Frage zu ner Matheaufgabe (9.Klasse)

[Ladyzhave]

Ich stehe grad vor einem Rätsel. Eigentlich müsste diese Aufgabe total simpel sein, weil es Stoff aus der neunten Klasse ist. Aber ich komm einfach nicht dahinter.
Normalerweise muss man die Gleichungen ja so umstellen, dass am Ende nur noch eine Variable übrig bleibt und man somit den Rest auch ausrechnen kann, aber wie mache ich das in diesem Fall:

|7 x + 5 y = 1 |
|3,5x + 2,5y = 2|

Wenn ich unten mit 2 multipliziere fallen ja alle Variablen weg!

Same here:

|12x + 15y = 3|
|4 x + 5y = 1 |

Wie muss ich vorgehen?

[Mr_Snakefinger]

Das Ergebnis ist x in Abhängigkeit der anderen Variablen y. Gibts auch schonmal... ;)

*****EDIT****
Bei Aufgabe 1 natürlich nicht, da gibts keine Lösung...

[Distroia]

Wiese fallen alle Variablen weg, wenn du die untere Gleichung mit 2 multiplizierst?

Wenn du die Untere mit 2 multiplizierst, erhältst du:

7x + 5y = 4

Das Widerspricht aber der ersten Gleichung. Also: keine Lösung.


Zu dem zweiten Gleichungssystem:

4x + 5y = 1 | *3
12x + 15y = 3

Die zweite Gleichung entspricht also der ersten Gleichung. Es bleibt nur eine Gleichung übrig, wodurch das Gleichungssystem unterbestimmt ist. Du kannst also nur x in Abhängigkeit von y und umgekehrt angeben.

für x:
4x + 5y = 1 | -5y
4x = 1 - 5y | *4
x = 1/4 - 5/4y

[Oberon]

Ja, und dann kommt oben raus:
0 = -3
und unten:

0 = 0
Die erste Gleichung ist also nicht lösbar bzw. unmöglich, die zweite allgemeingültig.

[Ladyzhave]

Wiese fallen alle Variablen weg, wenn du die untere Gleichung mit 2 multiplizierst?

Wenn du die Untere mit 2 multiplizierst, erhältst du:

7x + 5y = 4

Das Widerspricht aber der ersten Gleichung. Also: keine Lösung.


Zu dem zweiten Gleichungssystem:

4x + 5y = 1 | *3
12x + 15y = 3

Die zweite Gleichung entspricht also der ersten Gleichung. Es bleibt nur eine Gleichung übrig, wodurch das Gleichungssystem unterbestimmt ist. Du kannst also nur x in Abhängigkeit von y und umgekehrt angeben.

für x:
4x + 5y = 1 | -5y
4x = 1 - 5y | *4
x = 1/4 - 5/4y

Alles klar, danke dir!

Ich dachte, ich müsste da jetzt zwingend auf einen Weg kommen um eine Variable durch das Additionsverfahren zu eliminieren.

[Ric]

Die lösung ist so einfach und banal, dass man vielleicht zu kompliziert denkt:

Das wichtigste: Stell dir das graphisch vor. In einem 2-dimensionalen koordinatensystem gibt es für geraden 3 möglichkeiten:
1. Ein schnittpunkt
2. Unendlich schnittpunkte
3. Kein schnittpunkt.

Bei ersten fall einfach y und x gleichsetzten und dann bekommst du genau ein ergebnis.

Zweiter fall: da ist x immer gleich y. (lösung ist also x=y)

Dritter fall und der hier zutreffende: Die geraden verlaufen parallel aber nicht aufeinander. Der anstieg, (x, bei einer nach y umgestellten gleichung) ist der selbe.

Die lösung lautet also: die geraden treffen sicht nie, da sie parallel verlaufen. Das ist der schluss den du aus dem ergebnis ziehen darfst.

[Distroia]

Ich dachte, ich müsste da jetzt zwingend auf einen Weg kommen um eine Variable durch das Additionsverfahren zu eliminieren.

Ja, das kenn ich. Manchmal steht man einfach auf dem Schlauch, weil man meint irgendetwas, was mit vorher mal gelernt hat anwenden zu müssen, und sieht gar nicht, wie einfach die Lösung eigentlich ist.

[Spasstiger]

Man kann auch sagen, dass in beiden Aufgaben die Gleichungen jeweils linear abhängig sind (das ist immer der Fall, wenn sich alle Variablen rauseliminieren). Die resultierenden Geraden sind dann also parallel oder liegen aufeinander, d.h. es gibt keine oder unendlich viele Lösungen.

Im Umkehrschluss gilt: Ein Gleichungssystem liefert nur dann eine eindeutige Lösung, wenn alle Gleichungen linear unabhängig sind. Dies ist dann der Fall, wenn die Determinante der Matrix des Gleichungssystems ungleich null ist.