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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Relationen


Eggcake
2009-11-10, 21:21:01
Habe eine Miniübung, hoffe einige wissen dazu eine Antwort:

Es geht um Beziehungen zwischen Elementen einer Menge: binäre Relationen.

Gegeben ist die Relation R: "nicht schwerer als" - also z.B. "X nicht schwerer als Y".

Für die folgenden Behauptungen gilt entweder Wahr oder Falsch:

R ist eine Äquivalenzrelation ?
R ist eine lineare Ordnungsrelation ?
R ist eine Halbordnung ?
R ist transitiv ?


Hoffe einige von euch hatten/haben den ähnlichen Stoff mal gehabt und mögen sich erinnern. Eigentlich ists ziemlich banal, jedoch scheint meine jetzige Lösung (die ich noch nicht hinkritzle) falsch zu sein und ich sehe nicht ganz ein warum das so ist.


Gruss ;)

pest
2009-11-10, 21:25:25
schreib deine Lösung hier herein, und wir kontrollieren sie gemeinsam :)

Pinoccio
2009-11-10, 22:03:42
schreib deine Lösung hier herein, und wir kontrollieren sie gemeinsam :)

mfg

Eggcake
2009-11-10, 22:04:11
1: Damit Äquivalnz erfüllt ist, muss R reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
R ist reflexiv (x "nicht schwerer als" x). R ist nicht symmetrisch (wenn x "nicht schwerer" als y ist, muss y "nicht schwerer" als x sein. R ist transitiv ( (xRy AND yRz) -> xRz).
Symmetrie nciht efüllt --> Äquivalenz nicht erfüllt

2: Damit lin. Ordnung erfüllt ist muss gelten: Halbordnung, totale Relation
Halbordnung erfüllt (siehe 3.)
totale Relation:
xRy OR yRx
d.h. entweder x "nicht schwerer" als y oder y "nicht schwerer" als x oder beides.

--> Erfüllt


3:
Damit Halbordnung erfüllt ist: reflexiv, transitiv, antisymmetrisch
reflexiv, transitiv stimmt (siehe 1.)
antisymmetrisch:
(xRy AND yRx) -> x=y - d.h. wenn x nicht schwerer als y ist und y nicht schwerer als x, dann muss x = y sein.

--> Wahr

4. Wahr (siehe 1.)


Also:
1. Falsch
2. Wahr
3. Wahr
4. Wahr

Unsicher bin ich mir bei der Antisymmetrie (die Bedingung für die Halbordnung ist). Die geht ~ (xRy AND yRx) -> x=y . Nun behaupten einige, dass dies falsch ist, da sich x=y auf die Identität und nicht die Relation bezieht, nur würde ich das nicht wirklich verstehen, da dann eigentlich x=y nie wahr ist...

Pinoccio
2009-11-10, 22:10:48
Unsicher bin ich mir bei der Antisymmetrie (die Bedingung für die Halbordnung ist). Die geht ~ (xRy AND yRx) -> x=y . Nun behaupten einige, dass dies falsch ist, da sich x=y auf die Identität und nicht die Relation bezieht, nur würde ich das nicht wirklich verstehen, da dann eigentlich x=y nie wahr ist...Antisymmetrie ist nicht erfüllt, denn x=y bedeutet Gleicheit, also ebend, daß x ununterscheidbar von y ist.
Wie sollte sich das auf eine Relation beziehen?

Der Rest schaut richtig aus.
1. passt
2. ist imho falsch, ebend wegen gleichschwerer Elemente
3. falsch, siehe oben
4. passt

Alle Angaben ohne Gewähr!

mfg

Eggcake
2009-11-10, 22:13:15
Inwiefern ist denn X unterscheidbar von Y wenn beide gleich schwer sind?

Bzw. wann ists denn ununterscheidbar?

Edit: Achso...also im Prinzip klappt das nur wenn X und Y Zahlen sind?
Da X und Y aber nicht "Gewichte" sondern Gegenstände oder whatever sind, ist x!=y?
Edit2: Je öfter ich editiere, desto logischer klingst ^^

Danke

Edit3: Und ist klar, wenn Antisymmetrie nicht erfüllt ist, ist 3. falsch und demzufolge auch 2.

Pinoccio
2009-11-10, 22:21:12
Inwiefern ist denn X unterscheidbar von Y wenn beide gleich schwer sind?

Bzw. wann ists denn ununterscheidbar?

Edit: Achso...also im Prinzip klappt das nur wenn X und Y Zahlen sind?
Da X und Y aber nicht "Gewichte" sondern Gegenstände oder whatever sind, ist x!=y?Stell dir x und y als Vektoren in R^2 vor und das Gewicht als Länge. Deine Relation sagt dann, daß (1, 0) nicht schwerer ist als (0, 1) und aber auch, daß (0, 1) nicht schwerer ist als (1, 0). Trotzdem sind beide verschieden.
Das geht auch mit Komplexen Zahlen oder Matritzen.

Das "Problem" ist, daß du offenbar an reelle Zahlen denkst. Dort gilt für die Anordnung Antisymmetrie.

mfg

pest
2009-11-10, 22:24:33
darüber könnte man auch streiten,
auf welcher Menge ist denn die Relation definiert?, sonst macht das ja nicht viel Sinn.

wenn ich eine Maschine habe, die Würste presst, und die Relation über dieser Wurstmenge betrachte, könnte man dann schon von Antisymmetrie sprechen

Eggcake
2009-11-10, 22:24:57
Das Vektorbeispiel ist wirklich gut ;)
Klingt sehr logisch :)

Edit:

Mh wenn die Menge über den natürlichen Zahlen definiert wäre, würde dann Antisymmetrie gelten oder nicht?
Wie es in der Aufgabe war, weiss ich grad nicht mehr, afaik war aber nix angegeben...d.h. wohl universaler quantifikator, also dürfte es für diese Aufgabe schon falsch sein.

pest
2009-11-10, 22:33:09
dann schreib nicht falsch hin, denn das impliziert das du die Menge kennst
schreib lieber "im Allgemeinen nicht, weil zum Beispiel"

Pinoccio
2009-11-10, 22:33:46
darüber könnte man auch streiten,
auf welcher Menge ist denn die Relation definiert?, sonst macht das ja nicht viel Sinn.

wenn ich eine Maschine habe, die Würste presst, und die Relation über dieser Wurstmenge betrachte, könnte man dann schon von Antisymmetrie sprechenDas Thema mit den sexuellen Fantasien scheint dich nicht los zu lassen. >< (scnr)

Ohne Angabe der Grundmenge und einer richtigen Definition der Relation ist das natürlich Kaffeesatzleserei.*
Wenn diese Grundmenge die natürlichen Zahlen wären und die Relation das normal "größer gleich" wäre, dann würde Antisymmetrie gelten, ja.
Aber auch auf den Natürlichen Zahlen ließe sich eine nicht-antisymmetrische Relation konstruieren.

* Das erinnert mich an die Übungszettel, die ich am Wochenende kontrolliert hatte. Da sollte eine Funktion angegeben werden und dann bestimmt werden, ob diese bijektiv ist. 3 von 21 18 von 21 haben sich dazu geäußert, ohne die Definitionsmenge und die Wertemenge anzugeben. Und aus denen soll was werden. :ugly:

mfg

pest
2009-11-10, 22:34:28
Das Thema mit den sexuellen Fantasien scheint dich nicht los zu lassen. >< (scnr)


hehe :D, erwischt

pest
2009-11-10, 23:07:40
Und aus denen soll was? werden. :ugly:mfg

Physiker?

Eggcake
2009-11-10, 23:23:27
Naja, ich habe Informatik nur als kleines Nebenfach, zu meiner Verteidigung - bin eher praxisorientiert :D

Edit: Und wie gesagt: in der Aufgabenstellung war kein Wertebereich angegeben! It wasn't me! ;)