Ernste Mathe-Aufgabe für Mathefreak-Member, Skizze inside

[Plutos]

Heyhey,

ein Problem für Fortgeschrittene (oder Leute, die direkter und nicht so um's Eck denken wie ich wohl :frown:)...

In einem x-y-z-Koordinatensystem sind zwei Kurven gegeben:
- eine, die in der Ebene x=0 liegt [in der Skizze ganz grob etwas Cosinus-artiges, nennen wir es L(y)]
- sowie eine, die in der Ebene y=0 liegt [das Glockenkurven-artige, nennen wir es K(x)].
Die beiden Kurven schneiden sich im Punkt (0, 0, z*) auf der Z-Achse.

Für das Problem wollen wir uns auf die vier Oktanten mit z >= 0 beschränken. Die beiden Funktionsgleichungen K(x) sowie L(y), die die beiden Kurven beschreiben, seien bekannt [wer das gern mittels Beispiel rechnen/verstehen würde: sei K(x)=exp(-x²) und L(y)=cos(y)].

Das eigentlich Problem lautet nun also:
Wie bestimme ich analytisch die (eindeutig bestimmte?) Funktion W(x, y), deren Graph (in diesem Fall eben eine Fläche im R³) die beiden Kurven K(x) sowie L(y) enthält?



Hier die Skizze - von "vorne nach hinten" verläuft L(y), von "links nach rechts" verläuft K(x):
http://img510.imageshack.us/img510/5425/skizzepg4.png

[anorakker]

edit....sry

[DaFakka]

Du meinst das wohl erstmal so:
l: {0}xR²->R³: (0,y,z) |-> (0,y,L( y)) mit L( y)=cos y
k:Rx{0}xR->R³: (x,0,z) |-> (x,0,exp(-x²))
w:R³->R³: (x,y,z)|->(x,y,W(x,y))
wobei wir wissen W(0,0)=1
Wie wärs mit W(x,y)=L( y)+K(x)-1?

Edith: Natürlich geht auch W(x,y)=L( y)*K(x) ('Separation der Variablen') also nix mit eindeutig bestimmt

[Crop Circle]

Wie wärs mit W(x,y)=L( y)+K(x)-1?
Dann liegen aber die Funtionen L( y) und K(x) nicht in der Fläche W(x,y).

[DaFakka]

Eine Funktion kann nie in einer Fläche liegen.
Der Graph der Funktion l (eine 1D Untermannigfaltigkeit) liegt sehr wohl im
Graph der Funktion W, betrachte hierzu W(0,y)=K(0)+L( y)-1=L( y).
Analog für k mit W(x,0)=K(x)+L(0)-1=K(x).

[Crop Circle]

Der Graph der Funktion l (eine 1D Untermannigfaltigkeit) liegt sehr wohl im
Graph der Funktion W, betrachte hierzu W(0,y)=K(0)+L( y)-1=L( y).
Analog für k mit W(x,0)=K(x)+L(0)-1=K(x).
Sorry, hast recht.

Ich meine der Graph einer Funktion kann doch in einer Ebene liegen.

Du meinst das wohl erstmal so:
l: {0}xR²->R³: (0,y,z) |-> (0,y,L( y)) mit L( y)=cos y
k:Rx{0}xR->R³: (x,0,z) |-> (x,0,exp(-x²))
w:R³->R³: (x,y,z)|->(x,y,W(x,y))


Sollte die Def. der Funktionen L und K dann nicht so aussehen?

l: {0}xRx{0}->R³: (0,y,0) |-> (0,y,L( y)) mit L( y)=cos y
k:Rx{0}x{0}->R³: (x,0,0) |-> (x,0,exp(-x²))

[DaFakka]

Hmm, in gewisser Hinsicht hätte ich mir die Def. der Fktn. l und k sowie w sparen können.
Gemeint ist vielmehr folgendes:
Graph(W)={(x,y,z) el. R³ | z=W(x,y)}={(x,y,z) el. R³ | z=L( y)+K(x)-1}
Womit nun klar ist, dass
{(0,y,z) el. R³ | z=L( y)+K(0)-1=L( y)} Teilmenge von Graph(W)
und ebenso
{(x,0,z) el. R³ | z=L( 0)+K(x)-1=K(x)} Teilmenge von Graph(W)

Wichtig ist nur, dass die Graphen von K und L als 2D-Objekte nicht einfach so
in den R³(mit kanonischer Basis) eingebetet werden können. Ich nutze l und k nur, um diese Einbettung (per Projektion in die entsprechende Ebene) darzustellen. Ich hoffe nun sind alle Unklarheiten beseitigt ;)

[Plutos]

Hmm, in gewisser Hinsicht hätte ich mir die Def. der Fktn. l und k sowie w sparen können.
Gemeint ist vielmehr folgendes:
Graph(W)={(x,y,z) el. R³ | z=W(x,y)}={(x,y,z) el. R³ | z=L( y)+K(x)-1}
Womit nun klar ist, dass
{(0,y,z) el. R³ | z=L( y)+K(0)-1=L( y)} Teilmenge von Graph(W)
und ebenso
{(x,0,z) el. R³ | z=L( 0)+K(x)-1=K(x)} Teilmenge von Graph(W)

Wichtig ist nur, dass die Graphen von K und L als 2D-Objekte nicht einfach so
in den R³(mit kanonischer Basis) eingebetet werden können. Ich nutze l und k nur, um diese Einbettung (per Projektion in die entsprechende Ebene) darzustellen. Ich hoffe nun sind alle Unklarheiten beseitigt ;)

Genau so hab ich das gemeint :smile:, aber ganz so viel ist aus Höherer Mathematik I - IV wohl doch nicht hängengeblieben ;). Danke, das sieht sehr gut aus und hilft mir enorm weiter.

Die nächste Frage wäre jetzt:
betrachten wir die Menge (den Quader) aller Punkte, für die gilt:
-1 <= x <= 2 und -1 <= y <= 2 und 0 <= z <= 1

Gesucht ist nun genau die STETIGE ;) Funktion W(x, y), die das Volumen zwischen der Ebene mit z=0 (also {(x, y, 0)} mit x, y beliebig) und dem Graphen der Funktion W(x, y) minimiert.

[DaFakka]

Als nicht ganz so ernst gemeinte Antwort(die aber dennoch richtig ist!) auf die neue Frage bzgl. des Volumens.
Die Fktn. W(x,y) mit W(0,y)=L( y) und W(x,0)=K(x) und W(0,0)=1
und W(x,y)=0 für (x!=0 und y!=0) minimiert das Volumen. Es ist nämlich gleich Null.
Eventuell fällt Unu jetzt ein, welche Bedingung an W er vergessen hat, damit diese Aufgabe nicht trivial wird.

[Plutos]

Als nicht ganz so ernst gemeinte Antwort(die aber dennoch richtig ist!) auf die neue Frage bzgl. des Volumens.
Die Fktn. W(x,y) mit W(0,y)=L( y) und W(x,0)=K(x) und W(0,0)=1
und W(x,y)=0 für (x!=0 und y!=0) minimiert das Volumen. Es ist nämlich gleich Null.
Eventuell fällt Unu jetzt ein, welche Bedingung an W er vergessen hat, damit diese Aufgabe nicht trivial wird.

Edit: erstmal richtig gelesen...du spielst auf Stetigkeit an, oder?

Edit2: ja, die Funktion sollte natürlich (im Bereich (-1 <= x und -1 <= y)) stetig sein ;).

[DaFakka]

genau ;)

[Crop Circle]

Was hat das mit dem Quader zu tun?

[Freakazoid]

Heyhey,

ein Problem für Fortgeschrittene (oder Leute, die direkter und nicht so um's Eck denken wie ich wohl :frown:)...

In einem x-y-z-Koordinatensystem sind zwei Kurven gegeben:
- eine, die in der Ebene x=0 liegt [in der Skizze ganz grob etwas Cosinus-artiges, nennen wir es L(y)]
- sowie eine, die in der Ebene y=0 liegt [das Glockenkurven-artige, nennen wir es K(x)].
Die beiden Kurven schneiden sich im Punkt (0, 0, z*) auf der Z-Achse.

Für das Problem wollen wir uns auf die vier Oktanten mit z >= 0 beschränken. Die beiden Funktionsgleichungen K(x) sowie L(y), die die beiden Kurven beschreiben, seien bekannt [wer das gern mittels Beispiel rechnen/verstehen würde: sei K(x)=exp(-x²) und L(y)=cos(y)].

Das eigentlich Problem lautet nun also:
Wie bestimme ich analytisch die (eindeutig bestimmte?) Funktion W(x, y), deren Graph (in diesem Fall eben eine Fläche im R³) die beiden Kurven K(x) sowie L(y) enthält?



Hier die Skizze - von "vorne nach hinten" verläuft L(y), von "links nach rechts" verläuft K(x):
http://img510.imageshack.us/img510/5425/skizzepg4.png

Ich hab von Mathe keine Ahnung, aber von meiner Mathelehrerin bekomm ich immer haue wenn ich Koordinatensystem mit Achsen male die in zwei richtungen zeigen :O

[!_Tomcat_!]

Ich hab von Mathe keine Ahnung, aber von meiner Mathelehrerin bekomm ich immer haue wenn ich Koordinatensystem mit Achsen male die in zwei richtungen zeigen :O

Kommt ja auch immer darauf an wie die Definitionsmenge ist!

[Plutos]

Was hat das mit dem Quader zu tun?

Das ist zur Veranschaulichung, wenn man alle Punkte der von mir angegeben Teilmenge des R³ bunt einfärbt, sieht man einen bunten Quader (der von W(x,y) in einen "oberen" und einen "unteren" Teil geteilt wird, und mich interessiert eben das Volumen des unteren Teils bzw. genau die Funktion W(x,y), die dieses Volumen minimiert).

Ich hab von Mathe keine Ahnung, aber von meiner Mathelehrerin bekomm ich immer haue wenn ich Koordinatensystem mit Achsen male die in zwei richtungen zeigen :O

Sag deiner Lehrerin 'nen schönen Gruß und frag sie, ob sie schonmal was von den sogenannten "negativen Zahlen" gehört hat (oder rechnet und zeichnet ihr nur mit Beträgen?). Bist du dir sicher, dass du nicht zwei verschiedene Achsen in genau entgegengesetzte Richtungen gezeichnet hast? Oder dass du kein Rechtssystem gezeichnet hast?

[DaFakka]

Hmm, das mit der volumenminimierenden Funktion W ist garnicht so leicht,
aber ich hab mich auch nie sehr tief mit Variationsrechnung beschäftigt.
Unteranderem ist ja cos( y)<0 für y>=pi/2, womit wir schon garnicht mehr in dem Quader wären.

[Plutos]

Hmm, das mit der volumenminimierenden Funktion W ist garnicht so leicht,
aber ich hab mich auch nie sehr tief mit Variationsrechnung beschäftigt.
Unteranderem ist ja cos( y)<0 für y>=pi/2, womit wir schon garnicht mehr in dem Quader wären.

Ja, ich hatte mir das auch einfacher vorgestellt...dachte, so nach dem Motte, ein paar Integrale lösen und mit einer handvoll Nebenbedingungen über bspw. einen Lagrange-Ansatz die Extrema 'raussuchen und grafisch überprüfen, ob es ein Minimum ist. Aber ganz so einfach geht's dann wohl doch nicht ;).

Ich denke mal, ich werde versuchen, das zugrunde liegende Problem auf eine andere Art und Weise zu lösen. Ich habe noch ein paar andere, wenn auch wieder vereinfachende Ansätze am Start, die ich jetzt für ziehlführender halte ;). Wer sich gerne weiter damit beschäftigt, kann das natürlich gerne tun ;).

(Jenes Problem besteht im übrigen hierin: Marktteilnehmer schätzen eine ökonomische Größe, wozu sie die beobachteten Werte dieser Größe in den vergangenen drei Perioden heranziehen; wenn die Marktteilnehmer nun mit dieser Schätzung danebenliegen, was sie so gut wie immer - wenn auch nur wenig - tun, sollen sie einen gewichteten Mittelwert aus ihrer ursprünglichen Schätzung für den heutigen Wert sowie dem tatsächlich beobachteten heutigen Wert bilden.
Und eben diese(r) Gewichtung(sfaktor) soll von der tatsächlichen Entwicklung des Wertes der interessierenden Größe (in den letzten zwei, idealerweise in den letzten n Perioden) abhängen - im Gegensatz zu einer statischen Gewichtung lässt sich damit die Tatsache, dass Marktteilnehmer Booms und andere spekulative Bewegungen erkennen und entsprechend darauf reagieren können, simulieren (numerisch) bzw. formal beschreiben)