kleines mathe problem - stehe auf dem schlauch

[Drill]

hi,

ich soll (x-1)/(x+1)<1 lösen.
die lösung ist x>-1 soweit klar.
allerdings steh ich gerade auf dem schlauch hinsichtlich der frage, wie ich die ungleichung so umstelle, dass die lösung nachvollziehbar ist.

[Pinoccio]

(x-1)/(x+1)<1
Fallunterscheidung:
1.) x+1<0
2.) x+1>0
3.) x+1=0 ist offensichtlich keine Lösung
1.) (x-1) > (x+1)
-> gilt für kein x
2.) (x-1) < (x+1)
-> gilt für alle x
Gesamtbedingung an x ist also nur x+1>0

Klar?

mfg

[Drill]

ok so kann man es auch machen :redface:

wollte die ungleichung so umformen, das am ende x>-1 darsteht.
aber so gehts natürlich auch.

edit: du meinst aber x+1>0 oder?

[Pinoccio]

edit: du meinst aber x+1>0 oder?Äh, ja. Weiß auch nciht, warum der Pfeil sich gedreht hat. :redface:

mfg

[Drill]

noch ne kurze frage anschließend

weiß jemand, wie man aus z=(1-i)/(1+i) => z=-i macht?

[Undertaker]

Hmm, wie wäre es mit erweitern des Bruches, dass du oben und unten eine binomische Formel bekommst ;)

[Drill]

danke hats gebracht, meine güte 5 jahre aus der schule raus und alles vergessen :frown:

[Drill]

so ein letztes mal.

1/i = -i

das verstehe ich nicht.
wie komme ich von 1/i auf -i.

ich bin echt keine leuchte in mathe :frown:

[gir]

1/i = (1/i)*(i/i) = i/(i^2) = i/(-1)= -i

[Drill]

danke ersteinmal dafür.
kann mir mal jemand grundsätzlich erklären, wie imaginär und realteile von komplexen zahlen rausbekomme.
ich meine, das ich sie in die form z=a+bi bringen muss, oder ist das nicht notwendig.
sehe bei den komplexen zahlen absolut nicht durch.

bsp: 1/(1-((3i)^0.5))

wie muss ich da vorgehen.

[pest]

http://upload.wikimedia.org/math/3/0/9/309849dfc9118b51f5099240e137a139.png

(3i)^(1/2) = (-1)^(1/4) * 3^(1/2)

[Drill]

(3i)^(1/2) = (-1)^(1/4) * 3^(1/2)

damit kann ich doch aber nicht rechnen, da ich doch keine wurzel aus -1 ziehen kann.

oder habe ich da ein verständnisproblem.

und was ist d, wenn ich annehme, dass di =(3i)^0,5 ist? etwa 3^0,5?

[Drill]

ist 1/4+((3^0,5)/4)+(i^0,5) richtig?

oder muss i^0,5 auch noch umgeformt werden, damit man imaginär und realteil angeben kann?

[Pinoccio]

damit kann ich doch aber nicht rechnen, da ich doch keine wurzel aus -1 ziehen kann.Was glaubst, wo das i herkommt? :rolleyes:

mfg

[Drill]

Was glaubst, wo das i herkommt? :rolleyes:

mfg

jetzt wo du es sagst ;)

ist 1/4+((3^0,5)/4)+(i^0,5) richtig?

oder muss i^0,5 auch noch umgeformt werden, damit man imaginär und realteil angeben kann?

kann mir das jemand beantworten

[pest]

kann mir das jemand beantworten

nein das ist falsch gerechnet, also keine äquivalente umformung

(3*I)^(0.5)=Sqrt[3/2] + Sqrt[3/2]*i

ich substituiere a=1-Sqrt[3/2] und b=Sqrt[3/2]

das ergibt 1/(a-bi)=(a+bi)/((a-bi)*(a+bi))=(a+bi)/(a²+b²)=a/(a²+b²)+b/(a²+b²) * i

rücksubstitution...

(-2 + Sqrt[6])/(2*(-4*Sqrt[6])) + Sqrt[3/2]/(4-Sqrt[6]) * i

numerische Näherung

-0.1449 + 0.7899i

[Drill]

ok danke,
ich kann sogar nachvollziehen, was du da gemacht hast ;)

allerdings hätte ich nicht gedacht, dass zum lösen dieser aufgabe substitution notwendig ist.

[pest]

allerdings hätte ich nicht gedacht, dass zum lösen dieser aufgabe substitution notwendig ist.

das mache ich damit es übersichtlicher ist,
wenn du die erste a4-Seite mit rechnungen zu komplexen zahlen voll hast, bist du dafür dankbar

[Paran]

Ich nutze den Thread gleich mal.

Derzeit sitze ich vor trigonometrischen Gleichungen:

Ich soll:

sin(x) = 0.5 lösen

Die Lösung dafür ist:
http://666kb.com/i/byq2i4er9stxsu1r2.jpg

Wo das Pi / 6 herkommt ist mir klar, aber der zweite Teil nicht.
Kann mir jemand helfen?

[Spasstiger]

Der Sinus ist eine mit 2*Pi periodische Funktion und es gibt unendlich viele Lösungen für die Gleichung. Eben x=Pi/6 +/- Vielfache von 2*Pi. Außerdem noch x=Pi*5/6 +/- Vielfache von 2*Pi. Das sind dann alle Lösungen der Gleichung. x_k2 hast du nicht abgebildet, gehört aber genauso zur Lösung.

[Paran]

Da hast du Recht, ich hatte nicht alles aufgeschrieben. Hier ist die korrekte Lösung:
http://666kb.com/i/byq2zh835we1ej5ge.jpg

Dennoch verstehe ich den Zusatz noch nicht ganz richtig. Wie komme ich darauf, durch irgendwelche Umformungen bzw. Formeln?

[r00t]

naja da der sinus eine periodische funktion ist wiederholen sich quasi die werte alle "+2k*pi"

allerdings ist dies noch nicht alles damit werden nicht alle lösungen erfasst deshalb hast du in deiner lösung noch dieses xk2 = pi-pi/6+2kpi


einfach mal zur probe werte für k=1 einsetzen:

dann bekommste für xk1= (6.8/0.5) , oder xk2= (8.9/0.5) das sind die werte für die beiden letzen punkte nach rechts.

oder für k=0:

xk2=2.61/0.5) bzw. xk1= (0.52/0.5)

das sind die ersten zwei punkte im 1. quadranten ;)

diese formeln kann man sich herleiten (am besten mit skizze) oder man nimmt sie ohne beweis einfach mal so hin ;)


für k=-1 bekommst du die linken zwei werte...usw.....

[Paran]

Ich würde den Thread gleich nochmal nutzen.

Aktuell verstehe ich nicht wirklich was ich hier machen soll, hat jemand eine Idee?

http://www.bildercache.de/bild/20121020-164235-231.jpghttp://www.bildercache.de/bildercache_80x15.gif

[johla]

Du suchst ein N(eps) mit 1/n^2 < eps für n >= N(eps). Stelle "1/n^2 < eps" nach n um.

[Paran]

Du meinst somit wäre mein Startindex N(eps)=Wurzel aus 1/eps?

[johla]

Genau. Denn dann ist 1/n^2 <= 1/sqrt(1/eps)^2 = 1/(1/eps) = eps. Du musst nur noch 1/sqrt(eps) zur nächsten ganzen Zahl aufrunden, damit N(eps) in IN ist.

[Paran]

Danke.
Wäre es in diesem Falle erlaubt, da es keine Begrenzung gibt, für Epsilon eine recht große Zahl, z.B. 1/2 zu wählen, oder macht das keinen Sinn?

[johla]

Es geht ja um kleiner werdende epsilon > 0, und dafür ist N(eps) unbeschränkt, d.h. du kannst keine festen eps oder N(eps) nehmen.

[Paran]

Ah, stimmt.
Ich hatte mich nur von der Aufgabe b) "verwirren" lassen.

[Paran]

Die Indexverschiebung habe ich mittlerweile verstanden, Danke :)

[johla]

Allgemein gilt:

sum(q^n, n=n_0...infty) = q^{n_0}*sum(q^n, n=0..infty)
= q^{n_0}*1/(1-q) nach Ausklammern und der geometrischen Reihe.

[Paran]

Ich soll mittels Wurzelkriterium beweisen, dass u>1 die Reihe divergieren lässt, u<1 sie konvergieren lässt.

Die Reihe sieht so aus:
http://666kb.com/i/c90z6v345kthhhho3.tiff

Nach etwas hantieren mit dem Wurzelkriterium kommt dies dabei heraus:

http://666kb.com/i/c90z7lnm9gmwkvgdv.tiff

Kann mir jemand einen Tip geben, wie ich hier weiter arbeite? Kann man den Nenner irgendwie vereinfachen, oder was muss ich nun machen?

[Bis]

Ich soll mittels Wurzelkriterium beweisen, dass u>1 die Reihe divergieren lässt, u<1 sie konvergieren lässt.

Die Reihe sieht so aus:
http://666kb.com/i/c90z6v345kthhhho3.tiff

Nach etwas hantieren mit dem Wurzelkriterium kommt dies dabei heraus:

http://666kb.com/i/c90z7lnm9gmwkvgdv.tiff

Kann mir jemand einen Tip geben, wie ich hier weiter arbeite? Kann man den Nenner irgendwie vereinfachen, oder was muss ich nun machen?

ich sehe da nix..

[Paran]

Ich glaube ich habe mal wieder ein Brett vor dem Kopf.

Bei der unteren Aufgabe. Klar die Ableitung von f(x) ist einfach. Aber ich habe keine großartige Idee auf die Tangentengleichung zu kommen.

x(n+1)= xn - (f(xn))/(f(xn)') ist es ja nicht.

[pest]

f(x)=x²-x-1

Eine Tangente ist eine Gerade der Form y=mx+b, für die gilt m=f'(x) und y(x)=f(x)

also gilt für x_j, T_j: f(x_j)=f'(x_j)*x_j+b_j

x_0=1, f(1)=-1, f'(1)=1 und damit -1=1*1 + b, also b=-2

T_0: y=1x-2

x_1 ist jetzt die NST von T_0, also 0=1x-2 und damit x_1=2

[Annator]

Der Sinus ist eine mit 2*Pi periodische Funktion und es gibt unendlich viele Lösungen für die Gleichung. Eben x=Pi/6 +/- Vielfache von 2*Pi. Außerdem noch x=Pi*5/6 +/- Vielfache von 2*Pi. Das sind dann alle Lösungen der Gleichung. x_k2 hast du nicht abgebildet, gehört aber genauso zur Lösung.

Bei mir kommt da x=30 raus. Einfach die Umkehrfunktion vom sinus.

[Pinoccio]

Bei mir kommt da x=30 raus. Einfach die Umkehrfunktion vom sinus.Wochenalte, schon vollständig und richtig gelöste Fragen erneut zu beantworten und dann noch falsch ist kein schöner Diskussionsbeitrag.



@Paran: Wenn du die Tangentenaufgabe gelöst hast, emfpehle ich zwecks Verständnis, was und warum du da gerechnet hast, einen Blick darauf (http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:NewtonIteration_Ani.gif&filetimestamp=20120507184546) (aus dem zugehörigen Wikipedia-Artikel (http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren)) oder auf die wie immer sehr gute Seite von Arndt Brunner (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/newton.htm).

mfg

[Paran]

Danke pest und Pinoccio:

Ich bin gestern auch schon von allein auf Teile davon gekommen, mit eurer Hilfe habe ich nun die Tabelle komplett.

Innerhalb der Übungsgruppe haben wir heute mal verglichen und dabei haben wir 3 Leute in der letzten Zeile bei j=3 unterschiedliche Ergebnisse:biggrin:

bei j=0 ist xj=1, bei j=1 ist xj=2, bei j=2 ist xj=5/3 aber nun kommt j=3, meine Überlegung war xj=34/21 (wegen 5/3-f(5/3)/f'(5/3)), Kandidat a) meinte 49/30 und Kandidat b) meinte 102/49. Zwar konnte mir kein anderer den Rechenweg seiner Zahl erklären, aber etwas komisch stimmt es mich schon, wenn die oberen drei Zeilen bei uns allen gleich sind, aber der letzte Wert so abweicht.

Könnte jemand noch einmal drüber schauen und sagen, wer nun recht hat :D

[pest]

wie ist denn eine NST von f(x)? ;)

[Paran]

Wahrscheinlich stehe ich nur auf dem Schlauch, aber ihr könnt mir da sicherlich weiterhelfen.

Ich habe eine Funktion f(x)= 1/2*ln((1+x)/(1-x)

Davon soll ich das Taylor-Polynom T2 an der Stelle x=0 ausrechnen.

T0= ist 0
T1= ist x, sprich 0+x
T2= ist wiederum 0, sprich 0+x+0
T3= ist x+(x^3/3), sprich 0+x+0+(x^3)/3

Meine Frage ist, zählen die "0" als jeweiliges entwickelte Polynom oder schiebe ich auf, sodass T2 nicht 0 sondern x^3/3 ist?

Weil ich soll mit T2 noch weiter rechnen und unter anderem dabei R2 nutzen. Da wäre es dann fatal, wenn solch ein Fehler unterläuft.

[Pinoccio]

Meine Frage ist, zählen die "0" als jeweiliges entwickelte Polynom oder schiebe ich auf, sodass T2 nicht 0 sondern x^3/3 ist?Auch verschwindende Polynom zählen da mit.
(Deine Rechnung ist übrigens richtig, falls dir diese Info weiterhilft. Und gewöhn dir ruhig eine etwas stringentere Formulierung an, dann machst du weniger Fehler. Sage ich als ex-Übungsleiter.)

mfg

[Paran]

Danke :)

Was meinst du denn mit stringentere Formulierung? Gibt es da Verbesserungsvorschläge? :)

[Pinoccio]

Was meinst du denn mit stringentere Formulierung? Gibt es da Verbesserungsvorschläge? :)Nur Kleinigkeiten. Sowas:
T0= ist 0Entweder Text ("ist") oder Gleichheitszeichen.
x^3/3Missverständlich, später schreibst du ja besser (x^3)/3, mglw. ist ersteres auch nur ein Tippfehler. (So wie die fehlende schließende Klammer bei der Funktion.)


mfg

[Paran]

Nur Kleinigkeiten. Sowas:
Entweder Text ("ist") oder Gleichheitszeichen.
Missverständlich, später schreibst du ja besser (x^3)/3, mglw. ist ersteres auch nur ein Tippfehler. (So wie die fehlende schließende Klammer bei der Funktion.)


mfg

Ah,
danke. Okay, dass mit dem "=" und "ist" ist wirklich etwas doppelt und hinfällig. Die fehlende Klammer bei der Funktion ist wirklich ein Tippfehler. Bei (x^3)/3 muss ich mir die Klammerung besser so herum angewöhnen. Ich klammere für mich persönlich immer nur den anderen Weg, sprich x^(3/3) wenn ich es so meine. Aber danke :)

[Paran]

Mittlerweile sind wir im mehrdimensionalen Raum angekommen und aktuell habe ich noch ein paar Schwierigkeiten mit diese Vorzustellen.

Hier ist eine Übunsgaufgabe:
http://666kb.com/i/cazqgvpcz4a3vjvho.jpg


Niveaumengen sollen wir uns ungefähr als Höhenlinien vorstellen, bei deren eben alle f(x,y)-Werte die selbe Höhe, oder c, haben.

Mittels der Definition von Niveaumengen komme ich auf:

Nc={(x,y): (x2+(y-1)2)/(x2+(y+1)2=c}

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weitermachen muss, dass ich die Forderung zeigen kann?
Stelle ich die Gleichung nach y um, um so in Abhängigkeit von x bei festem c alle y-Werte für die einzelnen Mengen angeben zu können? Aber wie zeigen ich dann, dass es sich um Kreise handelt?

[zaboron]

Wodurch definieren sich denn Kreise? ;)

[Paran]

Es gibt ja Kreisgleichungen:
r2 =x2 +y2 bzw. r2 =(x−a)2 +(y−b)2

Muss ich den Ausdruck aus der Aufgabe auf diese Form zurückführen?

[zaboron]

Das sind ja schon sehr spezielle Kreise.
Allgemein ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt z als die Menge aller Punkte mit Abstand r zu Punkt z definiert. Wenn ich mich richtig erinnere.

[Flyinglosi]

Das sind ja schon sehr spezielle Kreise.
Allgemein ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt z als die Menge aller Punkte mit Abstand r zu Punkt z definiert. Wenn ich mich richtig erinnere.

Und was stört dich diesbezüglich an der zweiten Formel des Threadstarters?

[zaboron]

Und was stört dich diesbezüglich an der zweiten Formel des Threadstarters?
Wie gesagt, das ist ja im Prinzip nur ein Spezialfall.

[Flyinglosi]

Wie gesagt, das ist ja im Prinzip nur ein Spezialfall.
Welche anderen Fälle willst du bei diesem Beispiel denn noch berücksichtigen? Da es sich um Niveaulinien handelt, liegen diese in einer x-y-Ebene. Und die zweite Formulierung des Threadstarters definiert genau all jene Punkte, welche in einem konstanten Abstand r vom Punkt (a,b) entfernt liegen.

mfg Stephan

[zaboron]

Welche anderen Fälle willst du bei diesem Beispiel denn noch berücksichtigen? Da es sich um Niveaulinien handelt, liegen diese in einer x-y-Ebene. Und die zweite Formulierung des Threadstarters definiert genau all jene Punkte, welche in einem konstanten Abstand r vom Punkt (a,b) entfernt liegen.

mfg Stephan
Die Formel ist nur gültig, wenn es sich beim Abstand um den euklidischen Abstand handelt, und nicht um irgend eine andere Metrik.

[Flyinglosi]

Die Formel ist nur gültig, wenn es sich beim Abstand um den euklidischen Abstand handelt, und nicht um irgend eine andere Metrik.
Ach komm, ich wollte vorher schon eine sarkastische Bemerkung rauslassen, dass wir einen Kreis wohl erstmal in einem allgemeinen normierten Vektorraum definieren sollten. Und jetzt kommst du tatsächlich mit sowas angetanzt.

Der Threadstarter ist mit der quadratischen Norm wohl voll zufrieden, da sie ja auch das Ergebniss der klassischen Geometrie erzielt.

[zaboron]

Das es sich bei diesen Kreisen um einen Spezialfall handelt war ja nur eine Randnotiz von mir auf der du dann herumgeritten bist. :)

Wollte dem Fragensteller nur auf die Sprünge helfen wie er die Formeln zusammenbasteln kann.

[Paran]

hmm,
irgendwie komme ich auch damit noch nicht richtig voran.

Setze ich die obige Gleichung aus der Aufgabenstellung mit r2 gleich?

Auch gibt es noch f-1(c bzw. z), welches mir das Urbild von c bzw. z gibt. Bringt mich diese partielle Ableitung dann weiter?

[Pinoccio]

Ein Kreis (http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Koordinatengleichung) (in einer 2-dimensionalem euklidischem Vektorraum mit kartesischem Koordinatensystem) um den Punkt (0,0) ist definiert durch x^2+y^2=r^2. Im Allgemeinen lautet die Formel für einen Kreis um den Punkt (a,b) dann (x-a)^2+(x-b)^2=r^2. Diese Form musst du halt in deiner Gleichung wiederfinden.

mfg

[Blackhand]

Mein Weg war etwas wirr und die allgemeine Kreisgleichung hilft einem jetzt auch erstmal nicht direkt weiter, aber ich glaube ich habe Mittelpunkt und Radius raus. Ob ich zeigen kann, dass es direkt ein Kreis ist wage ich zu bezweifeln.


Mittelpunkt: [0, (c+1)/(1-c)]
Radius: abs(2*sqrt(c)/(1-c))

Achja, c=z ;)

EDIT: Erstmal (x^2+(y-1)^2)/(x^2+(y+1)^2) = c jeweils nach x und y auflösen hat mich am Ende drauf gebracht.
Edit2: Habs mir auch erstmal zu umständlich gemacht. Deine erste Vermutung war richtig. Die Gleichung (x^2+(y-1)^2)/(x^2+(y+1)^2) = c in die allgemeine Kreisgleichung überführen.

[Paran]

Edit: hat sich erledigt. Manchmal hat man Tomaten auf den Augen.