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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Quadratische Gleichung Lösung


Freakazoid
2008-10-06, 20:16:54
Hallo,

ich versage gerade an einer lächerlich einfachern Gleichung.

K = x / ((x-y)^2)

ich hab eine Lösung, von der ich sicher bin, dass sie falsch ist

x(1/2) = (y(2K+1) +- sqrt((y(2Ky+1))^2+16y^2)) / 4

mein mathomatic spuckt aus:

1-> K = x / ((x-y)^2)

x
#1: K = -----------
((x - y)^2)

1-> x; solve for "x"
Equation is a degree 2 polynomial in x.
Equation was quadratic.

1
((((1 + (4*K*y))^-)*sign1) + 1)
2
(------------------------------- + (K*y))
2
#1: x = -----------------------------------------
K



auf ne Herleitung wär ich besonders scharf!

Oblivion
2008-10-06, 20:52:51
Naja, also Klammer im Nenner auflösen, x durch y ausdrücken und auflösen, etwas langwierige Rechnung aber so sollts gehn

123456
2008-10-07, 02:06:59
Mir ist gerade langweilig, daher bin ich mal so frei. :D

K = x / (x-y)² | * (x-y)²

K * (x-y)² = x | : K

(x-y)² = x/K

+-(x - y) = √x/√K

Also entweder:

x - y = √x/√K

oder:

-x + y = √x/√K

Nehmen wir mal den 2. Fall:

-x + y = √x/√K

y = √x/√K + x

Einsetzen in Zeile I:

K = x / [x - (√x/√K + x)]²

K = x / (x - √x/√K - x)²

K = x / (√x/√K)²

K = x / x/K

K = x * (K / x)

K = K

wahre Aussage -> unendlich viele Lösungen mit y = √x/√K + x

Kleiner Tipp. Da man von Anfang an sieht, dass das Ganze unterbestimmt ist, sind auch nur zwei Lösungen möglich: unendlich viele oder keine.

tombman
2008-10-07, 02:27:46
Da man von Anfang an sieht, dass das Ganze unterbestimmt ist, sind auch nur zwei Lösungen möglich: unendlich viele oder keine.
Trotzdem wollen die eine Regel aufgestellt haben, die alle unendlichen Lösungen zu befolgen haben, das ist nämlich die Aufgabe.
Ansonsten könnte man ja bei jeder Aufgabe mit mehr als 1 offenen Variable gleich "unendlich viele Lösungen" hinschreiben und wäre fertig ;)

Deshalb probier ichs mal, aufgelöst nach "x".
========

K= x/ (x-y)² | *(x-y)²

K* (x-y)² = x

K* (x²-2xy+y²) = x

Kx² - 2Kyx + Ky² = x | -x

Kx² - 2Kyx -x + Ky² = 0

Kx² - x * (2Ky + 1) + Ky² = 0

Kx² - (2Ky +1) * x + Ky² = 0 | /K

x² - (2Ky + 1) / K * x + y² = 0

x² - (2y + 1/K) * x + y² = 0 !!!

p,q Formel:

x (1,2) = -p/2 +- Wurzel (p²/4 - q)

-> p = -(2y + 1/K) = (-2y - 1/K) !!!

-> q = y² !!!

x(1,2) = (y + 1/2K) +- Wurzel [(-2y -1/K)² / 4 - y²)]

========

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet (bin zu faul das zu checken), aber die Methode sollte klar sein. Vereinfachen kann man sicher auch noch, aber ebenfalls zu faul ;)

edit: habe mit ner Stichprobe K=3 und y=2 angenommen, und Ergebnis hat gepaßt... (mit K=4 und y=2 gehts auch, also unwahrscheinlich, daß ein Fehler drin ist ;))

123456
2008-10-07, 04:25:44
Gut, du hast es nach x, ich habe es nach y aufgelöst. Macht keinen Unterschied für mich. :usad:

y1 = √x/√K + x
y2 = -√x/√K + x

:P

tombman
2008-10-07, 06:22:47
Gut, du hast es nach x, ich habe es nach y aufgelöst. Macht keinen Unterschied für mich. :usad:

y1 = √x/√K + x
y2 = -√x/√K + x

:P
Es war aber nach x aufgelöst gefragt :rolleyes: Die Aufgabe leichter machen indem man nach y auflöst nutzt ihm ja nix ;)

Haarmann
2008-10-07, 10:31:58
tombman

Der gute Mathematiker ist der faule Mathematiker...

Wenn man durch y x und durch x y erhält... kann man doch den Weg gehen, der der eigenen Faulheit näher kommt.

Freakazoid
2008-10-07, 12:44:35
Danke tombman, deine Lösung ist mit der von mathomatic (siehe eingangsposting) identisch.

Die Lösung gefällt mir zwar ganz und garnicht, aber es scheint wenigstens die richtige zu sein :rolleyes: