[Mathe:] Durchschnittliche Entfernung

[ethrandil]

Dies ist keine Hausaufgabe, sondern ein selbst gestelltes Problem!

Wir haben m Punkte im R^d (also d dimensionen).
( es gilt also N c R^N, |N|=m (in LateX: n \in N \subset R^n))
Die Punkte sind gleichverteilt und liegen im Einheitswürfel.

Wir betrachten nun einen zufälligen weiteren Punkt im selben Intervall. Uns interessiert der Abstand von diesem neuen Punkt zu dem Punkt (aus N), der ihm am nächsten liegt. Der Abstand wird mit der Euklidischen Norm berechnet.

Wie groß ist dieser Abstand im Mittel?

Ich bin für alle Überlegungen, die auf dem Weg zur Lösung helfen könnten (und sogar für die Lösung selbst), dankbar.

mfg
- eth

[Kryp7on]

Dies ist keine Hausaufgabe, sondern ein selbst gestelltes Problem!

Wir haben m Punkte im R^d (also d dimensionen).
( es gilt also N c R^N, |N|=m (in LateX: n \in N \subset R^n))
Die Punkte sind gleichverteilt und liegen im Einheitswürfel.

Wir betrachten nun einen zufälligen weiteren Punkt im selben Intervall. Uns interessiert der Abstand von diesem neuen Punkt zu dem Punkt (aus N), der ihm am nächsten liegt. Der Abstand wird mit der Euklidischen Norm berechnet.

Wie groß ist dieser Abstand im Mittel?

Ich bin für alle Überlegungen, die auf dem Weg zur Lösung helfen könnten (und sogar für die Lösung selbst), dankbar.

mfg
- eth
ich versteh nicht wirklich wie zwischen dem neuen Punkt - nennen wir ihm mal P(P1,....,Pd) - und einem einzigen anderen Punkt (nämlich dem nächstliegenden) einen mittleren Abstand ermitteln soll...

Meine den Abstand von P zu allen Punkten?
also so für mich als Erstsemester klingt das nach einem Fall für ... das arimethrische Mittel:
Folglich (ich nehme mal an du kannst LaTeX lesen:
1/n \sum_{i=1}^m (\sum_{k=1}^d \Sqrt{(P_k-P_{ik})^2}
wobei wir die Punkte P1,P2,...Pm nennen mit jeweils den Koordinaten P1(p11,p12,...p1d) usw. ;-)

[ethrandil]

ich versteh nicht wirklich wie zwischen dem neuen Punkt - nennen wir ihm mal P(P1,....,Pd) - und einem einzigen anderen Punkt (nämlich dem nächstliegenden) einen mittleren Abstand ermitteln soll...

Meine den Abstand von P zu allen Punkten?
also so für mich als Erstsemester klingt das nach einem Fall für ... das arimethrische Mittel:
Folglich (ich nehme mal an du kannst LaTeX lesen:
1/n \sum_{i=1}^m (\sum_{k=1}^d \Sqrt{(P_k-P_{ik})^2}
wobei wir die Punkte P1,P2,...Pm nennen mit jeweils den Koordinaten P1(p11,p12,...p1d) usw. ;-)
Naja die Punkte sind alle nur stochastische Größen...
und ich suche davon den kürzesten Abstand den es zu einem m+1ten zufälligen Punkt gibt.
Quasi so:

Also, die Punkte p_i sind alle zufällig. Dann ist der Abstand den ich suche folgender:
http://img524.imageshack.us/img524/1936/formel1hg4.png
Ich will wissen, wie groß dieser Abstand wahrscheinlich ist für ebenfalls normalverteilte Punkte p.

Ich habe ein einfaches Beispiel (d = n = 1):
Wir haben das Intervall [0,1] und darin enthalten ist eine zufällige normalverteilte Zahl p1.
Der durchschnittliche minimale Abstand zu einem weitern p ist dann 1/3. (Man kann die Formel f(x,y) = |x-y| nach x und y integrieren und erhält 1/3... Zumindestens erhielt ich das *g*.)

mfg
-eth

[Kryp7on]

Naja die Punkte sind alle nur stochastische Größen...
und ich suche davon den kürzesten Abstand den es zu einem m+1ten zufälligen Punkt gibt.
Quasi so:

Also, die Punkte p_i sind alle zufällig. Dann ist der Abstand den ich suche folgender:
http://img524.imageshack.us/img524/1936/formel1hg4.png
Ich will wissen, wie groß dieser Abstand wahrscheinlich ist für ebenfalls normalverteilte Punkte p.

Ich habe ein einfaches Beispiel (d = n = 1):
Wir haben das Intervall [0,1] und darin enthalten ist eine zufällige normalverteilte Zahl p1.
Der durchschnittliche minimale Abstand zu einem weitern p ist dann 1/3. (Man kann die Formel f(x,y) = |x-y| nach x und y integrieren und erhält 1/3... Zumindestens erhielt ich das *g*.)

mfg
-eth
also ne richtige Formel dürfte nicht wirklich easy sein, allein die min(x,y) Formel ist ja schon recht lang und da sinds 2 statt m werte...

ne, ich denk ma das ich zu hoch für mich, wünsch dir trotzdem noch viel erfolg..

[ethrandil]

Naja durch experimentieren kommt folgende Formel sehr gut hin:

1/(2*n+1)+sqrt((d-1)/6)

- eth