Formel gesucht: Schnittpunkt einer Gerade mit einem Kreis

[BoneDaddy]

Gibt es eine Formel zur Berechnung eines Schnittpunkts einer Gerade mit einem Kreis?

Eine Gerade g mit dem Startpunkt P1(x1,y1) und dem Endpunkt P2(x2,y2). Des Weiteren haben wir einen Kreis k mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M(x3,y3). Wie lautet die Berechnung um zu testen, ob die Gerade den Kreis schneidet, oder nicht?

[PatkIllA]

In R³ reicht Mittelpunkt und Radius gar nicht um den Kreis zu beschreiben. Entweder meinst du eine Kugel oder du brauchst noch eine Ebene.
Eine Gerade hat auch keinen Start- oder Endpunkt.

[BoneDaddy]

Ne Sorry, habe die Z-Ebene rauseditiert. Alles passiert auf einer Ebene.

[Spasstiger]

Das Problem lässt sich vereinfachen auf ein Problem "Abstand Punkt - Gerade". Wenn dieser Abstand vom Kreismittelpunkt zur Gerade kleiner ist als der Kreisradius, hast du logischerweise einen Schnitt.

Zum Thema "Abstand Punkt - Gerade" müsste Google sehr ergiebig sein. ;)

[Coda]

Das Problem lässt sich vereinfachen auf ein Problem "Abstand Punkt - Gerade". Wenn dieser Abstand vom Kreismittelpunkt zur Gerade kleiner ist als der Kreisradius, hast du logischerweise einen Schnitt.
Aber nicht die Schnittpunkte.

Edit: Ach so, er will nur wissen ob überhaupt.

[Spasstiger]

Aber nicht die Schnittpunkte.

Edit: Ach so, er will nur wissen ob überhaupt.
Hm, irgendwie hat er beides gefragt. :biggrin:
Gut, die Schnittpunkte sind auch nicht schwer zu berechnen. Einfach schauen, welche Punkte auf der Geraden vom Kreismittelpunkt genau den Radius r entfernt sind.

Dazu einfach die Geradengleichung in Parameterdarstellung nehmen, den Kreismittelpunkt abziehen und den Betrag vom Ergebnis bilden. Dieser Betrag muss dann gleich r sein. Die Abhängigkeit von zwei Parametern x und y bekommt man raus, indem man für x oder y die Geradengleichung einsetzt. Dann hat man nur noch eine Abhängigkeit von x oder y und kann die Gleichung lösen.
Vielleicht gibts auch schnellere Wege, aber ich löse solche Aufgaben immer intuitiv ohne mir Formeln zu merken.

[BoneDaddy]

Danke schonmal für eure Hilfe.

Die Schnittpunkte sind nicht wirklich interessant, ich möchte nur Wissen, ob der Kreis geschnitten wird oder nicht.
Konnte das Problem lösen, mit dem bereits erwähnten Abstand Gerade - Punkt.

[Hardwaretoaster]

Hm, irgendwie hat er beides gefragt. :biggrin:
Gut, die Schnittpunkte sind auch nicht schwer zu berechnen. Einfach schauen, welche Punkte auf der Geraden vom Kreismittelpunkt genau den Radius r entfernt sind.

Dazu einfach die Geradengleichung in Parameterdarstellung nehmen, den Kreismittelpunkt abziehen und den Betrag vom Ergebnis bilden. Dieser Betrag muss dann gleich r sein. Die Abhängigkeit von zwei Parametern x und y bekommt man raus, indem man für x oder y die Geradengleichung einsetzt. Dann hat man nur noch eine Abhängigkeit von x oder y und kann die Gleichung lösen.
Vielleicht gibts auch schnellere Wege, aber ich löse solche Aufgaben immer intuitiv ohne mir Formeln zu merken.
Dann aberin Form y=mx+n. Habe ich das richtig verstanden?

[Spasstiger]

Dann aberin Form y=mx+n. Habe ich das richtig verstanden?
Ja, die Geradengleichung dann in dieser Form. Nach der Betragsbildung hat man ja nur noch einen skaleren Ausdruck und keine Vektoren mehr.