Aufgabe Kombinatorik - me? too dumb

[pest]

Hallo zum späten Sonntag,

ich habe ein paar Belegaufgaben zum warm werden,
und vielleicht kann mir ja jmd. helfen, das ist alles schon zu lange her.

nehmen wir gleich Aufgabe 1 :freak:

5 Memory-Karten mit paarweise verschiedenen Bildern (=10 Karten insgesammt)

5 Karten werden ausgelgt
Anzahl der Möglichkeiten dies zu tun: n=5!=120

jetzt werden die korresponierenden Karten unter die Vorherigen ausgelegt
nun soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, das k=0,..,5 direkt
untereinanderliegende Paare übereinstimmen

rausbekommen habe ich jetzt folgendes:
P(k=5)=1/5!
P(k=4)=0, da ungerade Anzahl an Karten

habe zwar die korrekten Ergebnisse (mitm Rechner),
aber ich finde keine Formel für

"Wieviele Anzahl Permutionen einer Menge gibt es, wobei genau k Elemente mit ihrer Ursprungsstelle übereinstimmen müssen"=Q(n,k)

???

durch nachzählen...

Q(2,0) = 1, Q(2,1) = 0
Q(3,0) = 2, Q(3,1) = 3, Q(3,2) = 0

[pest]

keiner schlauer als ich :biggrin:?

[Freakazoid]

Kannst du das Experiment genauer erklären? Auslegen = aufdecken? Und vor allem den Teil mit dem auslegen unter den vorherigen?!

Ich bin der Meinung dass es sich um ein einfachs "Urnenexperiment" handelt. Aber nachdem DU frägst bin ich da nicht so sicher.

[superdash]

Für mich ist das auch zu unpräzise formuliert. Wenn das so aus einem Buch ist, dann sollte man es entsorgen...

[pest]

oh ich dachte das war klar, das Problem ist in Anführungsstrichen und
ich denke nicht das es auf ein Urnenproblem hinausläuft

Memorykarten kommen ja immer in Paaren vor
Deswegen habe ich 5 Memorykarten geschrieben (da es sich ja um 5 Paare handelt)
die eine Teilhälfte der Karten wird nun aufgedeckt hingelegt.
direkt darunter die andere Hälfe.
Nun wird geschaut wieviele Bilder k<=n von direkt übereinanderliegenden Karten übereinstimmen.

Bei P(k=5) ist die Lösung (1 günstige Möglichkeit)/(120 totale Möglichkeiten)
der Rest ist schwieriger, da die Anzahl der günstigen Lösungen nicht so einfach zu berechnen ist

[Oberon]

Interessante Aufgabe, nicht ganz trivial.
Meine Überlegung ist: Anzahl bzw. Anteil der günstigen Ereignisse für zB 3 richtige:
(5 über 3)/5! * (Anzahl Permutationen der restlichen 2, die gültig sind).
Das wäre hier nur 1, da es sonst 5 richtige wären.
Bei 2 richtigen:
(5 über 2)/5! *(" "). Das sind hier 2 (3 verbleibende Elemente, die 'komplett falsch' sein müssen, dafür gibt es 2 Möglichkeiten).
Bei 1 richtigen:
(5 über 1)/5! * (" "). Das wären hier imo 3! = 6. Vermutung: bei n Elementen gibt es (n-1)! Permutationen für 0 'Treffer'.
Bei 0 richtigen: mit der erwähnten Vermutung wären das 4!, also 4!/5!.

Alles schön und gut, aber wenn ich alles aufsummiere, kommt nicht 1 raus, sondern 85/120:upicard:

Irgendwo is da noch ein Fehler drin :uponder:

[pest]

Interessante Aufgabe, nicht ganz trivial.
Meine Überlegung ist: Anzahl der günstigen Ereignisse für zB 3 richtige:
(5 über 3)/5! * (Anzahl Permutationen der restlichen 2, die gültig sind).
Das wäre hier nur 1, da es sonst 5 richtige wären.
Bei 2 richtigen:
(5 über 2)/5! *(" "). Das sind hier 2 (3 verbleibende Elemente, die 'komplett falsch' sein müssen, dafür gibt es 2 Möglichkeiten).
Bei 1 richtigen:
(5 über 1)/5! * (" "). Das wären hier imo 3! = 6. Vermutung: bei n Elementen gibt es (n-1)! Permutationen für 0 'Treffer'.
Bei 0 richtigen: mit der erwähnten Vermutung wären das 4!, also 4!/5!.

Alles schön und gut, aber wenn ich alles aufsummiere, kommt nicht 1 raus, sondern 85/120:upicard:



Hallo oberon,
ich habe die Lösung nun selbst rausbekommen
dein Ergebniss bei (k=3 und 2) stimmt

"Anzahl Permutationen der restlichen 2, die gültig sind" stimmt allerdings nicht, deswegen funktioniert es auch nicht immer.
Was du an der Stelle suchst, ist die "Anzahl der Fixpunktfreien Permutionen", also Permutionen
die nicht auf sich selbst abbilden. Die verstecken sich in den Recontre-Zahlen oder Subfakultät (http://de.wikipedia.org/wiki/Subfakult%C3%A4t)

Bei k=1 ergibt sich damit 9 und nicht 6!
Bei k=0 ergibt sich 44 und nicht 24!

Dann berechnet sich das Ganze für
P(k=3)=((5 über 3)*!2)/120=0.083
P(k=2)=((5 über 2)*!3)/120=0.168
P(k=1)=((5 über 1)*!4)/120=0.375
P(k=0)=((5 über 0)*!5)/120=0.366

[Oberon]

Ah interessant, wieder was dazugelernt. Naja, hätte mich auch gewundert, wenn meine Vermutung gestimmt hätte und es so simpel gewesen wäre :biggrin:

[pest]

frustrierend eher für mich, da ich hier seit stunden am zählen war ...

mein computer rechnet zudem seit 2h eulersche quadrate aus :| oh mann

danke dir trotzdem für die mühe