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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : [Mathematik] Setzt sich immer die höhere Potenz durch?


Mark
2008-03-03, 14:30:18
gelöscht

laser114
2008-03-03, 14:34:10
Setzt sich immer die höhere Potenz durch?

Im Fall lin x->oo [ax^k+bx^(k-1)+...+c]/[dx^(k+n)+ex^(k+n-1)+...+f] ja.

Voraussetzung ist das a,d!=0

n>0 führt zu 0
n=0 a/d
n<0 führt zu oo

Man klammere x^k aus, kürze es und das Ergebnis ist klar ersichtlich.

PS: Mit Zahlen sind eh vernachlässigbar setzt du die Regel sogar schon um (kleinste Potenz - nämlich hoch null -> unwichtig). ;)

Mark
2008-03-03, 14:43:24
gelöscht

radi
2008-03-03, 14:48:10
vll verwechselt er das mit reihen,

die reihe 1/n divergiert, aber ab 1/n² konvergiert sie. keine ahnung...

laser114
2008-03-03, 14:49:06
und wie schauts in anderen Fällen bei gebroch.rat. Funktionen aus?

Ich habs oben mal auf alle rationale Funktionen erweitert. Stimmt immer noch.

DonVitoCorleone
2008-03-03, 15:30:02
Höchste Potenz gewinnt.

Ich nehm jetzt mal an, es geht um Kurvendiskussion / Asymptotenberechnung:
Dann würd ich aber nicht bei der anfängliche geb. rat. Fkt lim x->unendlich laufen lassen, sondern die Fkt. korrekter Weise durch die höchste Potenz teilen. Das ergibt dann bei deinem Beispiel:

lim (x/x² - 1/x²) / (x²/x² + 5/x²) = (0 - 0) / (1 + 0) = 0
x->unendlich

Aber das nur am Rande. Im Endeffekt stimmt die Aussage: Höchste Potenz gewinnt.

pest
2008-03-03, 16:05:29
Ich habs oben mal auf alle rationale Funktionen erweitert. Stimmt immer noch.

n=0? :wink:

mofhou
2008-03-03, 16:39:44
n=0? :wink:
Dann ist das Ergebnis immer 1 (Deflücken mal außen vorgelassen), wenn die Konstanten gleich sind.
Wenn nicht, dass geht es eben gegen einen bestimmten Wert.

AtTheDriveIn
2008-03-03, 16:58:07
Was ist das denn für ein Lehrer? :|

Ich meine, da steht ja jetzt nix kompliziertes...

Gebrochen Rationale Fkt:
Ist Zählergrad kleiner als Nennergrad ->asymptotisches Verhalten gegen die X-Achse.

mofhou
2008-03-03, 17:12:50
Was ist das denn für ein Lehrer? :|

Ich meine, da steht ja jetzt nix kompliziertes...
Naja, im Prinzip hat er aber Recht. Denn es gibt einen Extremfall, wo die Regel nicht gilt, nämlich dann, wenn der Vorfaktor der höheren Potenz Null ist.

[0x^(99999)+1]/x geht gegen Null für x->Unendlich

Mathematisch lag er also korrekt, nur praktisch eben nicht :ugly:

laser114
2008-03-03, 17:18:40
n=0? :wink:
Naja, im Prinzip hat er aber Recht. Denn es gibt einen Extremfall, wo die Regel nicht gilt, nämlich dann, wenn der Vorfaktor der höheren Potenz Null ist.

[0x^(99999)+1]/x geht gegen Null für x->Unendlich

Mathematiker sind so furchtbar korrekt. :ugly:

AtTheDriveIn
2008-03-03, 17:24:04
Naja, im Prinzip hat er aber Recht. Denn es gibt einen Extremfall, wo die Regel nicht gilt, nämlich dann, wenn der Vorfaktor der höheren Potenz Null ist.

[0x^(99999)+1]/x geht gegen Null für x->Unendlich

Mathematisch lag er also korrekt, nur praktisch eben nicht :ugly:

Wobei ich jetzt nicht weiß ob 0/x eine rationale Funktion ist

DonVitoCorleone
2008-03-03, 17:25:46
Wobei ich jetzt nicht weiß ob 0/x eine rationale Funktion ist

0/x ist keine Fkt. Und schon gar keine rationale. 0/x = 0.

Kenny1702
2008-03-03, 17:27:40
-Doppelpost-

Kenny1702
2008-03-03, 17:28:09
Wobei ich jetzt nicht weiß ob 0/x eine rationale Funktion ist
bezeichne sie doch einfach als eine entartete rationale Funktion.:D

rotalever
2008-03-03, 17:30:59
Also wenn du hast

|a0*x^n + a1* x^(n-1) + ... + an * x^0|
|f(x)| = ----------------------------------------
|b0*x^m + b1 * x (m-1) + ... + bm * x^0|

(a0 ungleich 0, b0 ungleich 0!)

Dann ist das gleich

O (|x^n / x^m|) = O (|x^(n-m)|)

Dann lässt du x gegen unendlich gehen und hast folgende Fälle:

n = m dann ist n-m = 0
also lim x->+inf (x^0) = c
n > m dann ist n-m > 0
lim x->+inf (x^(n-m)) = +inf
n < m dann ist n-m < 0
lim x->+inf (x^(n-m)) = 0


Ich hoffe das war richtig, insb. die Notation :wink:

rotalever
2008-03-03, 17:32:15
0/x ist keine Fkt. Und schon gar keine rationale. 0/x = 0.

Und warum soll das dann keine Funktion sein? Die Funktion 0/x ist eine Gerade mit einer Lücke bei x = 0

rotalever
2008-03-03, 17:34:50
Naja, im Prinzip hat er aber Recht. Denn es gibt einen Extremfall, wo die Regel nicht gilt, nämlich dann, wenn der Vorfaktor der höheren Potenz Null ist.

[0x^(99999)+1]/x geht gegen Null für x->Unendlich

Naja, dann existiert x^99999 ja überhaupt nicht, wenn eine Null davor steht. Du hast ja oben und unten ein Polynom stehen. Und ein Polynom vom Grad 99999 darf vor dem höchsten Glied nur einen Faktor ungleich 0 haben. Sonst könntest du ja auch sagen x^3 ist ein Polynom 5. Grades, weil es 0*x^5+x^3 entspricht, das wäre sinnfrei.

just my 2 ct..

Kenny1702
2008-03-03, 17:37:02
Und warum soll das dann keine Funktion sein? Die Funktion 0/x ist eine Gerade mit einer Lücke bei x = 0
Jup.


Der Analytiker versteht unter einer rationalen Funktion R eine Funktion, die auf ganz C bis auf höchstens endliche Ausnahmemenge A definiert ist und sich in C\A mittels Polynomen f,g als Quotient

R(z)=f(z)/g(z)

darstellen läßt.
Aus Analysis 1 von Königsberger.

g(z) muß auf dem Definitionsbereich natürlich ungleich 0 sein.
Die höchste Potenz eines Polynoms darf 0 sein.

P.S.: Eine Ecke ist auch eine Kante ;).

nino
2008-03-03, 18:56:08
Naja, im Prinzip hat er aber Recht. Denn es gibt einen Extremfall, wo die Regel nicht gilt, nämlich dann, wenn der Vorfaktor der höheren Potenz Null ist.

[0x^(99999)+1]/x geht gegen Null für x->Unendlich

Mathematisch lag er also korrekt, nur praktisch eben nicht :ugly:

Wenn man es mathematisch ausdrücken würde, würde man sagen, wenn der Grad des Nennerpolynoms größer als der des Zählerpolynoms ist, geht die Funktion gegen Null. Andersrum gegen unendlich.

Und der Grad ist definiert als die höchste Potenz mit Vorfaktor!=0.
Er hat also auf keinen Fall recht ;)

Spasstiger
2008-03-03, 18:59:29
Man wende einfach die Regel von L'Hospital mehrfach an:
http://upload.wikimedia.org/math/8/5/2/8521a61f4a32067d55aed1afb2b1b1b3.png

http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%27Hospital

mofhou
2008-03-03, 19:09:46
Wenn man es mathematisch ausdrücken würde, würde man sagen, wenn der Grad des Nennerpolynoms größer als der des Zählerpolynoms ist, geht die Funktion gegen Null. Andersrum gegen unendlich.

Und der Grad ist definiert als die höchste Potenz mit Vorfaktor!=0.
Er hat also auf keinen Fall recht ;)
Ich habe nichts gegenteiliges behauptet, aber bei dem Streit ging es ja exakt um Potenzen und den Vorfaktor, siehe hier:

...
Also die Zahlen sind eh vernachlässigbar
...
Unser jetziger Lehrer behauptet aber, das dies nicht immer der Fall ist. Also die "höhere Potenz setzt sich nicht immer durch". Setzt sich immer die höhere Potenz durch?

Um das ganze nochmal zu veranschaulichen:

http://img402.imageshack.us/img402/3015/bild8so6.png (http://imageshack.us) mit a€N, b€N und c€(N\0)
Geht die Folge für x->inf+ immer gegen unendlich?

Die Antwort ist logischerweise Nein, da a ja auch 0 sein kann.

rotalever
2008-03-03, 19:46:52
Ich habe nichts gegenteiliges behauptet, aber bei dem Streit ging es ja exakt um Potenzen und den Vorfaktor, siehe hier:


Um das ganze nochmal zu veranschaulichen:

http://img402.imageshack.us/img402/3015/bild8so6.png mit a€N, b€N und c€(N\0)
Geht die Folge für x->inf+ immer gegen unendlich?

Die Antwort ist logischerweise Nein, da a ja auch 0 sein kann.
Ja natürlich, a könnte 0 sein. Das ist aber nicht im Sinne der Aufgabe/Fragestellung, weil es sich dabei wie gesagt um Polynome bzw. quotienten von Polynomen handelt und dabei nicht die höchste Potenz sondern der Grad des Polynoms gemeint ist. Davon redet natürlich auch die ganze Zeit der Lehrer, auch wenn er es vll. anders ausdrückt. Das dann die Aussage vom Threadstarter in dem Sinne recht ist, wurde ja jetzt schon mehrfach vollständig in diesem Thread mathematisch bewiesen, es benötigt also eigentlich keine Diskussion mehr, außer jemand zweifelt einen der Beweise an, darüber kann man natürlich reden. Ansonsten sollte die Sache jetzt klar sein.

J0ph33
2008-03-03, 19:53:45
Man wende einfach die Regel von L'Hospital mehrfach an:
http://upload.wikimedia.org/math/8/5/2/8521a61f4a32067d55aed1afb2b1b1b3.png

http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%27Hospital

die ganze erste seite habe ich mich gefragt, wo bleibt der Hospital...und mich schon gefreut einen eleganten kommentar abgeben zu können...;D

egal...
konfrontiert euren Lehrer mal mit Hospital, wird ihm sicher was zu einfallen, mir ist da allerdings kein spezialfall bekannt

mofhou
2008-03-03, 20:06:30
Davon redet natürlich auch die ganze Zeit der Lehrer, auch wenn er es vll. anders ausdrückt.
Naja, da war ich mir eben nicht sicher um was genau der Streit ging und hab deshalb noch den Fall erwähnt.

pest
2008-03-03, 20:47:01
Man wende einfach die Regel von L'Hospital mehrfach an:


Diese Regel lässt sich nur bei unbestimmten Ausdrücken anwenden.
Bei gebrochenrationalen Funktionen i.A. nicht.

rotalever
2008-03-03, 21:39:33
Diese Regel lässt sich nur bei unbestimmten Ausdrücken anwenden.
Bei gebrochenrationalen Funktionen i.A. nicht.
Aber mein "Beweis" ist doch gültig? :confused:

pest
2008-03-03, 21:50:22
Aber mein "Beweis" ist doch gültig? :confused:

Beweis? Ich seh hier keinen Beweis :ulol:

oder meinst du das?




|a0*x^n + a1* x^(n-1) + ... + an * x^0|
|f(x)| = ----------------------------------------
|b0*x^m + b1 * x (m-1) + ... + bm * x^0|



n = m dann ist n-m = 0
also lim x->+inf (x^0) = c
n > m dann ist n-m > 0
lim x->+inf (x^(n-m)) = +inf
n < m dann ist n-m < 0
lim x->+inf (x^(n-m)) = 0




mehr gibt es zu dem Thema auch nicht zu sagen.

außer das deine Notation unüblich ist, besser so :)


|a_n*x^n + a_n-1* x^(n-1) + ... + a0 * x^0|
|f(x)| = ----------------------------------------
|b_m*x^m + b_m-1 * x (m-1) + ... + b0 * x^0|





n = m
also lim x->+inf f(x) = a_n / b_m

rotalever
2008-03-04, 14:04:58
Beweis? Ich seh hier keinen Beweis :ulol:

oder meinst du das?

Ja.
Die Notation war halt so wie ich mir es gedacht hab.

BBB
2008-03-04, 14:32:55
Diese Regel lässt sich nur bei unbestimmten Ausdrücken anwenden.
Bei gebrochenrationalen Funktionen i.A. nicht.

Unendlich geteilt durch unendlich ist doch ein unbestimmter Ausdruck.

pest
2008-03-04, 14:48:34
Unendlich geteilt durch unendlich ist doch ein unbestimmter Ausdruck.

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=1724785

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=1724132

klar?

BBB
2008-03-04, 15:02:23
Mit unendlich/unendlich geht die Regel aber genauso.

http://www.mathematik.net/gren-hop/uebungen-pdf/loesungen-unend-durch-unend.PDF

pest
2008-03-04, 17:28:15
Mit unendlich/unendlich geht die Regel aber genauso.



Ja du hast Recht. Hab noch mal nachgeschaut und +/- unendlich ist als Rand für die Differenzierbarkeit zugelassen.
Transformiert man noch t=1/x und t->0 ergiebt sich die gleiche Regel für x->unendlich.

bloß bringt das bei gebrochenen rationalen Fkt. rein garnix, eher ungleich mehr Aufwand.