Mathematische Aufgabe

[Hellstaff]

Hallo Leute!

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Eine Funktion f(x) habe die Fourier Transformierte F[f] = exp(- lamdba^2).

a) Man bestimme die Fourier Transformierte F[f(x+1)*exp(i*x)]
b) Man bestimme f(x)

Ich starte mit b):

f(x) = 1/Wurzel(2*Pi) * Integral (exp(i*lambda*x) * exp(-lambda^2)) dlambda von minus Unendlich bis Plus Unendlich

= 1/Wurzel(2*Pi) * 1/(x*i-2*lambda)*(exp(i*lambda*x-lambda^2)) von minus Unendlich bis Plus Unendlich

Das 1/(x*i-2*lambda) ist Divison der inneren Ableitung des Integrals. Das Problem der ganzen Sache ist das Einsetzen der Grenzen von minus Unendlich bis Plus Unendlich, denn da kommt nur Blödsinn raus. Das Resultat (nach Mathematica) sollte sein:

f(x) = 1/Wurzel(2)*exp((-x^2)/4)

Mich würde der rechnerische Weg bis dahin interessieren: Muss ich da bei der Grenzensetzung die Regel von d'Hopital anweden? Bitte um euren Rat.

Lg

Hellstaff

[Oberon]

Hast du da einen Buchstaben vergessen oder ist F(f) wirklich exp(-lambda²) ?
Dann wäre nämlich f(x) = const. * δ(x).
Prinzipiell würde ich nicht empfehlen, bei FT-Aufgaben wirklich die Integrale zu lösen. Normalerweise benutzt man da Tabellen und bastelt sich das dann so hin, dass man einen der Einträge verwenden kann.

[Hellstaff]

Danke für die Antwort.

Ich habe es schon richtig hingeschrieben, etwas genauer wäre:

Fouriertransformierte[f] = F[lambda] = exp (-lambda^2)

Es war eine Prüfungsaufgabe und da war die Verwendung von Tabellen nicht erlaubt.

PS: War es so weit mit der Integration und der inneren Ableitung richtig gerechnet?

[pest]

hm die stammfunktion ist hässlich (http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[exp[i*lambda*x-lambda^2]%2C{lambda}]), aber kann sein das Mathematica hier abkackt

[Oberon]

Danke für die Antwort.

Ich habe es schon richtig hingeschrieben, etwas genauer wäre:

Fouriertransformierte[f] = F[lambda] = exp (-lambda^2)


Hä? Verstehe nicht was du meinst. Ist lambda die Wellenlänge oder irgendein Parameter oder was? Werd daraus nicht schlau.

[pest]

hä?

[Oberon]

hä?
Mir ist nicht klar ob F(f) von f unabhängig ist oder ob lambda irgendwie in Bezug zu f steht (c=f*lambda).

[pest]

beides

http://upload.wikimedia.org/math/1/2/a/12a07c21f4be4d567c38a7eaa1421080.png

http://upload.wikimedia.org/math/b/1/b/b1bdef3b5346730e7b0136a846523334.png

[Oberon]

Der Buchstabe heißt Omega und net Lambda.
Und jetzt nochmal zur Aufgabe : die Fouriertransformierte hat die Form exp(-omega²)---> entspricht auch einer Gaußglocke im Zeitbereich.
Ich kann mich nur wiederholen und von der Verwendung der Integrale abraten.
Aufgabe a) lässt sich mit dem Verschiebungs- und dem Faltungssatz lösen.

[pest]

ist doch völlig Bockwurst wie du die Variable bezeichnest

[Trap]

ist doch völlig Bockwurst wie du die Variable bezeichnest
Außer wenn die Variable bei bestimmten Namen per Konvention und unsauberer Notation in Wirklichkeit eine Funktion ist...

[Oberon]

ist doch völlig Bockwurst wie du die Variable bezeichnest
Unsinn. Das muss schon der Konvention folgen, sonst kann damit keiner was anfangen.

[pest]

Welche Komvention greift denn hier?
Ich habe es z.B. noch nie mit Omega gesehen, aber ich bin ja auch kein Ingenieur bzw. Elektrotechniker.

[Oberon]

Also ich kenn es nur mit Omega/f und das ist eigentlich als Symbol für die Kreisfrequenz nicht nur in der E-Technik vereinbart.

[Hellstaff]

In meinem Analysis 3 Skriptum (als Technischer Physiker) wird die Variable als lambda bezeichnet. In der Literatur wird aber auch omega verwendet. Im Prinzip ist es egal.

[Hellstaff]

Aufgabe a) lässt sich mit dem Verschiebungs- und dem Faltungssatz lösen.

Kannst du vielleicht etwas genauer eingehen - mit Faltung hatte ich bisher nichts zu tun und habe auch keine Musterbeispiele zur Hand.

[Oberon]

Bei Wiki gibts hier ne übersichtliche Tabelle:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Functional_relationships

Mit der Kombination dieser Regeln kann man sich im Normalfall wie erwähnt die Integrale sparen.
In deinem Fall hast du im Zeitbereich also einmal Verschiebung und einmal Multiplikation. Die Multiplikation wird zur Faltung im Frequenzbereich. Ist aber in diesem Fall nicht schlimm, weil da ja nur ein Dirac rauskommt mit dem man falten muss.


€: wenn du sagst du hattest noch nie mit Faltung zu tun beschleicht mich so langsam das Gefühl, dass ihr wirklich diese Aufgabe mit Integral Rechnen lösen _müsst_?

[Hellstaff]

€: wenn du sagst du hattest noch nie mit Faltung zu tun beschleicht mich so langsam das Gefühl, dass ihr wirklich diese Aufgabe mit Integral Rechnen lösen _müsst_?

Klar: Wie gesagt, es war eine Prüfungsaufgabe. Erlaubt waren nur das Skriptum, eine Formelsammlung und ein TI.

[pest]

Die Fourier-Transformation ist eine Faltung :freak:

die Aufgabe kann man auch durch geschicktes hinschauen lösen