Knobelaufgabe Mathematik

[pippo]

weder ich noch unser prof finden hier die Lösung:

x+y + x*y = 492

x^2 + y^2 = x + y +996


Vielleicht schaffts ja jemand

[Xanatos]

Die 2. Gleichung ist ein Kreis, oder?

[pest]

weder ich noch unser prof finden hier die Lösung:

x+y + x*y = 492

x^2 + y^2 = x + y +996


Vielleicht schaffts ja jemand

analytisch ist das nicht einfach, mir fällt da zumindest spontan kein Weg ein.
aber mit dem Newton-Verfahren gehts. Reelle Lsg {x=16,y=28} {x=28,y=16}

[Spasstiger]

x+y + x*y = 492
=> y = (492-x)/(1+x)

x^2 + y^2 = x + y +996
=> quadratisch ergänzen
=> (x-0,5)^2 + (y-0,5)^2 = 996,5 (Kreisgleichung)

Erste Gleichung in zweite einsetzen ergibt Polyonom vierten Grades auf einer Seite (quartische Gleichung):
x^4 + x^3 - 995*x^2 - 3468*x + 240576 = 0

Lösungsformel für quartische Gleichungen anwenden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung

Lösungen für x:
x1=16, x2=28, x3=-22,5+j*0,5*sqrt(123), x4=-22,5-j*0,5*sqrt(123)

Zugehörige Werte von y ausrechnen:
y1=28, y2=16,
y3=(514,5-j*0,5*sqrt(123))/(-21,5+j*0,5*sqrt(123)),
y4=(514,5+j*0,5*sqrt(123))/(-21,5-j*0,5*sqrt(123))

Die Lösungen sind dann (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) und (x4,y4).

Btw.: Ich denke nicht, dass der Prof. da keinen Lösungsweg wusste, sondern ich denke, dass er einfach zu faul war, den ganzen Weg zu gehen. ;)

[SamStone]

Erste Gleichung in zweite einsetzen ergibt Polyonom vierten Grades auf einer Seite (quartische Gleichung):
x^4 + x^3 - 995*x^2 - 3468*x + 240576 = 0
Wie kommt man durch einsetzen darauf? :confused:

[pest]

Lösungen für x:
x1=16, x2=28, x3=-22,5+j*0,5*sqrt(123), x4=-22,5-j*0,5*sqrt(123)

Zugehörige Werte von y ausrechnen:
y1=28, y2=16,
y3=(514,5-j*0,5*sqrt(123))/(-21,5+j*0,5*sqrt(123)),
y4=(514,5+j*0,5*sqrt(123))/(-21,5-j*0,5*sqrt(123))

Die Lösungen sind dann (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) und (x4,y4).


x3=y4, x4=y3 :)


Btw.: Ich denke nicht, dass der Prof. da keinen Lösungsweg wusste, sondern ich denke, dass er einfach zu faul war, den ganzen Weg zu gehen. ;)

wer fängt schon an schriftlich Gleichungen 4. Grades zu lösen?

wie lange hast du gebraucht?
ich probier's nachher mal mit Zerlegung in Linearfaktoren.

[Spasstiger]

wer fängt schon an schriftlich Gleichungen 4. Grades zu lösen?

wie lange hast du gebraucht?
ich probier's nachher mal mit Zerlegung in Linearfaktoren.
Ehrlich gesagt hab ich nur bis zur Gleichung 4.Grades von Hand gerechnet, danach alles mit Maple. ;)
Aber mir ist bekannt, dass es eine Lösungsformel für gleichen vierten Grades gibt, das wurde bei uns in der HM-Vorlesung angesprochen (aber nicht als prüfungsrelevanter Stoff behandelt).

@SamStone:
Erstmal direkt einsetzen, danach mit (x+1)^2 durchmultiplizieren, dann alle Klammern ausmultiplizieren und letztendlich noch alles auf eine Seite bringen und zusammenfassen.

[pippo]

Btw.: Ich denke nicht, dass der Prof. da keinen Lösungsweg wusste, sondern ich denke, dass er einfach zu faul war, den ganzen Weg zu gehen. ;)
Hätte er nen Weg gewusst, hätte er nicht 60 min die Tafel damit vollgeschmiert :)

[SamStone]

Erstmal direkt einsetzen, danach mit (x+1)^2 durchmultiplizieren, dann alle Klammern ausmultiplizieren und letztendlich noch alles auf eine Seite bringen und zusammenfassen.
Danke, hab ich jetzt genau so gemacht und bin auf das selbe gekommen.
Aber wie bist du auf die Idee gekommen da (x+1)^2 hinzu zu multiplizieren?

[Spasstiger]

Aber wie bist du auf die Idee gekommen da (x+1)^2 hinzu zu multiplizieren?
Öhm, keine Ahnung, sowas mach ich intuitiv. Vielleicht aufgrund von Erfahrungswerten. Anders kommt man ja nicht vernünftig weiter.