Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Mathe: Vektorrechnung, Ebenenschar HILFE!
Farspeed
2006-09-05, 22:38:44
Hi Leute.
Stehe kurz vor einer wichtigen Klausur und bin bereits kräftig am lernen. Komme nur bei einer Aufgabe nicht weiter! Hoffe einer von euch kann mir helfen:
Gegeben ist die Ebenenschar (a+1)x + (2a - 1)y + z = 0
Habe bereits Punkte gefunden P1: (0,0,0) P2: (-2,1,3)
Daraus folgt dass die gemeinsame Schnittgerade g der Ebenenschar folgende ist: (0,0,0) + t(-2,1,3) = g
Nun kommt mein Problem: Man gebe die Gleichungen der beiden Ebenen E1,E2 der Schar, die vom Punkt (1,1,1) den Abstand 1 haben.
Wie mache ich dieses??? Bzw. Wie gehe ich vor???
Gnafoo
2006-09-06, 00:44:14
Lotgerade durch (1,1,1) senkrecht zur Ebene (wobei der Richtungsvektor von a abhängen wird) konstruieren. Dann die Lotgerade mit der Ebene schneiden (der Schnittpunkt dürfte von a abhängen) und den Abstand des Schnittpunktes zu (1,1,1) betrachten. Dieser muss 1 betragen, was dir eine schöne Gleichung einbringt, die wie ich denke 2 Lösungen für a haben müsste.
Aber keine Garantie. ;) Ist schon ne Weile her.
Spasstiger
2006-09-06, 01:07:30
Der Normalenvektor auf jeder Ebene ist ja (a+1/2a-1/1). Dieser stellt auch gleichzeitig den Richtungsvektor der Lotgerade von der Ebene zum Punkt (1/1/1) dar.
Die Lotgerade ist damit (1/1/1)+t*(a+1/2a-1/1).
Damit kann man dann - wie von Der Tod bereits gesagt - den Schnittpunkt mit der Ebene berechnen (in Abhängigkeit von a, also a an dieser Stelle noch nicht ausrechnen). Und der Abstand von diesem Schnittpunkt zum Punkt (1/1/1) soll dann gerade 1 betragen. Dabei sollten logischerweise zwei Lösungen für a rauskommen.
/EDIT: Mit Maple und dem oben beschriebenen Weg komme ich auf -1-1/2*sqrt(6) und -1+1/2*sqrt(6) als Lösungen für a.
Damit erhält man die Ebenen
E1: -1/2*sqrt(6)*x + (-3-sqrt(6))*y + z = 0
E2: 1/2*sqrt(6)*x + (-3+sqrt(6))*y + z = 0
Das von Hand auszurechnen ist aber schon ein Stück Arbeit. Jetzt müsste man mein Ergebniss nur noch grafisch überprüfen
/EDIT2: Hab meine Ergebnisse eben noch mit dem distance-Befehl in Maple überprüft und die beiden Ebenen sind jeweils genau 1 vom Punkt (1,1,1) entfernt.
Dürft ihr eigentlich einen programmierbaren Taschenrechner verwenden? Mit hält sich der Aufwand für die Aufgabe ja in Grenzen. Ohne ists Drecksarbeit, wie mein alter Oberstufen-Mathelehrer gesagt hätte. ;)
Farspeed
2006-09-06, 11:03:59
Ja da bedank ich mich doch mal, wird gleich nachgerechnet =).
Ja nen progr. TR dürfen wir verwenden, hab nur keinen. ;-) Hatte mal den Ti83, hab ihn aber direkt nachem Abi verkauft:|
Würde einem aber auch in diesem Fall nicht viel mehr helfen, da der Rechenweg klar ersichtlich sein soll.
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