Hilfe bei Auflösung einer Gleichung nach x mit zwei Wurzeln

[LovesuckZ]

Vorweg: Es ist keine Hausaufgabe. Ich frische ein bisschen mein Mathewissen auf und habe ein Problem, diese eine Gleichung aufzulösen. Da mein Hilfsbuch ein sehr unzureichendes Beispiel verwendet, komme ich leider nicht weiter.

Aufgabe: √x + √(x-5) = 5
Lösung: x=9

Tja, ich habe alles probiert, weiß aber nicht, wie eine genaue Auflösung aussieht, wenn der zweite Wurzelterm(?) auf die rechte Seite wandert.

[X-Force]

quadrier ersmal alles dann steht da

x + (x-5)² = 25

richtig muss es heißen:

x + (x-5) = 25

das ² ist da einfach so reingerutscht keine ahnung wieso

[LovesuckZ]

Vielen Dank, das hat mir viel geholfen.

[AnPapaSeiBua]

quadrier ersmal alles dann steht da

x + (x-5)² = 25

Setzen, 6! Ist nur Zufall, dass da das richtige x rauskommt. Von mir gäbe es dafür aber 0 Punkte :wink:

beide Seiten quadrieren (auf der linken Seite binomische Formel anwenden):
x + 2*√(x²-5x) + x - 5 = 25

umstellen:
√(x²-5x) = 15 - x

nochmal quadrieren:
x² - 5x = 225 - 30x + x²

umstellen:
25x = 225
x = 9

[LovesuckZ]

Setzen, 6! Ist nur Zufall, dass da das richtige x rauskommt. Von mir gäbe es dafür aber 0 Punkte :wink:

beide Seiten quadrieren:
x + 2*√(x²-5) + x - 5 = 25

umstellen:
√(x²-5) = 15 - x

nochmal quadrieren:
x² - 5 = 225 - 30x + x²

umstellen:
25x = 225
x = 9

Genau hier habe ich Probleme mit dem Verständis. Woraus ergibt sich 2*√(x²-5)?

[gasmeister]

beide Seiten quadrieren:
x + 2*√(x²-5) + x - 5 = 25


Kannst du diese Zeile mal bitte erläutern?

Wie kommt man von
√x + √(x-5)

durch quadrieren auf
x + 2*√(x²-5) + x - 5
?

Ist das irgendein Gesetz, welches man kennen muss?
Also ich sehe eine binomische Formel((a+b)²=a²+2ab+b²)
Aber wieso ist 2ab hier 2*√(x²-5) bzw √x*√(x-5)=√(x²-5)?

Habe auch immer ein par Probleme mit den Wurzeln.

mfG

[X-Force]

mist

[123456]

Kannst du diese Zeile mal bitte erläutern?

Wie kommt man von
√x + √(x-5)

durch quadrieren auf
x + 2*√(x²-5) + x - 5
?

Ist das irgendein Gesetz, welches man kennen muss?
Also ich sehe eine binomische Formel((a+b)²=a²+2ab+b²)
Aber wieso ist 2ab hier 2*√(x²-5) bzw √x*√(x-5)=√(x²-5)?

Habe auch immer ein par Probleme mit den Wurzeln.

mfG

Ganz einfach:

√x + √(x-5) = 5

quadriert:

[ √x + √(x-5) ]² = 25

x + [2 * √x * √(x-5)] + (x-5) = 25


Beispiel:

3 + 2 = 5

Quadriert ist das aber nicht:

3² + 2² = 25

Sondern:

(3 + 2)² = 25

Man quadriert nicht die Einzelterme einzeln.

[Spasstiger]

Setzen, 6! Ist nur Zufall, dass da das richtige x rauskommt. Von mir gäbe es dafür aber 0 Punkte :wink:

beide Seiten quadrieren:
x + 2*√(x²-5) + x - 5 = 25

umstellen:
√(x²-5x) = 15 - x

nochmal quadrieren:
x² - 5x = 225 - 30x + x²

umstellen:
25x = 225
x = 9
Hab zwei Korrekturen eingefügt. Ansonsten gedanklich richtig gerechnet. ;)

[patrese993]

Genau hier habe ich Probleme mit dem Verständis. Woraus ergibt sich 2*√(x²-5)?

das ist ne binomische Formel (a+b)² = a² + 2ab + b²

Ich finde es wichtig, daß diese angewendet und nicht erst der Umweg über (a+b)*(a+b) = a² + ab + ab + b² gegangen wird.

Das hat dann nämlich zur Folge, daß die Leute die binomische Formel nicht lernen und in ausquadrierter Form nicht erkennen, sprich: den Weg nicht ruckwärts gehen können. Eine quadratische Ergänzung zum Beispiel mutiert dann zu einem unlösbaren Problem.

[AnPapaSeiBua]

Hab zwei Korrekturen eingefügt. Ansonsten gedanklich richtig gerechnet. ;)

Ups!

Hat wohl auch Verwirrung gestiftet. Nach dem ersten Quadrieren muss es natürlich 2*√(x²-5x) heißen. Und ja, das ist die binomische Formel (=2*√x * √(x-5))

[gasmeister]

Ach - jetzt seh ich das auch.

a^0,5*b^0,5=ab^0,5...das Gesetz kenn ich :D