Erklärung für Substitution bei Integration

[beta3]

Hi

Kann mir bitte jemand erklären, warum diese Substitution bei gewissen Integrationen funktioniert? Mir geht es darum, zu verstehen, wie man auf diese Substitution kommt (also die Terme für sin x und cos x)

\int dx / (5+3*cos x)
Substitution: tan (x/2) = t <=> x = 2 atan t
-> dx = 2 dt / (1 + t^2)
-> sin x = 2t / (1 + t^2)
-> cos x = (1 - t^2) / (1 + t^2)

==> \int dx / (5+3*cos x) = 0.5 * atan (0.5 tan (x/2) )

ps: Kennt jemand eine Möglichkeit LaTeX-Code hier einzubinden?

[mirp]

sin(2*x) = 2 * sin(x) * cos(x)
cos(2*x) = (cos(x))^2 - (cos(x))^2
sin(arctan(x)) = x / (1 + x^2)^0.5
cos(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)^0.5

x = 2 * arctan(t)

=> sin(x) = sin(2 * arctan(t)) = 2 * sin(arctan(t)) * cos(arctan(t)) = 2 * t / (1 + t^2)

=> cos(x) = cos(2 * arctan(t)) = cos(arctan(t))^2 - sin(arctan(t))^2 = (1 - t^2) / (1 + t^2)

[beta3]

Vielen Dank, aber eine Kleinigkeit bleibt noch ausständig:


sin(arctan(x)) = x / (1 + x^2)^0.5
cos(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)^0.5

Wie kommt man auf diese Werte?

[mirp]

Selbst kommt man da eher nicht drauf. So etwas lässt sich aber nachschlagen. Zu den trigonometrischen Funktionen gibt es haufenweise Formeln.

http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Umrechnung_in_andere_trigonometrische_Funktionen

[beta3]

Habe etwas gefunden: http://mathforum.org/library/drmath/view/53946.html
Wer selbstständig auf solche Gedanken kommt, ist echt gut.

[mirp]

Das ist ein schöner Beweis. ^^

[Spasstiger]

Wie sagte mein alter Mathe-LK-Lehrer immer?
Ableiten ist Drecksarbeit, Integrieren ist Kunst. ;)