Lineare Algebra: Unterraumkriterien

[kunibätt]

Hallo,
ich steh bei dem Zeug irgendwie auf dem Schlauch.
Es gilt zu zeigen, dass Vektor (y1;5y1,y3) ein Unterraum von R^3 sind.

Also muss per Definition die 0 Element des Vektors sein. Die kann man ja auch problemlos einsetzen. Aber: Wann geht das denn mal nicht? Doch NUR wenn ich z.B. einen Vektor der Form (1/y1,....) hätte, richtig? Wäre die Null schon im Voraus aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, hätte man schon gezeigt, dass es sich deshalb nicht um einen Unterraum handelt, richtig?

Eine weitere Bedingung ist , zu zeigen, dass Vektor - Vektor´Element der Menge ist. Wie zeigt man das? Ich sehe dahinter irgendwie keine Rechnung stehen.

Bin Euch für jede Hilfe dankbar.

[Trap]

Man kann Vektormengen auch anders angeben:
Ax+By+Cz+D=0 (Ebenengleichung)
Manche Ebenen sind Unterräume von R^3, nämlich die, die durch den Ursprung gehen. Die meisten sind keine Unterräume.

[kunibätt]

Danke, aber das verstehe ich nicht ;)
Kannst du mir das evtl. an meinem Bsp. erklären.

[pest]

auf welche Elemente von R^3 wird denn {y1,5y1,y3} abgebildet, das erschließt sich mir nicht ganz, also so?


U := {x ε R³ : (x1, x2, x3) = {x1, 5x1,x3}}



Das Unterraumkriterium besagt
a) für zwei Elemente u,v aus U muss gelten u+v in U
b) mit k aus Körper K (hier R), und u aus U muss gelten k*u in U

also die Abgeschlossenheit bzgl. Addition und Multiplikation mit einem Skalar

[Thomas(:]

naja z.B. A := (0,0,1) + Span( (1,0,0) ), wobei Span die Lineare Hülle ist

Das ist eine Gerade, und A ist eine Teilmenge von R^3 aber kein Unterraum (dafür aber ein affiner UR).

[pest]

Span( (1,0,0) )

die lineare Hülle eines Vektors ist... jedes Vielfache dieses Vektors :rolleyes:
man kanns auch kompliziert machen

die Aufg. des TS löse ich jetzt mal, während ich Abendbrot esse


seien x,y aus U dann gilt
a) {x1,5x1,x3} + {y1,5y1,y3} = {x1+y1,5(x1+y1),x3+y3} => aus U
b) k*{x1,5x1,x3} = {k*x1,5*k*x1,k*x3} => aus U


kann man auch in einem Schritt machen