[Monger]

Ich hab noch einen Satz im Angebot: "Nicht alle Marsianer sind Lügner!"

Wenn er lügt, müssen auch alle anderen Siemensianer Lügner sein. Wenn er die Wahrheit sagt, gibt es einige Marsianer die lügen, und einige die die Wahrheit sagen. Dein Satz ist ein Spezialfall von meinem. Ob wir jetzt allerdings damit bewiesen haben dass es keine anderen Lösungen geben kann... öhhh, das ist mir für heute abend zu anstrengend! :D

[tombman]

Es wird hier übersehen, dass es noch eine dritte Möglichkeit gibt: "Fast alle Marsianer sind Lügner!"

Nein, die gibts nicht, er hat ausdrücklich gesagt ALLE, was ihn einschließt. Bleibt nur die Frage der Definition eines Lügners. Muß denn ein Lügner IMMER lügen? Wäre das nicht schon die Aufhebung der Lüge? Denn wenn ein Lügner ständig lügt, hat die Lüge ja keine Wirkung, da ja dann die Wahrheit immer das Gegenteil ist.
Wenn er also sagt "Alle Marsinaner sind Lügner", und ein Lügner auch mal die Wahrheit sagen kann, dann steht eigentlich nur fest, daß man Marsianer ned trauen kann und aufpassen sollte, denn offensichtlich kennt er die Lüge an sich schon mal, also kann und wird er sie als intelligentes Wesen schon mal benutzen :cool:

[InsaneDruid]

Er hat aber eben nur gesagt ALLE Marsianer sind Lügner.

Das bedeutet aber nicht, das wenn dieser Satz falsch ist KEINER ein Lügner ist.

Alle anderen sind evtl keine Lügner, aber er.

[Quantar]

"Fast alle" würde ich nicht benutzen, das ist ein "schmutziger Quantor" :D
"mindestens ein" könnte man noch hinzufügen. wenn er es ist, dann gibt es keinen, da aus dem "mindestens ein" ein "kein" wird. Aber das kommt dann ganz drauf an, wie man das ganze formalisiert.

Bleibt nur die Frage der Definition eines Lügners
Ich würde sagen, bei einem Lügner ist jede richtige Aussage falsch, wird also negiert und vice versa.

Wenn er also sagt "Alle Marsinaner sind Lügner"
dann wird die Aussage einfach negiert und es gibt eben solche und solche.

[AnarchX]

http://de.wikipedia.org/wiki/Paradoxon_des_Epimenides
;)

Es kommt ganz auf die Deutung des Wortes "Lügner" an.

[RMC]

Er hat aber eben nur gesagt ALLE Marsianer sind Lügner.

Das bedeutet aber nicht, das wenn dieser Satz falsch ist KEINER ein Lügner ist.

Alle anderen sind evtl keine Lügner, aber er.


Eben...die Negation von "ALLE" ist nicht "KEINER"

!ALLE != KEINER

Sondern: !ALLE == mindestens einer

[AnarchX]

Eben...die Negation von "ALLE" ist nicht "KEINER"

!ALLE != KEINER

Sondern: !ALLE == mindestens einer

Was ist dann die Affirmation von "KEINER"?

Das ist noch ein interessanter Artikel zum Thema:
http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%BCgner-Paradox

[RMC]

Was ist dann die Affirmation von "KEINER"?

Das ist noch ein interessanter Artikel zum Thema:
http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%BCgner-Paradox

Keiner heißt soviel wie "nicht einer". !Keiner wäre demnach "mindestens einer", was natürlich nicht "Alle" bedeutet.

[Weyoun]

Das habt ihr alle richtig gesagt - doch ich bin nicht ganz zufrieden, da hier auf meine Sichtweise noch nicht
richtig eingegangen wurde. Ich versuchs mal weiter auszuformulieren:

Mir gehts vor allem darum, dass keine Kausalität auftritt.
Normalerweise impliziert man ja mit Kausalität die Unmöglichkeit einer Aussage.
"Sowohl als Auch" - Zustände = Unmöglich
Unmöglich = Falsch
Möglich = Wahr

1 + 1 = 2 => Wahr, da logisch möglich
1 + 1 = 3 => Falsch, da logisch unmöglich (drei Äpfel sind genausoviel wie zwei Äpfel?)

Da hier bei einem Teil der Lösungsmöglichkeiten ("Aussage ist wahr und der Marsianer ist ein Lügner") eine Kausalität
auftritt -> falsche Lösungsmöglichkeit.

Bei einem anderen Teil jedoch ("Aussage ist falsch und der Marsianer ist ein Lügner") tritt keine Kausalität auf -> wahr.

Mein Knackpunkt wäre jetzt: Sind "Sowohl als Auch" Zustände als falsch anzusehen? Mir wäre bis auf die Quantenphysik
kein weiterer Fall in der Natur bekannt, welche "Sowohl als Auch" - Zustände akzeptiert.
Jedoch ist auch z. B. Schrödingers Katze meines Erachtens nur ein Fall für die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ich hab mir die Wikipedialinks noch nicht angesehen, das hole ich morgen nach. Ist mir doch etwas zu spät heute :).

MfG,
Weyoun

[Gnafoo]

Nochmal langsam zum Nachvollziehen.
Aussage: „Alle Marsianer sind Lügner“.

Möglichkeit (a). Der Marsianer sagt die Wahrheit. Das führt auf einen Widerspruch, also kann dies nicht zutreffen.

Möglichkeit (b). Der Marsianer lügt. D. h. seine Aussage ist falsch. Daraus folgt, dass die Negation seiner Aussage wahr sein muss. Diese Negation lautet „Es existiert ein Marsianer, der kein Lügner ist.“. Das kann durchaus zutreffen, es sei denn es existiert nur ein Marsianer. Dann haben wir wieder einen Widerspruch.

D. h. wenn es nur einen Marsianer gibt, kann er nur eine widersprüchliche (und damit nichtssagende) Aussage treffen. Gibt es mehrere Marsianer, dann ist es immerhin noch möglich, dass der Marsianer lügt.
Es lebe die Prädikatenlogik ;).

@Weyoun: Was meinst du mit "sowohl als auch"? Wenn ich dich richtig verstanden habe: eine Aussage die gleichzeitig richtig und falsch sein soll bzw. keines von beiden sein kann (weil aus der Korrektheit der Aussage folgt das die Aussage falsch ist und umgekehrt)? Das ist afaik nach der Logik dann weder falsch noch richtig, sondern schlicht und einfach ein Widerspruch.

[Quantar]

Daraus folgt, dass die Negation seiner Aussage wahr sein muss

Wobei ich mich frage, ob es zwingend die kontradiktorische Aussage sein muss, und nicht auch die subalterne oder konträre sein kann.

Sind "Sowohl als Auch" Zustände als falsch anzusehen?
In der Logik ja. Das besagt die Tautologie des "Tertium non Datur".

[Weyoun]

@Weyoun: Was meinst du mit "sowohl als auch"? Wenn ich dich richtig verstanden habe: eine Aussage die gleichzeitig richtig und falsch sein soll bzw. keines von beiden sein kann (weil aus der Korrektheit der Aussage folgt das die Aussage falsch ist und umgekehrt)? Das ist afaik nach der Logik dann weder falsch noch richtig, sondern schlicht und einfach ein Widerspruch.

Ja, du hast mich richtig verstanden. Aber ist ein "Widerspruch" nicht dasselbe wie "Falsch"?

Wenn er ein Lügner ist, dann sind Marsianer keine Lügner, wenn er kein Lügner ist, dann stimmt die Aussage, und er hätte gelogen.

Daraus leite ich für mich zwei Zustände ab:
1. Zustand: Marsianer ist ein Lügner
2. Zustand: Marsianer ist kein Lügner

Aus dem ersten Zustand folgt der zweite Zustand. Aus dem zweiten folgt der erste Zustand...usw.

Erster Zustand = Zweiter Zustand

In der Mathematik wird zwischen Widerspruch und Falsch, soweit ich weiß, eigentlich kein Unterschied gemacht.
2 = 3 -> Widerspruch -> Falsch


Wobei ich mich frage, ob es zwingend die kontradiktorische Aussage sein muss, und nicht auch die subalterne oder konträre sein kann.

Was meinst du mit "subaltern" in diesem Sinne?

In der Logik ja. Das besagt die Tautologie des "Tertium non Datur".
Stimmt, z. B. in der binären Logik wird es verwendet. In der Digitaltechnik werden Widersprüche einfach als "verbotener Zustand" angesehen. Flopflops wären hier ein Beispiel.
http://de.wikipedia.org/wiki/Flipflop#RS-_und_D-Latch.2FFlipflop

Aber ob man überhaupt die vom Menschen geschaffene Logik dafür verwenden kann, um Probleme der Natur zu lösen? Immerhin ist es nur die Sichtweise der Menschen von der Natur. Früher hat man z. B. auch gedacht, Newton sei das nonplusultra und man hätte die Physik verstanden. Bis 1905, dem annus mirabilis der Physik.

Die Sache mit der Definition des Lügners wäre z. B. ein zweiter Weg, um das ganze aufzulösen.

MfG,
Weyoun

[Quantar]

Was meinst du mit "subaltern" in diesem Sinne?
wäre hierbei
"Nicht alle Marsianer sind nicht Lügner". Also auch "Es gibt Marsianer, die Lügner sind" per Umformung.
Ist bei uns unter dem "Logischen Quadrat" zu finden.

Aus dem ersten Zustand folgt der zweite Zustand. Aus dem zweiten folgt der erste Zustand...usw.

Erster Zustand = Zweiter Zustand

Dann haben wir aber ein Problem, da aus falschem Beliebiges folgt. Bzw aus einer Aussage und ihrer Negation.

Die Sache mit der Definition des Lügners wäre z. B. ein zweiter Weg, um das ganze aufzulösen.
Das macht das Ganze aber imo eher komplizierter, da man davon ausgehen kann, dass man nie genau weiß, ob ein Lügner die Wahrheit sagt oder nicht.

[Gnafoo]

Wobei ich mich frage, ob es zwingend die kontradiktorische Aussage sein muss, und nicht auch die subalterne oder konträre sein kann.


In der Logik ja. Das besagt die Tautologie des "Tertium non Datur".

Afaik besagt das „Tertium non Datur“, dass die Aussage A oder ihre Negation "nicht A" stets wahr sein müssen. Deshalb ist "A oder (nicht A)" eine Tautologie, also stets wahr. A kann gerade deshalb nicht gleichzeitig wahr und falsch sein, sonst wäre das „Tertium non Datur“ keine Tautologie, weil es möglich wäre, dass "A oder (nicht A)" falsch ist (der Wert von A wäre in dem Fall sowieso unklar). Ein solcher „sowohl-als-auch-Zustand“ ist daher ausgeschlossen in der Prädikatenlogik.

Ebenfalls folgt aus dem „Tertium non Datur“, dass eben die Negation einer Aussage stets erfüllt sein muss, wenn die Aussage selber falsch ist. Ansonsten wäre "A oder (nicht A)" falsch und das „Tertium non Datur“ keine Tautologie.

Das Problem bei der Aussage ist aber eigentlich, dass diese lautet: "A => nicht A" (Mit A: „Der Marsianer sagt die Wahrheit“). Ich bin mir allerdings nicht ganz sicher, wie eine solche Aussage gehandhabt wird, also ob sie wahr oder falsch ist. Imho ist das nicht bestimmbar, denn dafür braucht man den Wert von A (der eigentlich interessant ist) und dieser ist aber nicht aus der Aussage "A => nicht A" ableitbar.

PS: Korrigiert mich bei Fehlern, ich bin nicht so der Logik-Crack :D.

[Quantar]

Ich bin mir allerdings nicht ganz sicher, wie eine solche Aussage gehandhabt wird, also ob sie wahr oder falsch ist
Dann biste beim Ex falso Quodlibet gelandet, resp. dem Ex falso sequitur quodlibet. A → (~A → Q). Wenn du also A gewinnst, dann gewinnst du alles. mit ~A hingegen nichts(von interesse).

Ebenfalls folgt aus dem „Tertium non Datur“, dass eben die Negation einer Aussage stets erfüllt sein muss, wenn die Aussage selber falsch ist. Ansonsten wäre "A oder (nicht A)" falsch und das „Tertium non Datur“ keine Tautologie.
Du kannst das einfach weiter spezialisieren, indem du ein ausschließendes oder draus machst
A oder (nicht A) genaudannwenn nicht(A und (nicht A))

[CannedCaptain]

Habe keine Logik als Fach gehört, aber ich weiß, dass dieses Paradoxon mit diesem Satz auflösbar ist:

http://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_Unvollständigkeitssatz#G.C3.B6dels_Satz