Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : kleines Matherätsel
ich habe mir ne kleine Matheaufgabe ausgedacht,
und wäre interessiert an anderen Lösungswegvorschlägen
also wer Lust hat...dauert keine 10min, hier einfach posten wie ihr aufs ergebniss gekommen seid
in einem waldgebiet werden ausschließlich bäume mit einem durchmesser von 10-20cm durchmesser beobachtet
jährlich wachsen 50 bäume in diese durchmesserklasse hinein
zusätzlich sterben 2% der bäume und 5% der bäume werden breiter als 20cm in einem jahr
es gibt einen zeitpunkt an dem sich die baumanzahl nicht mehr ändert
a) bestimme die anzahl der bäume zu diesem zeitpunkt, die einen durchmesser von 10-20cm besitzen
b) bestimme die anzahl der bäume im beobachteten waldgebiet zu diesem zeitpunkt
Alexander
2009-03-09, 20:04:34
Eine sehr simple Aufgabe. Für welche Klasse wäre sie denn von dir gedacht?
für keine klasse, mich interessiert wie man das lösen kann, also schreib dein ergebniss auf
Muselbert
2009-03-09, 20:29:10
a)7% der Bäume=50 -> Zunahme=Abnahme -> Stillstand
circa 714.29 -> 715 Bäume
pippo
2009-03-09, 20:31:04
Bei 715 is Stillstand, also wenn 7% 50 Bäumen entspricht. Den Rest bin ich jetz zu faul zu rechnen :)
ist das ein ergebniss? für welchen teil? ... es kommen jeweils konkrete zahlen raus :)
Bei 715 is Stillstand, also wenn 7% 50 Bäumen entspricht. Den Rest bin ich jetz zu faul zu rechnen :)
ja ~715 stimmt..aber das ergebnis interessiert mich nur peripher, wie hast du das gerechnet?
a)7% der Bäume=50 -> Zunahme=Abnahme -> Stillstand
circa 714.29 -> 715 Bäume
ich glaube ich denke zu kompliziert :D
hier mal meine lösung für 1a)
dn(t)/dt = 50 - 0.05 n(t) - 0.02 n(t) = 0
n = 50 / (0.05+0.02) = 714.29
an b) wäre ich noch sehr interessiert :)
pippo
2009-03-09, 20:39:58
ja ~715 stimmt..aber das ergebnis interessiert mich nur peripher, wie hast du das gerechnet?
50 / 7% *100% ? :D
b) ist genauso easy, aber ich denk' da kommt ihr nicht drauf
Magnum
2009-03-09, 20:56:41
b) ist genauso easy, aber ich denk' da kommt ihr nicht drauf
Moment, Denkfehler!
Da gibts keine Lösung für! Der Moment kann beliebig gewählt werden!
ich habe ja geschrieben, "zu diesem Zeitpunkt" an dem sich nichts mehr ändert.
und doch, das lässt sich analytisch lösen, die rechnung ist sogar kürzer als bei 1a), aber man muss drauf kommen ;)
Hamster
2009-03-09, 21:02:32
2500? nope, was vergessen ^^
pippo
2009-03-09, 21:03:35
Es sind ebenfalls 715 ;)
2500? nope, was vergessen ^^
richtig! :) wie bist du drauf gekommen?
Hamster
2009-03-09, 21:10:07
ja, bin mittlerweile auch davon überzeugt, dass 2500 stimmt.
stichwort ewige rente ;) wenn ich 715 bäume habe und 2% davon "abzinse" dann ergeben sich nach 715/0,04 eben 2500 bäume gesamt.
oder bin ich jetzt doch auf dem falschen dampfer?
siehe weiter unten.
stichwort ewige rente ;) wenn ich 715 bäume habe und 2% davon "abzinse" dann ergeben sich nach 715/0,04 eben 2500 bäume gesamt.
ähm, das verstehe ich nicht, also die rechnung nicht, wo kommt da 2500 raus?
meine idee ist eine andere, aber wenn es funzt, warum nicht?
Hamster
2009-03-09, 21:16:15
ähm, das verstehe ich nicht, also die rechnung nicht, wo kommt da 2500 raus?
meine idee ist eine andere, aber wenn es funzt, warum nicht?
äh, hab mich auch vertippt. natürlich 50/0,02 oO
pippo
2009-03-09, 21:16:35
Also wenn in der Angabe steht, dass ausschließlich Bäume mit 10-20cm beobachtet werden und dann die Frage kommt, wieviel Bäume im beobachteten Waldgebiet stehen, dann ist das für mich eine Fangfrage und es kommen nur die 715 Bäume mit 10-20cm in Frage
Also wenn in der Angabe steht, dass ausschließlich Bäume mit 10-20cm beobachtet werden und dann die Frage kommt, wieviel Bäume im beobachteten Waldgebiet stehen, dann ist das für mich eine Fangfrage und es kommen nur die 715 Bäume mit 10-20cm in Frage
ja sorry, das ich das gleiche wort verwendet habe :rolleyes:, die fragen bei a) und b) unterscheiden sich schon inhaltlich und ich denke, du weißt das auch
bin ja kein lehrer und wollte eig. bloß ein paar ideen sammeln ;)
äh, hab mich auch vertippt. natürlich 50/0,02 oO
ja ewige Rente...sagt mir noch was ;)
ich habe den selben Ansatz von oben genommen
nur statt einer Klasse, betrachte ich alle Klassen, dadurch fällt der Übertragungsterm weg
also aus dn(t)/dt = 50 - 0.05 n(t) - 0.02 n(t)
wird dn(t)/dt = 50 - 0.02 n(t)
im statischen gleichgewicht gilt 50 - 0.02 n = 0 also n = 50 / 0.02 = 2500
Magnum
2009-03-09, 21:29:08
im statischen gleichgewicht gilt 50 - 0.02 n = 0 also n = 50 / 0.02 = 2500
Ach so! Sag dass doch gleich, dass du nicht den Zeitpunkt meinst, den man in a) berechnet hat!! Der unterscheidet sich nämlich von diesem da!!
Ach so! Sag dass doch gleich, dass du nicht den Zeitpunkt meinst, den man in a) berechnet hat!! Der unterscheidet sich nämlich von diesem da!!
nein, eigentlich nicht...bzw...man muss den zeitpunkt nicht berechnen ;), würdest du den zeitpunkt mit einem computerprogramm simulieren würde sich eine grenzpopulation von eben 2500 einstellen
statisches gleichgewicht bedeutet, die 1. ableitung nach der zeit ist 0 :)
Magnum
2009-03-09, 21:35:54
nein, eigentlich nicht...bzw...man muss den zeitpunkt nicht berechnen ;)
Klar, dass man den Zeitpunkt nicht berechnen muss!! Aber!!!
Die Aufgabe lautet:
in einem waldgebiet werden ausschließlich bäume mit einem durchmesser von 10-20cm durchmesser beobachtet
jährlich wachsen 50 bäume in diese durchmesserklasse hinein
zusätzlich sterben 2% der bäume und 5% der bäume werden breiter als 20cm in einem jahr
es gibt einen zeitpunkt an dem sich die baumanzahl nicht mehr ändert
Da definierst du eindeutig einen Zeitpunkt!! Der auch mit dem in a) übereinstimmt! Bei b) aber nicht mehr! Deswegen die Konfusion.
Da definierst du eindeutig einen Zeitpunkt!! Der auch mit dem in a) übereinstimmt! Bei b) aber nicht mehr! Deswegen die Konfusion.
wenn ich geschrieben hätte, berechnen die baumanzahl im gleichgewicht hätte ich nur unbefriedigende antworten erhalten...denk ich
der zeitpunkt stimmt überein, wenn nicht, zeige mir warum
oder anders gesagt, zum zeitpunkt bei a) trifft garantiert auch b) ein, umgekehrt nicht unbedingt...da hast du recht...
Magnum
2009-03-09, 21:51:40
der zeitpunkt stimmt überein, wenn nicht, zeige mir warum
OK:
An dem Zeitpunkt, an dem im Wald keine Bäume mehr mit 10-20cm hinzukommen, gilt: 50 = 0.02x + 0.05x (x=Anzahl der Bäume)
x ist bekanntlich 715, d.h. 14,3 Bäume sterben, und 35,75 Bäume wachsen heraus!
Zusammenfassend wächst der Wald da noch um 50+35,75-14,3 = 71,45 Bäume!! Und jetzt bist du dran!
Edit: Zur Schlichtung:
Es kommt natürlich noch darauf an, wie viele "andere" Bäume zu diesem Zeitpunkt im Wald sind! (Bei meiner Rechnung oben sinds keine, auch doof, ich weiß). Je näher die Zahl bei 1785 liegt, desto weniger kommen dazu!
Zusammenfassend wächst der Wald da noch um 50+35,75-14,3 = 71,45 Bäume!! Und jetzt bist du dran!
Edit: Zur Schlichtung:
Es kommt natürlich noch darauf an, wie viele "andere" Bäume zu diesem Zeitpunkt im Wald sind! (Bei meiner Rechnung oben sinds keine, auch doof, ich weiß). Je näher die Zahl bei 1785 liegt, desto weniger kommen dazu!
als grundaussage: die endpopulation ist von der anfangspopulation unabhängig!
keine anderen bäume kann nicht sein, sonst würde es kein gleichgewicht geben, du hast nicht bedacht, das in den anderen klassen auch jeweils 2% sterben, damit hebt sich deine bilanzierung wieder auf.
um die geschlossene form der funktion n(t,d) zu finden, musst du allerdings eine partielle differentialgleichung aufstellen
patrese993
2009-03-09, 22:07:59
ich hätt ja jetzt gesagt, zu dem Zeitpunkt, wo wir die 715 Bäume mit dem besagten Durchmesser haben, wachsen da 5% raus, also 715*0.05
Zu diesem Zeitpunkt müssen im restlichen Gebiet gleich viele Bäume sterben, also x*0.02=715*0.05 --> x=1788
dazu kommen noch die 715 in Beobachtung, sind dann 2503
edit: aber das halt alles nur unter der Annahme, daß die Sterberate beim Rest auch 2% beträgt....
ich hätt ja jetzt gesagt, zu dem Zeitpunkt, wo wir die 715 Bäume mit dem besagten Durchmesser haben, wachsen da 5% raus, also 715*0.05
Zu diesem Zeitpunkt müssen im restlichen Gebiet gleich viele Bäume sterben, also x*0.02=715*0.05 --> x=1788
dazu kommen noch die 715 in Beobachtung, sind dann 2503
ja das ist korrekt, nur etwas umständlich
die endpopulation ist unabhängig von der übergangsrate von 0.05
edit: aber das halt alles nur unter der Annahme, daß die Sterberate beim Rest auch 2% beträgt....
mist, sorry, das habe ich tatsächlich vergessen anzugeben
Oberon
2009-03-09, 22:25:01
Hab das Ganze jetz mal ausführlich mit L-Trafo gelöst. 715 und 2500 stimmen natürlich, aber der Zeitpunkt ist imo nicht derselbe, zumindest wenn ich mir hier den Plot anschaue.
http://666kb.com/i/b72m829q3yt6xh62q.gif
Magnum
2009-03-09, 22:27:23
keine anderen bäume kann nicht sein, sonst würde es kein gleichgewicht geben, du hast nicht bedacht, das in den anderen klassen auch jeweils 2% sterben, damit hebt sich deine bilanzierung wieder auf. Denk da mal bitte nochmal drüber nach? Als Denkanstoß, berechne mal bitte was passiert, wenn ein Wald nur aus 715 Bäumen von 10-20cm besteht! (Die nächsten 2, 3 Schritte reichen mir)
um die geschlossene form der funktion n(t,d) zu finden, musst du allerdings eine partielle differentialgleichung aufstellen
Da hast du Recht! Aber PDE´s sind schon lange her! Hier wird doch sicher ein fleissiger Mathe-Student rumrennen, der das im Schlaf beherrscht!
Danke für den Rätselspaß! Aber bei mir ist Schluß für heute!
aber der Zeitpunkt ist imo nicht derselbe, zumindest wenn ich mir hier den Plot anschaue.
Denk da mal bitte nochmal drüber nach? Als Denkanstoß, berechne mal bitte was passiert, wenn ein Wald nur aus 715 Bäumen von 10-20cm besteht! (Die nächsten 2, 3 Schritte reichen mir)
hätte ich das doch mit dem zeitpunkt nicht erwähnt..;D, der ist für die rechnung völlig unerheblich, also gut, ich streiche diese aussage von oben
zum zeitpunkt bei a) trifft garantiert auch b) ein, umgekehrt nicht unbedingt...
es ist nämlich genau andersherum :(
seid froh das ich kein lehrer werde, das hatte ich mal vor
Da hast du Recht! Aber PDE´s sind schon lange her! Hier wird doch sicher ein fleissiger Mathe-Student rumrennen, der das im Schlaf beherrscht!
also im schlaf nicht, aber ich kann zumindest n(d) im gleichgewicht ausrechnen, das ist eine exponentialfunktion
Spasstiger
2009-03-10, 00:01:37
Das mit dem "Zeitpunkt" solltest du aus der Fragestellung rausnehmen und dagegen schreiben:
"Nach einiger Zeit ändert sich die Gesamtpopulation nicht mehr.
...
a) Wieviele xyz gibt es dann?
b) Wie groß ist dann die Gesamtpopulation?
2500 Bäume im Wald stimmt übrigens nicht
Spasstiger
2009-03-10, 17:39:47
2500 Bäume im Wald stimmt übrigens nicht
Lautet die Lösung: Zwischen 2450 und 2550?
Lautet die Lösung: Zwischen 2450 und 2550?
nein die lösung lautet 3500, habe die bäume von 0-10cm vergessen
Spasstiger
2009-03-10, 17:51:03
nein die lösung lautet 3500, habe die bäume von 0-10cm vergessen
Stimmt natürlich. Die 50 zusätzlichen Bäume pro Jahr beziehen sich ja nur Durchmesser ab 10 cm. Man müsste also noch wissen, wieviele Bäume pro Jahr überhaupt neu entstehen. Und das sind dann offenbar 70 Bäume.
Man müsste also noch wissen, wieviele Bäume pro Jahr überhaupt neu entstehen. Und das sind dann offenbar 70 Bäume.
das gilt nur im gleichgewicht, aber da wir daran interessiert sind, kann man davon ausgehen
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