Problem bei simplen Beweis (nat. Zahlen)

[pest]

Hey, hab mich letztens im Seminar gemeldet um zu beweisen
das für n,m,x aus N gilt n+x=m mit n<=m

Das Prob ist das ich nur die Eindeutigkeit bewiesen habe, also das es genau ein x gibt was die Gleichung löst.
Soll jetzt aber noch die Existenz/Wohldefiniertheit beweisen. Nur wie :confused:, wenn die Def. von "<=" lautet

"n<=m genau dann wenn es ein x gibt das die Gl. n+x=m löst"

Wäre für Hilfe sehr dankbar :)

[Kenny1702]

Wie sieht die exakte Aufgabenstellung aus?

Liest sie sich so:

Für alle m,n aus N mit n<=m existiert genau ein x aus N so daß n+x=m ?

Vorschlag zur Existenz:

Widerspruchsannahme: Es existiert kein x mit der Eigenschaft n+x=m.

Daraus folgt sofort (auf Grund der Definition) der Widerspruch zur Voraussetzung n<=m.

[pest]

:)

Wie sieht die exakte Aufgabenstellung aus?

Liest sie sich so:

Für alle m,n aus N mit n<=m existiert genau ein x aus N so daß n+x=m ?


das ist ja das Kuriose die Aufg.

"Zeigen sie, dass die Differenz m-n zweier nat. Zahlen n,m aus N mit m>= n wohldefiniert ist, d.h. dass es genau eine natürliche Zahl x gibt, die die Gleichung n+x=m erfüllt"

Die Eindeutigkeit habe ich bereits bewiesen.

Das steht in unserem Buch/Aufgabenmaterialen. Frau Prof. meinte nun
das Wohldefiniertheit und Eindeutigkeit unterschiedliche Dinge sind.


Vorschlag zur Existenz:

Widerspruchsannahme: Es existiert kein x mit der Eigenschaft n+x=m.

Daraus folgt sofort (auf Grund der Definition) der Widerspruch zur Voraussetzung n<=m.

Das war meine erste Idee, die ich noch etwas verfeinerte und eine Menge konstruiere die alle Lsg. enthält. und nach direktem Beweis nicht leer ist.

Würde es gern induktiv machen, aber da fällt mir nicht viel ein.


Induktiv nach m

IA: für m=n gilt: n+x=n => x=0
IV: n+x=m für ein m
IS: n + S(x) = S(m) S bezeichnet die Nachfolgerfkt.
=> S(n+x) = S(m)
aus der Injektivität von S folgt n+x=m
nach der IV folgt die Behauptung


hmm...

Trotzdem danke für den Hinweis

[Kenny1702]

:)



das ist ja das Kuriose die Aufg.

"Zeigen sie, dass die Differenz m-n zweier nat. Zahlen n,m aus N mit m>= n wohldefiniert ist, d.h. dass es genau eine natürliche Zahl x gibt, die die Gleichung n+x=m erfüllt"

Die Eindeutigkeit habe ich bereits bewiesen.

Das steht in unserem Buch/Aufgabenmaterialen. Frau Prof. meinte nun
das Wohldefiniertheit und Eindeutigkeit unterschiedliche Dinge sind.
Laut Aufgabenstellung ist Wohldefiniertheit Existenz und Eindeutigkeit.



Das war meine erste Idee, die ich noch etwas verfeinerte und eine Menge konstruiere die alle Lsg. enthält. und nach direktem Beweis nicht leer ist.

Würde es gern induktiv machen, aber da fällt mir nicht viel ein.



hmm...

An der Stelle einen Induktionsbeweis, dazu fällt mir auch nicht wirklich etwas ein. Du möchtest wohl über die Differenz x gehen, aber dann kann man ja nicht auf m und n zurückgreifen.

Trotzdem danke für den Hinweis
Keine Ursache.

[pest]

An der Stelle einen Induktionsbeweis, dazu fällt mir auch nicht wirklich etwas ein. Du möchtest wohl über die Differenz x gehen, aber dann kann man ja nicht auf m und n zurückgreifen.


ja das hab ich nach einer Weile auch gemerkt, es wurde immer komplizierter und länger weil ich immer n oder m "festhalten" musste

nunja ich habe dann diese Idee benutzt

...die ich noch etwas verfeinerte und eine Menge konstruiere die alle Lsg. enthält. und nach direktem Beweis nicht leer ist.




sei A:={x aus N:n+x=m für alle n,m aus N mit m>=n}

Beh.: A nicht leer
Bew.: Sei m beliebig aber fest, für n gilt 0<=n<=m

sei n=0: 0+x=m => x=m
sei n=m: m+x=m => x=0

Aufgrund der Wohlordnung von N ist x aus {0,...,m}
=> A nicht leer


und sie war zufrieden :), falls es wen interessiert

Gruß