Denkanstoß für die Funktionsgleichung

[Harpyie]

Hallo,

ich bräuchte mal einen Denkanstoß wie ich für einen Torschuss auf folgende Funktionsgleichung komme:

f(x) = -0,02x² + 0,993x + 2,44

Das sind dabei die Bedingungen:

- die Flugkurve entspricht einer Parabel (ist klar, sie ist auch nach unten geöffnet, deshalb das minus vor 0,02x²)
- der Ball wird als Punkt betrachtet, d.h. sein Durchmesser wird vernachläassigt
- der Ball hat 24,825 m vor der Torlinie seine größte Höhe
- der Ball senkt sich direkt unter der Querlatte (er hat also nur um Haaresbreite die Latte verfehlt!) genau mittig zwischen den Pfosten ins Tor, wobei sich die Querlatte 2,44 m über dem Boden befindet

Wie gesagt, vielleicht reichen schon kleine Denkanstöße, wäre nett wenn mir einer dabei helfen könnte.

[MSABK]

Sorg erstmal dafür dass x^2 alleine steht.

[Harpyie]

Sorg erstmal dafür dass x^2 alleine steht.

Erm nein, ich brauche eine Idee wie ich zu dieser Funktionsgleichung komme, mit den vorgegebenen Bedingungen :)

[MSABK]

Achso, oops.

[Mosher]

zB
ax² + bx +c ist deine parabel

a < 0;

f`(torlinie-24,825m) = 0 (maximum)
f(x=torlinie) = 2,44m

[Schuhu]

zB
ax² + bx +c ist deine parabel

a < 0;

f`(torlinie-24,825m) = 0 (maximum)
f(x=torlinie) = 2,44m

Fehlt im jetzt nicht ein dritter Punkt mitdem er weiter rechnen kann?

[Mosher]

denkanstoß != kompletter lösungsansatz

evtl. kann er noch mit symmetrie arbeiten? f(x_symm+x) = f(x_symm-x)

Scheitelform aufstellen?

usw. usf....

[Harpyie]

Upsala, was ich nur zur Ausgangssituation vergessen habe: Der Ball wurde vom Mittelkreis aus über eine Distanz von 52 Metern ins Tor geschossen.

Und ja Schreitelpunktform hab ich aufgestellt: f(x) = -0,02(x-24,825)² + 14,766

Nun aber Loch im Kopf ^^

[Mosher]

äh, da steht doch schon alles, was du brauachst

klammer ausmultiplizieren (binomische formel)

[Harpyie]

äh, denk dir die komplette Funktionsgleichung weg.

Wir haben nur die Distanz ins Tor über 52 Meter, dann hat der Ball 24,825 meter vor der Torlinie seine größte Höhe und dann senkt sich der Ball genau über der Querlatte die sich 2,44 m über dem Boden befindet.

Gut das ich die Funktionsgleichung habe, aber wie komme ich zu dieser, nur mit den vorgegebenen Bedingungen?

Wären dann nicht die 24,825 m ein Teil meines Scheitelpunktes? Also S(x/24,825) denn ich kenn ja die Höhe des Ball nicht.

[Mosher]

oh mann!!! bitte verschreib dich net so oft, hab jetzt alles mit 50 metern gerechent ^^


f(x) = ax² + bx + c
man kann jetzt den Nullpunkt bei der Torlatte legen:

f(0) = 2,44 --> c = 2,44;
f'(24,825) = 0; --> 2*a*24,825 + b = =; --> a = -b/(2*24,825);
f(52) = 0; a*(52²) + b*(52) + c = 0; a einsetzen:

-b/(2*24,825)*52²+b*(52) + c = 0

b ausrechnen
a ausrechnen

[Harpyie]

Kurz zur Verständnis... 2*a weil.. ?

[Mosher]

Grundgleichung: f(x) = ax² + bx + c

Gegeben: lokales Extremum bei x=24,825; (Ball hat bei 23,825 höchsten Punkt)

Extremum --> Ableitung = 0

f(x) abgeleitet = f'(x)

= 2*a*x + b

für x 24,825 einsetzen

[Harpyie]

Durch den Bruch beim Term b kann ich nicht weiterrechnen und so ergibts auch noch nicht viel Sinn für mich. Aber hab auch noch nichts von Extremum gehört. :/ Ich gebe mal morgen bescheid, ob dein Ansatz so oki war. Vielen dank für die Hilfe :)

[Mosher]

Ist ok, ich komme auf das richtige Ergebnis ...

Vielleicht erzählst du mal, wie weit ihr in Mathe seid.

Es gibt noch wesentlich schnellere/kompliziertere/elegantere.. Methoden zur Lösung deines Problems, aber ohne Informationen über deinen Kenntnisstand kann dir niemand helfen.

Rechnung ohne Extremum:

f(x) = ax² + bx + c (Grundgleichung Parabel)

f(x) = a*(x_s - x)² + c' /Scheitelform (c' neue Variable)

Scheitel ist bei 28,625 (Y-Koordinate unbekannt)

f(0) = 2,44; c = 2,44;

--> a*(24,825-0) + c' = 2,44; --> a = (2,44-c') / 24,825


f(52) = 0

--> a*(24,825-52)² + c' = 0

a von oben einsetzen, c' berechnen...

a berechnen;

ax² + bx + c benutzen, a und c einsetzen, b berechnen

[Harpyie]

Angefangen von der Normalparabel bis zur Schteilpunktsform und Nullstellen berechnen ist soweit alles klar. Und das die eine Scheitelkoordiante fehlt ist mir auch klar, aber ... ab da kann ich nicht mehr folgen, tut mir leid ^^
Warum wird f(52) auf 0 gesetzt?

Und was ist hier passiert?

--> a*(24,825-0) + c' = 2,44; --> a = (2,44-c') / 24,825

[airbag]

Das dürfte auch mit dem Gaußschen Eliminierungsverfahren zu lösen sein.

[Mosher]

naja, betrachte die Anordnung mal so:

0-Punkt genau bei der Torlinie und verfolge den Schuss "rückwärts"

Da in 52m Torentfernung geschossen wurde und der Schuss offensichtlich vom Boden aus erfolgte, hast du quasi bei x=52 y=0;

und bei x=0 dann y=2,44;

Und was ist hier passiert?

--> a*(24,825-0) + c' = 2,44; --> a = (2,44-c') / 24,825

Klammer ausrechnen, nach a umstellen.

Sag´ mal...

[Harpyie]

Das dürfte auch mit dem Gaußschen Eliminierungsverfahren zu lösen sein.

Brauch ich dazu nicht mehr Werte?
Das hatten wir jetzt auch vor kurzem in der Schule aber wir hatten mind. 3*2 Werte vorgegeben zur eleminierung.

Ok umstellen nach a is mir klar und wo setz ich jetzt a nochmal ein bitte? :D

[Mosher]

Ok umstellen nach a is mir klar und wo setz ich jetzt a nochmal ein bitte? :D

wieder in irgendeine Gleichung, in der nur a und c' vorkommen.


Brauch ich dazu nicht mehr Werte?
Das hatten wir jetzt auch vor kurzem in der Schule aber wir hatten mind. 3*2 Werte vorgegeben zur eleminierung.


du brauchst x (linear unabhängige) Gleichungen, um eine Gleichung mit x unbekannten eindeutig zu lösen

[Harpyie]

Ok brainfuk, ich verrat morgen ob ichs geschnallt habe.

[airbag]

Brauch ich dazu nicht mehr Werte?
Das hatten wir jetzt auch vor kurzem in der Schule aber wir hatten mind.

Du hast 3 Aussage, die dir unterschiedliche Werte liefern und drei Variablen.

[Harpyie]

Das dürfte auch mit dem Gaußschen Eliminierungsverfahren zu lösen sein.

Ja ist es auch :) Aber zumindest stand ich nicht ganz so dumm da, denn bis auf einen hatte es keiner aus meiner Klasse.

Wir haben folgende Punkte:

S(2,35/2,44) *S für den Start am Mittelkreis
Länge der Gesamtparabel 54,35 minus Länge der Distanz von 52 m

T(52/2,44) *T für Tor
Vorm Start bis zum Tor sinds 52 meter und das Tor is 2,44m hoch

E(54,35/0) * E für Ende

52-24,825 = 27,175 (weil Ball 24,825m vor Torlinie größte Höhe hat)
=27,175*2 (länge der gesamten Parabel)

Nur noch einsetzen, Subtraktionsverfahren answenden fertig :D
Ich hoffe ich lern noch die Geschichte mit dem Extremum kennen.

Danke nochmal an alle!