LGS

[BodyLove]

Berechnen Sie in Z2^4 mit dem Gauß-Algorithmus die Lösungsmenge L des folgenden LGS

x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 + x2 + x3 + = 0

kann jemand mir mal da helfen?

Ich vermute ja, dass ich 2 gleichungen hinzufüge, also x3=0, und x4=0; um so zur Lösung zu kommen. Aber ich bin mir da nicht ganz sicher.

[123456]

Ich sehe sofort, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat. Dafür ist Gauß schon fast überdimensioniert. Aber schreib's doch mal als Koeffizientenmatrix auf. Und wie Gauß funktioniert, weißt du?

[BodyLove]

natürlich weiß ich wie gauß funktioniert. meine Idee war ja, dass ich bei gauss für x3=0 und x4=0 einsetze bzw. erweiter. Also Gauß

1 1 1 1 | 1
1 1 1 0 | 0
0 0 1 0 | 0
0 0 0 1 | 0


das es unendlich viele Lösungen hat ist mir auch klar. Wie soll ich die Lösungsmenge berechnen? x3= IR, x4=IR; aber x2 und x1?

[123456]

Ich verstehe dein Problem nicht so ganz. Wende doch mal den Gauß-Algorithmus an und bringe die Matrix in die Stufenform. Dann hast du schonmal eine Lösung für eine Variable. Anschließend setzt du rekursiv dieses Ergebnis der Variable in die 1. Zeile ein. Du kriegst einen Ausdruck, wo mehrere Variablen voneinander abhängen. Dann sollte eigentlich alles klar sein.

[BodyLove]

mhh, so habe ich aber doch nur x4 = 1. x3, x2, x1 € IR. mhh.

[123456]

Was soll's, ich mach's einfach für dich:


1 1 1 1 1
1 1 1 0 0


II - 1:


1 1 1 1 1
0 0 0 -1 -1


Jetzt kannst du schon der 2. Zeile entnehmen, dass:

x4 = 1

Eingesetzt in I:

x1 + x2 + x3 + 1 = 1

x3 = - x1 - x2

Für x1 und x2 kannst du beliebige Zahlen einsetzen. Wir nennen es jetzt einfach mal x1 = x2 = t. Dann ist x3 = -2t. Damit ist deine Lösungsmenge:


t
t
-2t
1

[BodyLove]

meinte ich ja.:)

ich hatte halt noch in Erinnerung, dass man die Matrix erweitern kann. Also 3.Gl mit x3=0; und 4te mit x4=0. und so einsetzen kann. Aber es kam zu keiner guten Lösung.

so ist halt t € IR.

[123456]

Du kannst eine Matrix nicht einfach so "erweitern". Wenn du x3 = x4 = 0 festlegst, änderst du dein gesamtes LGS.



1 1 1 1 | 1
1 1 1 0 | 0
0 0 1 0 | 0
0 0 0 1 | 0


Die hier hätte keine Lösung. Ein etwas geübtes Auge sieht das auch sofort. Mit x3 = x4 = 0 hätte man in der 1. Zeile stehen: x1 + x2 = 1. In der 2. Zeile müsste dann gelten: 1 + x3 = 0. Da aber x3 = 0 => 1 + 0 != 0. Die elementaren Zeilentransformationen, die man verwenden darf, sind: Vertauschen von Zeilen, Multiplizieren mit Skalaren != 0 und Addieren / Subtrahieren (mit Vielfachen).

PS: Du kamst mir doch gleich bekannt vor: http://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/showthread.php?t=435267&highlight=einstiegsgehalt Von euch Informatikern hatte ich bezüglich eurer Mathe-Skills eigentlich ein besseres Bild. :D

[BodyLove]

PS: Du kamst mir doch gleich bekannt vor: http://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/showthread.php?t=435267&highlight=einstiegsgehalt Von euch Informatikern hatte ich bezüglich eurer Mathe-Skills eigentlich ein besseres Bild. :D

hehe:D

das Problem ist bei dieser LA-Klausur, dass der Prof weder ein Skript hat, noch eine Vorlesung hält noch Klausurrelavante Aufgaben verteilt hat. Er hat eine Lektüre genannt, die leider mit dem Stoff wenig zu tun hat. Gruppen und Matrizen fehlen hier einfach. So muss ich bei Fragen auf den Forum ausweichen. Danke übrigens.:)

[Pinoccio]

Berechnen Sie in Z2^4 mit dem Gauß-Algorithmus die Lösungsmenge L des folgenden LGS

x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 + x2 + x3 + = 0Also in Z2, also der Menge an "Zahlen", die nur aus 0 und 1 besteht (huhu, Informatiker!), existiert sowas wie -1 nicht (bzw nicht wirklich, sie heißt dort 1) (@123456).
Trotzdem kann man ganz normal den Gaußalgo anwenden, was hier leicht sinnfrei ist, da das LGS nun wirklich tivial ist.
Gleichsetzung der Zeilen 1 und 2 führt zu der Erkenntnis, daß x4=1 sein muss. Und die zweite Zeile liefert eine Aussage über x1, x2 und x3, ebend x1 + x2 + x3 = 0. Das könnte man noch in eine Parameterform bringen und setzt x1=t, x2=s und x3=-t-s.
Und das genau ist die Lösung. Das System ist halt unterbestimmt (http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=488&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fq%3Dlgs%2Bunterbestimmt%26ie%3Dutf-8%26oe%3Dutf-8%26aq%3Dt%26rls%3Dorg.mozilla%3Aen-US%3Aofficial%26client%3Dfirefox-a).

mfg

[Spasstiger]

Also in Z2, also der Menge an "Zahlen", die nur aus 0 und 1 besteht (huhu, Informatiker!), existiert sowas wie -1 nicht (bzw nicht wirklich, sie heißt dort 1) (@123456).
Und wenn nur Nullen und Einsen erlaubt sind, kann die Summe aus x1 + x2 + x3 auch nur in einem einzigen Fall Null sein, nämlich, wenn x1 = x2 = x3 = 0.

[Pinoccio]

Und wenn nur Nullen und Einsen erlaubt sind, kann die Summe aus x1 + x2 + x3 auch nur in einem einzigen Fall Null sein, nämlich, wenn x1 = x2 = x3 = 0.Du vergisst, daß 1+1=0 in Z2 (auch bekannt als http://upload.wikimedia.org/math/6/c/4/6c4caf84a20bc476562c698cbad47b2a.png (http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper#Charakteristik_2), wobei man hier nicht benötigt, daß es sich sogar um einen Körper handelt, bzw taucht dann natürlich die Frage auf, ob Z2 (kein Körper) und F2 (Körper) gleich sein können ... usw. usf.) ist.

mfg

[Spasstiger]

Du vergisst, daß 1+1=0 in Z2 (auch bekannt als http://upload.wikimedia.org/math/6/c/4/6c4caf84a20bc476562c698cbad47b2a.png (http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper#Charakteristik_2), wobei man hier nicht benötigt, daß es sich sogar um einen Körper handelt, bzw taucht dann natürlich die Frage auf, ob Z2 (kein Körper) und F2 (Körper) gleich sein können ... usw. usf.) ist.

mfg
Stimmt, mein Fehler. Dann sind natürlich noch weitere Lösungen möglich:
(x1,x2,x3,x4) =
(0,0,0,1)
(1,1,0,1)
(1,0,1,1)
(0,1,1,1)

[Pinoccio]

Stimmt, mein Fehler. Dann sind natürlich noch weitere Lösungen möglich:
(x1,x2,x3,x4) =
(0,0,0,1)
(1,1,0,1)
(1,0,1,1)
(0,1,1,1)Exakt, aber auch nur diese 4.

mfg