eindeutige Lösbarkeit eines Anfangswertproblems

[Drill]

hallo,

folgendes problem
ich habe die relativ simple DGL y'=sqrt[y] mit y(0)=0

nun soll ich zeigen, dass dieses AWP eine lösung besitzt.
soweit kein problem:
->y(x)=1/4*x^2

allerdings soll ich dieses AWP nun auf eindeutige lösbarkeit untersuchen.
als tipp wurde angegeben, dass man y als geeignetes quadr. Polynom ansetzen soll.
allerdings stehe ich hier ein wenig auf dem schlauch. ist es ok wenn ich zB y(x)=x^2+x+1 setze und anschließend das DGL zu y=(y')^2 umforme und jetzt für y das polynom und für y' die ableitung des polynoms einsetze und dann kucke was da raus kommt?
käme mir fast zu einfach vor.

[Acid-Beatz]

Also meiner Meinung nach kommst du schon mal mit der Funktion y(x)=1/4*x^2 nicht zu der Ableitung y'=sqrt[y] :confused:

Kann auch sein, dass ich mich irre aber des is mir beim durchgehen grad so aufgefallen.

[Drill]

Also meiner Meinung nach kommst du schon mal mit der Funktion y(x)=1/4*x^2 nicht zu der Ableitung y'=sqrt[y] :confused:

Kann auch sein, dass ich mich irre aber des is mir beim durchgehen grad so aufgefallen.

y'=sqrt[y], y(0)=0

=> dy/dx = sqrt[y]
=> integral 1/(sqrt[y])*dy = integral dx
=> y = 1/4*(x+c)^2 = 1/4*(x^2+2xc+c^2)
=> y(0) = 1/4*(c^2) = 0 => c=0
=> y(x) = 1/4*x^2

[Acid-Beatz]

So, nochmal ich: Ich glaube die Lösung deines Problems ist einfach, dass du zeigst, dass die Ableitung deiner Lösungsfunktion wieder die "ursprüngliche" ist [http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis
Eine andere Lösung kann es nicht geben weil diese ja wieder durch ne Integrationskonstante "verschoben" wäre oder eben nichtmehr die Ableitung der Lösungsfunktion.

Ich hoffe es hat bissl was gebracht: Greez

[Drill]

So, nochmal ich: Ich glaube die Lösung deines Problems ist einfach, dass du zeigst, dass die Ableitung deiner Lösungsfunktion wieder die "ursprüngliche" ist [http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis
Eine andere Lösung kann es nicht geben weil diese ja wieder durch ne Integrationskonstante "verschoben" wäre oder eben nichtmehr die Ableitung der Lösungsfunktion.

Ich hoffe es hat bissl was gebracht: Greez

bin mir nicht sicher, ob ich verstanden habe was du meinst (den fundamentalsatz der analysis natürlich schon ;))
die integrationskonstante verschwindet doch immer automatisch beim ableiten, somit sagt das doch nichts über die eindeutigkeit aus.

[Acid-Beatz]

Püh, ich hoff ich kanns dir so erklären:
Die Ableitung beschreibt "nur" die Änderung der Ausgangsfunktion [also die Tangentensteigung], sie macht keine Aussage darüber wo diese ursprüngliche Funktion im Koordinatensystem "gezeichnet war: Einfaches Beispiel, du leitest die lineare Funktion f(x)=x ab: Egal ob sie die y-Achse bei -5,+10 oder 1000000 schneidet, sie hat immer die gleiche Steigung, also 1. Das war die Ableitung.
In deinem Fall hast du aber die Aussage, dass die Ausgangsfunktion durch den Punkt [0/0] geht, also den Koordinatenursprung und das wiederum erlaubt dir, die richtige Funktion nach dem Integrieren zu finden: Du suchst genau DIE Gleichung, die z.B die y-Achse im Punkt -5 schneidet.

Klingeling ?

[Drill]

Püh, ich hoff ich kanns dir so erklären:
Die Ableitung beschreibt "nur" die Änderung der Ausgangsfunktion [also die Tangentensteigung], sie macht keine Aussage darüber wo diese ursprüngliche Funktion im Koordinatensystem "gezeichnet war: Einfaches Beispiel, du leitest die lineare Funktion x ab: Egal ob sie die y-Achse bei -5,+10 oder 1000000 schneidet, sie hat immer die gleiche Steigung, also 1. Das war die Ableitung.
In deinem Fall hast du aber die Aussage, dass die Ausgangsfunktion durch den Punkt [0/0] geht, also den Koordinatenursprung und das wiederum erlaubt dir, die richtige Funktion nach dem Integrieren zu finden: Du suchst genau DIE Gleichung, die z.B die y-Achse im Punkt -5 schneidet.

Klingeling ?

genau das habe ich hier doch auch getan:http://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/showpost.php?p=8375795&postcount=3

das zeigt aber noch nicht die eindeutigkeit.

[Flyinglosi]

Die Funktion y(t)=0 löst das Problem ebenfalls, daher gibs keine eindeutige Lösung.

[Drill]

Die Funktion y(t)=0 löst das Problem ebenfalls, daher gibs keine eindeutige Lösung.

ebend.
eine idee wie ich das anahnd des "tipps" herleiten kann.
ich meine das es dem prof nicht reicht zu sagen y(x)=0 ist auch eine lösung, sonst hätte er den "tipp" nicht gegeben.

[Flyinglosi]

@Drill: Es wäre ein eindeutiger Beweis, kommt dann eben auf die Aufgabenstellung drauf an, wie er es konkrett lösen soll.

[Drill]

@Drill: Es wäre ein eindeutiger Beweis, kommt dann eben auf die Aufgabenstellung drauf an, wie er es konkrett lösen soll.

1 zu 1 vom aufgabenblatt:
Das Anfangswertproblem (P) habe die Gestalt
(P) y'=sqrt[y], y(0)=0

a) zeigen sie, dass (P) eine Lösung besitzt. => done
b) Untersuchen sie (P) auf eindeutgie Lösbarkeit
Hinweis: Setzen Sie y etwa als geeignetes quadratisches Polynom an.

[Acid-Beatz]

Vielleicht is es auch nur ne "Fangfrage" bzw Verständnisfrage weil in meinem Skript steht: "Zur Ermittlung der Lösung eines AWP benötigt man in den meisten Fällen zuerst die allgemeine Lösung der DGL; nach dem Einsetzen der Anfangsbedingung(en) in die allgemeine Lösung wird/werden die Integrationskonstanten ermittelt; diese bestimmen die partikuläre Lösung (=Lösung des AWP)"

[Flyinglosi]

ja aber du musst trotzdem irgendwie rausfinden ob die Lösung eindeutig ist.

Bei nummerischen Simulationen ist dies zb. entscheidend, da diese nur Sinn machen, wenn die Lösung auch wirklich eindeutig ist.

mfg Stephan

[Bis]

ebend.
eine idee wie ich das anahnd des "tipps" herleiten kann.
ich meine das es dem prof nicht reicht zu sagen y(x)=0 ist auch eine lösung, sonst hätte er den "tipp" nicht gegeben.

eben so.

deine erste lsg hätte y(x)=0 sein sollen. die zweite dann die quadratische form ;)

[Flyinglosi]

bei der untersuchung von DGL ist man generell immer gut damit beraten gleichmal nach Ruhelagen zu suchen (also jene Werte von x, bei denen x'=0 ist). Diese Lösungen bekommt man in der Regel am einfachsten (auch für Diffgleichungen höherer Ordnung).

mfg Stephan

[pest]

Erstmal steht da nix auf welchen Bereich die DGL gelöst werden soll?
Und zweitens muss es bei Existenz und Eindeutigkeit einer gewöhnlichen DGL klingeln...und man muss an den Satz von Picard-Lindelöf (http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f) denken.

Soll die DGL z.B. auf [0,b] gelöst werden, ist die Lösung nicht eindeutig, da f(x)=Sqrt[x] dort nicht Lipschitz-stetig ist, was einfach (http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel107/) zu zeigen ist.

[Flyinglosi]

@pest: gut dass sich einer traut :biggrin:. Ich wollte anfangs auch darauf hinweisen, nachdem ich aber die ersten Posts gelesen hatte schien mir das ein wenig übertrieben ;D

[Drill]

Erstmal steht da nix auf welchen Bereich die DGL gelöst werden soll?
Und zweitens muss es bei Existenz und Eindeutigkeit einer gewöhnlichen DGL klingeln...und man muss an den Satz von Picard-Lindelöf (http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f) denken.

Soll die DGL z.B. auf [0,b] gelöst werden, ist die Lösung nicht eindeutig, da f(x)=Sqrt[x] dort nicht Lipschitz-stetig ist, was einfach (http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel107/) zu zeigen ist.

kam erst heute in der vorlesung dran (Picard Lindelöf) und da das Übungsblatt heute vor der vorlesung abgegeben werden musste, sollte das wohl ohne picard lindelöf gelöst werden.