Hilfe bei Matheaufgabe (Uni): Linearität

[boxleitnerb]

In der Systemtheorie wird bei uns definiert, dass eine Funktion dann linear ist, wenn als notwendige Bedingungen das Superpositionsprinzip erfüllt ist und die Funktion durch den Ursprung geht:

y(t)=T{x(t)} -> T(0)=0

Folgende Funktion soll laut Lösung linear sein:

y(t)=Integral von minus unendlich bis t von x(z)dz

Warum? Angenommen, x(z)=0, dann ist y(t)=c und da geht nichts durch den Ursprung. Es gibt beliebig viele weitere Gegenbeispiele, ich glaube sogar, das Ding geht nie durch den Ursprung. Kann mir das jemand bitte erklären?

[Senior Sanchez]

Lol, ich kenne die Definition genau andersherum, wobei das einfach eine Äquivalenz sein wird: Das Superpositionsprinzip gilt genau dann, wenn die einzelnen Größen lineare Kennlinien haben.

Wie kommst du darauf das y(t) = c sein soll?

[boxleitnerb]

Na Null integriert gibt eine Konstante c, in die ich die Grenzen natürlich nicht einsetzen kann.
Was ich mir aber gerade überlegt habe: Vielleicht wird von einem ruhenden System ausgegangen, Anfangswerte gleich Null oder sowas. Weil ohne irgendwelche vereinfachenden Annahmen ist die obige Lösung doch nicht richtig, oder?

[Spasstiger]

Integral von a bis b über 0 = c - c = 0

Und dass die Integraloperation linear ist, kannst du dir generell merken, die Eigenschaft wird nicht gerade selten stillschweigend angenommen. ;)
Vielleicht musst du dir so einen Integrator wie im Beispiel auch bildlich machen. Du integrierst immer über die Eingangsfunktion von 0 bis zum aktuellen Zeitpunkt. D.h. alle eingehenden Werte werden auf den im Integrator gespeicherten Wert draufaddiert, am Ausgang liegt immer der aktuell im Integrator gespeicherte Wert an. Wenn am Eingang die ganze Zeit 0 reingeht, wird nie was auf den Speicher draufaddiert und am Ausgang liegt die ganze Zeit der Anfangswert 0 an.

[boxleitnerb]

Hm, stimmt eigentlich, wenn man es sich mit der Fläche unter der Kurve überlegt. Hab ich wohl nen Denkfehler gemacht :)
Danke :)

Ja da haben wir das Wort ja wieder...Anfangswert. Woher weiss ich, dass der Anfangswert Null ist? Könnte doch auch anders sein.

[Spasstiger]

Ja da haben wir das Wort ja wieder...Anfangswert. Woher weiss ich, dass der Anfangswert Null ist? Könnte doch auch anders sein.
Ein Integrator muss immer den Startwert 0 haben, sonst entspricht er nicht der Definition eines Integrals.