Kurze Frage an Matheprofis hier

[Oberon]

Gestern war Prüfung in HM1 und da kam diese dubiose Reihe dran:
http://666kb.com/i/aw30gihmrnnteq3ue.jpg

i= imaginäre Einheit. Entschuldigt im Übrigen die grausame Zeichnung, ich sollte mich mal mit LaTex vertraut machen :(
Ich behaupte, sie divergiert. Kommilitonen von mir haben allerdings gemeint, sie konvergiere gegen 0.
Was stimmt denn nun?:biggrin:

[FoxXent]

Die Reihe sollte gegen 0 konvergieren, aber warte lieber noch ein paar Antworten ab.

[ceed]

hier stand etwas unüberlegtes...

[Bumsfalara]

Auf die schnelle würd ich auch behaupten, dass sie divergiert.

i^1=i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1
i^5=i
i^6=-1
i^7=-i
...

etcetcblahblah

Sie springt also in etwa zwischen 1 und -1 hin und her.

[superdash]

Ich würde mal sagen, das geht gegen:
-(1/2)+(1/2)i
Gut belegen kann ichs nicht...

[Ajax]

Ich denk mal für i könnte man auch x einsetzen. Damit wäre klar, dass x als Wert in der Reihe immer gleich belibt und nur der Laufindex steigt. Deswegen würde ich auch sagen, dass die Reihe gegen 0 konvergiert. Unabhängig von der Alternierung.

[deloris]

Meiner Meinung nach konvergiert die Reihe gegen 0. Das wird sichtbar, wenn du die Reihe in 4er Pakete aufteilst. Jede 4er Reihe ergibt 0, also auch die gesamte Reihe. Jedes n-te Element der Reihe ergibt das selbe wie das (n+4)te, z.B. n(1) und n(5). Grund: i^4 = 1, also ist i^1 =i^5=i^9=...
Gruß,
deloris

[xfire]

Ich denk mal für i könnte man auch x einsetzen.
Nein, könnte man nicht. i ist ne Imaginäre Zahl und, da ist das etwas anders als mit den "normalen Zahlen"...

Da gilt, dass: i²=-1

also:

k=1: -1/i
k=2: 1
k=3: 1/i
k=4: -1

für K=5 ist's wieder -1/i
etc....

Also dürfte Divergenz die richtige Antwort sein...

[Ajax]

@xfire

Meinste Du i ist eine komplexe Zahl? :confused:
Dann kann ich Deiner Ausführung folgen.

[xfire]

@xfire

Meinste Du i ist eine komplexe Zahl? :confused:
Dann kann ich Deiner Ausführung folgen.

Das mit den Imaginären zahlen ist "Teil der komplexen Zahlen"...

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass auch Wurzeln negativer Zahlen berechnet werden können.

Dies gelingt durch Einführung einer neuen Zahl i als Lösung der Gleichung x² = − 1. Diese Zahl i wird auch als imaginäre Einheit bezeichnet.

[raffa]

i ist die imaginäre Einheit.
Komplexe Zahlen sehen so aus: z = a + b*i (z aus C, a,b aus R, i imaginäre Einheit mit i^2=-1).

Mann kann aber schon i als komplexe Zahl darstellen, deren Realteil Null ist, also z = 0 + 1*i

Achso, ja die Reihe ist divergent, ganz einfach weil sie die notwenige Bedingung zur Reihenkonvergenz nicht erfüllt. Sprich: Die Folge ist keine Nullfolge => Reihe divergent.

[Oberon]

Meiner Meinung nach konvergiert die Reihe gegen 0. Das wird sichtbar, wenn du die Reihe in 4er Pakete aufteilst. Jede 4er Reihe ergibt 0, also auch die gesamte Reihe. Jedes n-te Element der Reihe ergibt das selbe wie das (n+4)te, z.B. n(1) und n(5). Grund: i^4 = 1, also ist i^1 =i^5=i^9=...
Gruß,
deloris
Diese Überlegung hatte ich natürlich auch schon, nichtsdestotrotz divergiert die Reihe meiner Meinung nach. Denn ich komme doch immer wieder über die 0 hinaus, also kann 0 doch kein Grenzwert sein.

[Baalzamon]

Meiner Meinung nach konvergiert die Reihe gegen 0. Das wird sichtbar, wenn du die Reihe in 4er Pakete aufteilst. Jede 4er Reihe ergibt 0, also auch die gesamte Reihe. Jedes n-te Element der Reihe ergibt das selbe wie das (n+4)te, z.B. n(1) und n(5). Grund: i^4 = 1, also ist i^1 =i^5=i^9=...
Gruß,
deloris
Dementsprechend sollte deiner Meinung nach Summe(k=0) (-1)^k auch gegen 0 konvergieren? Tut sie aber nicht. :(

Ist ja teilweise echt abenteuerlich hier. Bevor man irgendwas raushaut, könnte man sich ja zumindest die Mühe machen und mal kurz bei Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28Mathematik%29) schauen was Konvergenz und Divergenz überhaupt bedeutet, gell. ;)

Diese Überlegung hatte ich natürlich auch schon, nichtsdestotrotz divergiert die Reihe meiner Meinung nach. Denn ich komme doch immer wieder über die 0 hinaus, also kann 0 doch kein Grenzwert sein.
Womit du auch genau richtig liegst.

[wrdaniel]

Damit die Reihe konvergiert muss die darin enthaltene Folge eine Nullfolge sein. Ist keine Nullfolge -> Reihe divergent.

[raffa]

Damit die Reihe konvergiert muss die darin enthaltene Folge eine Nullfolge sein. Ist keine Nullfolge -> Reihe divergent.

Wie ich schon schrieb ;)
Allerdings ist das kein hinreichenden Kriterium, die Reihe über 1/n ist zb divergent.

Und von wegen "um die Null herum": Auch für alternierende Reihen gilt: keine Nullfolge -> Reihe divergent. Handelt es sich bei aber um eine monotone Nullfolge, so folgt die Konvergenz der alternierenden Reihe (Leibniz Kriterium für alternierende Reihen http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium )

[wrdaniel]

nicht hinreichend, aber notwendig.

[AnPapaSeiBua]

Erstens: -1 / i = i² / i = i
Vielleicht ist es damit einfacher. :wink:
Also alternieren die Folgeglieder => keine Nullfolge => nicht konvergent


Meiner Meinung nach konvergiert die Reihe gegen 0. Das wird sichtbar, wenn du die Reihe in 4er Pakete aufteilst. Jede 4er Reihe ergibt 0, also auch die gesamte Reihe. Jedes n-te Element der Reihe ergibt das selbe wie das (n+4)te, z.B. n(1) und n(5). Grund: i^4 = 1, also ist i^1 =i^5=i^9=...
Gruß,
deloris
Die Summationsreihenfolge darf man leider nur bei absolut konvergenten Reihen ändern, was hier aber nicht gegeben ist. Mit dieser Methode kann meine keine Konvergenz beweisen :wink:

[raffa]

nicht hinreichend, aber notwendig.

jo, ich hab das bloß zur Ergänzung geschrieben, nicht daß das jemand falsch auffast :)

edit:

Also alternieren die Folgeglieder => keine Nullfolge => nicht konvergent

Das stimmt so nicht, also aus alternierend folgt nicht "keine Nullfolge"! Die Glieder der Folge "(-1)^n mal (1/n)" alternieren auch und es handelt sich sehr wohl um eine Nullfolge und die Reihe über diese Folge ist konvergent.

[pest]

auch wenn die Reihe divergiert, so besitzt sie doch Häufungspunkte :tongue:

[AnPapaSeiBua]

Das stimmt so nicht, also aus alternierend folgt nicht "keine Nullfolge"! Die Glieder der Folge "(-1)^n mal (1/n)" alternieren auch und es handelt sich sehr wohl um eine Nullfolge und die Reihe über diese Folge ist konvergent.

Stimmt... Wollte damit ausdrücken, dass sich die Folgenglieder wiederholen, also i, -1, -i, 1, i...

[Oberon]

Tjaja...hab ichs mir doch gedacht. Danke Leute:biggrin: