Frage zu Eigenwert/Eigenvektor

[Freakazoid]

Hallo,

Gegen sei folgende Matrix


-3 1 0 0 0
-1 -1 0 0 0
-3 1 -2 1 1
-2 1 0 -2 1
-1 1 0 0 -2


Der Eigenwert ist -2. Um den Eigenvektor zu bekommen müsste man jetzt das homogene Gleichungsssystem lösen


-5 1 0 0 0 0
-1 -3 0 0 0 0
-3 1 -5 1 1 0
-2 1 0 -5 1 0
-1 1 0 0 -5 0

Wenn ich das LGS hier (http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=MH11E7F606.6&+lang=en&+module=tool%2Flinear%2Flinsolver.en&+method=matrix&+cmd=resume) lösen lasse, erhalte ich als Lösung den Nullvektor. Wenn ich aber ein anderes Tool rechnen lasse (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm), erhalte ich eine Lösung, die ich nicht ganz verstehe:


[ 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ]
[ 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ]

Was soll das heissen? Sind das zwei transponierte Vektoren? Sind das überhaupt zwei Vektoren? Eigentlich gibt es zu einen Eigenwert doch auch nur einen Vektor?! Jedenfalls sieht es nicht wie der Nullvektor aus. Welcher ist nun der Eigenvektor?

[meru]

Du hast für die Matrix zwei Eigenwerte, -2 und 5 und in diesem Fall dürfte es zu jedem Eigenwert genau einen Eigenvektor geben. Das muss es allerdings nicht - es kann auch mehrere linear unabhängige Eigenvektoren zu demselben Eigenwert geben!

Edit: Und was du da rausbekommen hast sind Vektoren, die oben erwähnten Eigenvektoren!

[Freakazoid]

Du hast für die Matrix zwei Eigenwerte, -2 und 5 und in diesem Fall dürfte es zu jedem Eigenwert genau einen Eigenvektor geben. Das muss es allerdings nicht - es kann auch mehrere linear unabhängige Eigenvektoren zu demselben Eigenwert geben!

Edit: Und was du da rausbekommen hast sind Vektoren, die oben erwähnten Eigenvektoren!

Wo hast du die fünf her? Und steht zumindest der Eigenvektor für -2 nicht im Widerspruch mit der Lösung des homogenen Gleichungssystems? Da kommt ja schließlich der Nullvektor raus!

[meru]

Die 5 hab ich von wxMaxima, Maple sagt allerdings auch nur -2, den Vektor [0,0,1,0,0] erhalte ich aber schon!

Einfach (M-Eigenwert*I) = 0 lösen, unter der Berücksichtigung, dass - - = + :p

(wobei M natürlich die gegebene Matrix und I die Einheitsmatrix ist)

Edit:
Ok, händisch nachrechnen liefert auch nur -2 - wohl n Fehler im Algo oder was weiß ich ^_^

Jedenfalls hast als Eigenwert: -2 und Eigenvektor: [0,0,x,0,0] für alle x, grundsätzlich kannst aber für einen Eigenwert sehrwohl mehrere Eigenvektoren haben! (Guck dir geometrische bzw. algebraische Vielfachheit an)

Edit2:
Ok, der 5er ist die Vielfachheit - vllt. sollte man doch die Ausgaben richtig deuten :B

[Freakazoid]

Edit2:
Ok, der 5er ist die Vielfachheit - vllt. sollte man doch die Ausgaben richtig deuten :B

Meinst du damit, dass -2 ein fünffach entarteter Eigenwert ist?

Ist [0;0;1;0;0] ein Spezieller Eigenvektor von [0;0;x;0;0] für x=1? Welchen bedeutung hat die Entartung für die Eigenwerte?

[meru]

Meinst du damit, dass -2 ein fünffach entarteter Eigenwert ist?

Ist [0;0;1;0;0] ein Spezieller Eigenvektor von [0;0;x;0;0] für x=1? Welchen bedeutung hat die Entartung für die Eigenwerte?

Entartet? Entartete Eigenwerte kenn ich nicht - ich mein, dass das charakteristische Polynom eine Fünffache Nullstelle bei lambda = -2 hat.

Und ja, grundsätzlich gibt es unendlich viele Eigenvektoren - alle sind halt ein Vielfaches (eine Linearkombination) von den Basisvektoren, die den Eigenraum aufspannen. Naheliegend ist halt x = 1.

[Flyinglosi]

vielleicht sollte man auch mal den begriff des nebeneigenvektors in den raum werfen ;)

[123456]

Welchen bedeutung hat die Entartung für die Eigenwerte?

Ein k-fach entarteter Eigenwert lambda bedeutet, dass lambda k linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, die eine k-dimensionale Basis des zum Eigenwert gehörenden Eigenraumes deiner Matrix M bilden.

Was meru mit "Vielfachheit" meint, hat mit der Entartung nichts zu tun. Er meint, dass das charakteristische Polynom algebraische Vielfachheit 5 hat. Du kannst das Polynom also 4 mal differenzieren, als Argument in alle 4 Ableitungen lambda = -2 einsetzen und du kriegst immer wieder 0 als Funktionswert heraus: Vielfachheit 5.

Für dein Beispiel hast du einen Eigenwert lambda = -2 mit algebraischer Vielfachheit 5, Entartung 2 und somit 2 linear unabhängige Eigenvektoren:

(0; 0; 1; 0; 0)^T
(1; 1; 0; 1; 1)^T

(Und natürlich jede Linearkombination der Eigenvektoren.)