Mathe: Korrelationskoeffizient?

[mobius]

Hallo Leute,

bin momentan Stoff am aufarbeiten, doch ein paar Dinge kenn ich einfach aus der Schulzeit nicht und hab daher Probleme. Derzeit hänge ich an dieser Aufgabe, da ich nicht weiss was ein Korrelationskoeffizient ist. Vielleicht kenn das ganze ja unter einem anderen Namen oder die Rechnungart, aber alles was ich mir ergoogle versteh ich nicht. Wäre nett, wenn mir einer kurz erklären könnte was ein Korrelationskoeffizient ist und wie man das ganze rechnet. Vielen Dank.

Aufgabe 5
Um den Zusammenhang zwischen dem Alter eines Baumes und seinem Stammdurchmesser zu untersuchen, wurden zu 7 Kastanien das Alter (in Jahren) und der Stammdurchmesser in Brusthöhe (in mm) bestimmt. Die folgende Tabelle enthält die zugehörigen Ergebnisse.

Alter (in Jahren) 5 10 13 16 18 25 30
Stammdurchmesser (in mm) 20 51 89 114 117 165 178

Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten zu den beiden Merkmalen Alter und Stammdurchmesser.

Nur als Anmerkung, falls einer denkt, dass es Hausaufgaben sind: Die Lösungen zu den Aufgaben habe ich bereits, nur bringen sie mir leider nichts, da ich das Thema an sich nicht verstehe.

[Gnafoo]

Also ich kenne den (Pearson-)Korrelationskoeffizienten aus unserer Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie. Dort gibt dieser zu einer Menge von (x,y)-Tupeln an, wie stark „linear“ die Werte sind. D. h. wenn der Korrelationskoeffizient ungefähr 1 ist, dann lässt sich eine steigende Gerade konstruieren, so dass alle Punkte um die Gerade verteilt sind (man nennt die dann Regressionsgerade). Bei -1 ist dies mit einer fallenden Gerade der Fall. Ist dagegen der Wert ungefähr 0, dann gibt es keinen linearen Zusammenhang der Werte (was nicht heißt, dass die Werte anders systematisch verteilt sein können).

Die Berechnung ist allerdings etwas haarig, aber ich kanns versuchen, mal zusammenzuschreiben.

[Wanginator]

Wenn es der Pearsonscher Maßkorrelationskoeffizient gemeint ist, dann ist das die Kovarianz geteilt durch das Produkt der Wurzeln beider Varianzen :ugly:

Hier zu lesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Korrelationskoeffizient
Empirischer Korrelationskoeffizient wird dort auch definiert

[Gnafoo]

Rechenbeispiel (ist irgendwie deutlich mehr geworden als ich gedacht hatte :D egal): zunächst einmal seien die x-Werte das Alter und die y-Werte der Stammdurchmesser. Dann hat man die Stichprobe:

http://www.forkosh.dreamhost.com/cgi-bin/mimetexpublic.cgi?((5,20),(10,51),(13,89),(16,114),(18,117),(25,165),(30,178)) \in \mathbb{R}^2

Dann braucht man das Stichproben-Mittel der x- und y-Werte (also einfach den Mittelwert):
http://www.forkosh.dreamhost.com/cgi-bin/mimetexpublic.cgi?\bar{x}=117/7 \approx 16,714\\ \bar{y}=734/7 \approx 104,857

Jetzt braucht man die Stichproben-Standardabweichung der x- und y-Werte. Diese berechnet sich als:

http://www.forkosh.dreamhost.com/cgi-bin/mimetexpublic.cgi?s_x=\sqrt{\frac{1}{n-1}\cdot\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}

also:
http://www.forkosh.dreamhost.com/cgi-bin/mimetexpublic.cgi?s_x\approx \sqrt{\frac{1}{6}\cdot(137,22+45,08+13,79+0,51+1,65+68,66+176,52)}=\sqrt{73,91}\ approx 8,6
http://www.forkosh.dreamhost.com/cgi-bin/mimetexpublic.cgi?s_y\approx \sqrt{\frac{1}{6}\cdot(7200,71+2900,58+251,44+83,59+147,45+3617,18+5349,90)}\app rox \sqrt{3258,48}\approx 57

Der Pearson-Korrelationskoeffizient ist dann:
http://www.forkosh.dreamhost.com/cgi-bin/mimetexpublic.cgi?r_{xy}=\frac{\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})(y_j-\bar{y})}{s_x\cdot s_y}

also:
http://www.forkosh.dreamhost.com/cgi-bin/mimetexpublic.cgi?r_{xy}=\frac{\frac{1}{6}((-11,714)(-84,857)+(-6,714)(-53,857)+(-3,714)(-15,857)+(-0,714)(9,143)+(1,286)(12,143)+(8,286)(60,143)+(13,286)(73,143))}{8,6 \cdot 57} \\ \approx \frac{482,29}{490,2} \approx 0,98

Also ein deutlich linearer ansteigender Trend. Die Werte der Regressionsgerade sind dann:
http://www.forkosh.dreamhost.com/cgi-bin/mimetexpublic.cgi?b=r_{xy} \cdot \frac{s_y}{s_x} \approx 0,98 \cdot \frac{57}{8,6} \approx 6,5 \\ a=\bar{y}-b\cdot \bar{x}=104,857-6,5\cdot16,714 \approx -3,78

also ist die Regressionsgerade:
http://www.forkosh.dreamhost.com/cgi-bin/mimetexpublic.cgi?y=a+bx=6,5x-3,78

Das kannst du auch nachprüfen, indem du x-Werte von oben einsetzt.

[Migrator]

ahhhhhhhhhhh ich schreib doch statistik I am Dienstag...jetzt wollte ich mich mal davon erholen und selbst im 3dcenter verfolgt mich der Wahnsinn ;)